湖南省株洲市茶陵縣二中2026屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的左、右焦點分別為，，焦距為，過點作軸的垂線與橢圓相交，其中一個交點為點(如圖所示)，若的面積為，則橢圓的方程為()A B.C. D.2．設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量t由2變到2.5時，函數(shù)的平均變化率是（）A.5.25 B.10.5C.5.5 D.113．已知是拋物線：的焦點，直線與拋物線相交于，兩點，滿足，記線段的中點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則的最大值為（）A. B.C. D.4．已知點，在雙曲線上，線段的中點，則（）A. B.C. D.5．拋物線的準(zhǔn)線方程是A. B.C. D.6．如圖，在三棱錐中，是線段的中點，則（）A. B.C. D.7．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，設(shè)D在直線AB上，且，設(shè)C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，則λ的值為()A. B.－C. D.8．若橢圓對稱軸是坐標(biāo)軸，長軸長為，焦距為，則橢圓的方程（）A. B.C.或 D.以上都不對9．若拋物線的準(zhǔn)線方程是，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.10．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》記有行程減等問題：三百七十八里關(guān)，初行健步不為難次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．意為：某人步行到378里的要塞去，第一天走路強壯有力，但把腳走痛了，次日因腳痛減少了一半，他所走的路程比第一天減少了一半，以后幾天走的路程都比前一天減少一半，走了六天才到達目的地．請仔細(xì)計算他每天各走多少路程?在這個問題中，第四天所走的路程為（）A.96 B.48C.24 D.1211．已知點的坐標(biāo)為(5，2)，F(xiàn)為拋物線的焦點，若點在拋物線上移動，當(dāng)取得最小值時，則點的坐標(biāo)是A.(1，) B.C. D.12．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點M是點在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為，則密碼被成功破譯的概率_________14．如圖，在等腰直角中，，為半圓弧上異于，的動點，當(dāng)半圓弧繞旋轉(zhuǎn)的過程中，有下列判斷：①存在點，使得；②存在點，使得；③四面體的體積既有最大值又有最小值：④若二面角為直二面角，則直線與平面所成角的最大值為45°.其中正確的是______（請?zhí)钌纤心阏J(rèn)為正確的結(jié)果的序號）.15．如圖，已知橢圓C1和雙曲線C2交于P1、P2、P3、P4四個點，F(xiàn)1和F2分別是C1的左右焦點，也是C2的左右焦點，并且六邊形是正六邊形.若橢圓C1的方程為，則雙曲線方程為______.16．過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于兩點（點在軸上方），_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個不相等的零點，證明：18．（12分）已知橢圓C對稱中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且，兩點（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M、N分別為橢圓與x軸負(fù)半軸、y軸負(fù)半軸的交點，P為橢圓上在第一象限內(nèi)一點，直線PM與y軸交于點S，直線PN與x軸交于點T，求證：四邊形MSTN的面積為定值19．（12分）已知四邊形是菱形，四邊形是矩形，平面平面，，，G是的中點（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值20．（12分）已知圓，點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線交直線于點，點的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知曲線上一點，動圓，且點在圓外，過點作圓的兩條切線分別交曲線于點，.（i）求證：直線的斜率為定值；（ii）若直線與交于點，且時，求直線的方程.21．（12分）已知點，橢圓：離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點．設(shè)過點的動直線與相交于，兩點（1）求橢圓的方程（2）是否存在直線，使得的面積為？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由22．（10分）請分別確定滿足下列條件的直線方程（1）過點（1，0）且與直線x﹣2y﹣2＝0垂直直線方程是（2）求與直線3x-4y+7=0平行，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為1的直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意可得，令，可得，再由三角形的面積公式，解方程可得，，即可得到所求橢圓的方程【詳解】由題意可得，即，即有，令，則，可得，則，即，解得，，∴橢圓的方程為故選：A2、B【解析】利用平均變化率的公式即得.【詳解】∵，∴.