2025-2026學年湘教版數(shù)學九年級上冊第1章

反比例函數(shù)1.2.2反比例函數(shù)y=k÷x（k＜0）的圖象與性質(zhì)觀察與思考問題

下表是一個反比例函數(shù)的部分取值，想一想這些點如果在平面直角坐標系中，那么會是怎樣的一種情況呢？可以試著動手畫一畫．x-6-3-2-11236y1236-6-3-2-1#人教版初中數(shù)學九年級下冊《反比例函數(shù)y=k/x（k＜0）的圖象與性質(zhì)》教學資源包（含教學過程、PPT分頁內(nèi)容、課堂案例、板書設(shè)計，不含教學目標/作業(yè)）##一、教學過程（45分鐘，可直接課堂實施）###（一）復習導入（5分鐘）1.回顧正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象（直線）與性質(zhì)（k>0遞增、k<0遞減）。2.提問：反比例函數(shù)y=k/x（k>0）的圖象是什么形狀？分布在哪些象限？y隨x的變化規(guī)律如何？（學生回答：雙曲線、第一、三象限、在每個象限內(nèi)y隨x增大而減?。?.引出課題：當k<0時，反比例函數(shù)y=k/x的圖象和性質(zhì)會發(fā)生什么變化？今天我們共同探究。###（二）探究新知（20分鐘）####1.畫反比例函數(shù)圖象（以y=-6/x為例）-步驟1：列表（師生共同完成）|x|-6|-5|-4|-3|-2|-1|1|2|3|4|5|6||---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---||y|1|1.2|1.5|2|3|6|-6|-3|-2|-1.5|-1.2|-1|-步驟2：描點：引導學生在平面直角坐標系中準確描出對應(yīng)點（注意正負坐標的位置）。-步驟3：連線：強調(diào)“平滑曲線”，且圖象與坐標軸不相交（x≠0、y≠0），分別連接第一、三象限的點（此處學生可能疑惑為何不連第四、二象限，后續(xù)性質(zhì)講解中解答）。####2.觀察圖象，探究性質(zhì)（小組討論+全班總結(jié)）-提問1：y=-6/x的圖象分布在哪些象限？（學生觀察后回答：第二、四象限）-提問2：在第二象限內(nèi)，x的取值范圍是什么？y的取值范圍是什么？x增大時，y如何變化？（x<0，y>0；x從-6增大到-1，y從1增大到6→y隨x增大而增大）-提問3：在第四象限內(nèi)，x、y的取值范圍是什么？x增大時，y如何變化？（x