故選：B.3、C【解析】設(shè)，過點，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，進而得，再結(jié)合余弦定理得，進而根據(jù)基本不等式求解得.【詳解】解：設(shè)，過點，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，因為點為線段中點，所以根據(jù)梯形中位線定理得點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，因為，所以在中，由余弦定理得，所以，又因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故.所以的最大值為.故選：C【點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，余弦定理，基本不等式，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，設(shè)，進而結(jié)合拋物線的定于與余弦定理得，，再求最值.4、D【解析】先根據(jù)中點弦定理求出直線的斜率，然后求出直線的方程，聯(lián)立后利用弦長公式求解的長.【詳解】設(shè)，，則可得方程組：，兩式相減得：，即，其中因為的中點為，故，故，即直線的斜率為，故直線的方程為：，聯(lián)立，解得：，由韋達定理得：，，則故選：D5、C【解析】根據(jù)拋物線的概念，可得準(zhǔn)線方程為6、A【解析】根據(jù)給定幾何體利用空間向量基底結(jié)合向量運算計算作答.【詳解】在三棱錐中，是線段的中點，所以：.故選：A7、B【解析】設(shè)D(x，y，z)，根據(jù)求出D(，，0)，再根據(jù)CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.【詳解】設(shè)D(x，y，z)，則＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，∵＝2，∴∴∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－故選：B【點睛】(1)本題主要考查向量的線性運算和空間向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2).8、C【解析】求得、、的值，由此可得出所求橢圓的方程.【詳解】由題意可得，解得，，由于橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，則該橢圓的方程為或.故選：C.9、D【解析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程，可直接得出拋物線的焦點，進而利用待定系數(shù)法求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】準(zhǔn)線方程為，則說明拋物線的焦點在軸的正半軸則其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：則準(zhǔn)線方程為：解得：則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：故選：D10、C【解析】每天所走的里程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)第一天走了里，利用等比數(shù)列基本量代換，直接求解.【詳解】由題意可知：每天所走的里程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列.第一天走了里，第4天走了.故選：C11、D【解析】過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，此時，故，所以，選D12、C【解析】點在平面內(nèi)的射影是坐標(biāo)不變，坐標(biāo)為0的點.【詳解】點在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為，故點M的坐標(biāo)是故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意，由相互獨立事件概率的乘法公式可得密碼沒有被破譯的概率，進而由對立事件的概率性質(zhì)分析可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，，則密碼沒有被破譯，即甲乙都沒有成功破譯密碼概率，故該密碼被成功破譯的概率故答案為：14、①②④【解析】①當(dāng)D為中點，且A，B，C，D四點共面時,可證得四邊形ABCD為正方形即可判斷①；②當(dāng)D在平面ABC內(nèi)的射影E在線段BC上（不含端點）時，可知平面ABC，可證得平面CDB，即可判斷②；③，研究臨界值即可判斷③；④二面角D-AC-B為直二面角，且D為中點時，直線DB與平面ABC所成角的最大，作圖分析驗證可判斷④.【詳解】①當(dāng)D為中點，且A，B，C，D四點共面時,連結(jié)BD，交AC于，則為AC中點，此時，且,所以四邊形ABCD為正方形，所以AB//CD，故①正確；②當(dāng)D在平面ABC內(nèi)的射影E在線段BC上（不含端點）時，此時有：平面ABC，，又因為，所以平面CDB，所以，故②正確；③，當(dāng)平面平面ABC，且D為中點時，h有最大值；當(dāng)A，B，C，D四點共面時h有最小值0，此時為平面圖形，不是立體圖形，故四面體D-ABC無最小值，故③錯誤.④二面角D-AC-B為直二面角，且D為中點時，直線DB與平面ABC所成角的最大，取AC中點O，連結(jié)DO，BO，則，AC=平面平面ACD，平面平面ACD，所以平面ABC，所以為直線DB與平面ABC所成角，設(shè)，則，，所以為等腰直角三角形，所以，直線與平面所成角的最大值為45°，故④正確.故答案為：①②④.15、【解析】先根據(jù)橢圓的方程求得焦點坐標(biāo)，然后根據(jù)為正六邊形求得點的坐標(biāo)，即點在雙曲線上，然后解出方程即可【詳解】設(shè)雙曲線的方程為：根據(jù)橢圓的方程可得：又為正六邊形，則點的坐標(biāo)為：則點在雙曲線上，可得：又解得：故答案為：16、3【解析】根據(jù)拋物線焦半徑公式，所以.故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4)；（2）證明見解析.【解析】（1）求的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合定義域及導(dǎo)數(shù)的符號確定單調(diào)區(qū)間；（2）法一：討論、時的零點情況，即可得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究在(0,2a)恒成立，結(jié)合單調(diào)性證明不等式；法二：設(shè)，由零點可得，進而應(yīng)用分析法將結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明，綜合換元法、導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為(0,+∞)，當(dāng)a=2時，，則令得，x>4；令得，0<x<4；所以,單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4).【小問2詳解】法一：當(dāng)a≤0時，>0在(0,+∞)上恒成立，故函數(shù)不可能有兩個不相等的零點，當(dāng)a>0時，函數(shù)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,2a)上單調(diào)遞減，因為函數(shù)有兩個不相等的零點，則，不妨設(shè)，設(shè)，（0<x<2a），則，所以，由a>0知：在(0,2a)恒成立，所以在(0,2a)上單調(diào)遞減，即>=0，所以，即，又，故，因為，所以，因為函數(shù)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增，所以，即法二：不妨設(shè)，由題意得，，得，即，要證，只需證，即證：，即，令，，則，所以在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞減，故<=0，即恒成立因此，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，法一：應(yīng)用極值點偏移方法構(gòu)造，將問題轉(zhuǎn)化為在(0,2a)恒成立，法二：根據(jù)零點可得，再由分析法將問題化為證明，構(gòu)造函數(shù)，綜合運用換元法、導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)橢圓方程為，利用待定系數(shù)法求得的值，即可得出答案；（2）設(shè)，，，易得，分別求出直線PM和直線PN的方程，從而可求出的坐標(biāo)，再根據(jù)即可得出答案.【小問1詳解】解：依題意設(shè)橢圓方程為，將，代入得，解得得，，∴所求橢圓方程為；【小問2詳解】證明：設(shè)，，，，P點坐標(biāo)滿足，即，直線PM：，可得，直線PN：，可得，.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設(shè)，線段的中點為H，分別連接，可證，從而可得平面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量和平面的一個法向量后可求二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：設(shè)，線段的中點為H，分別連接又因為G是的中點，所以因為四邊形為矩形，據(jù)菱形性質(zhì)知，O為的中點，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以又因為平面，平面，所以平面【小問2詳解】解：據(jù)四邊形是菱形的性質(zhì)知，又因為平面平面，平面，平面平面，故平面，所以以分別為x軸，y軸，以過與的交點O，且垂直于平面的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則有，所以設(shè)平面的一個法向量，則令，則，且，所以設(shè)平面的一個法向量，則令，則，且，所以所以，所以二面角的正弦值為20、（1）（2）（i）答案見解析（ii）或【解析】（1）通過幾何關(guān)系可知，且,由此可知點的軌跡是以點、為焦點，且實軸長為的雙曲線，通過雙曲線的定義即可求解；（2）（i）設(shè)點，，直線的方程為，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立利用韋達定理及求出，即得到直線的斜率為定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，聯(lián)立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直線方程.【小問1詳解】由題意可知,∵,且,∴根據(jù)雙曲線的定義可知，點的軌跡是以點、為焦點，且實軸長為的雙曲線，即，，，則點的軌跡方程為；【小問2詳解】（i）設(shè)點，，直線的方程為，聯(lián)立得，其中，且，，，∵曲線上一點，∴，由已知條件得直線和直線關(guān)于對稱，則，即，整理得，，，，即，則或，當(dāng)，直線方程為，此直線過定點，應(yīng)舍去，故直線的斜率為定值.（ii）由（i）可知，由已知得，即，當(dāng)時，，，即，，，解得或，但是當(dāng)時，，故應(yīng)舍去，當(dāng)時，直線方程為，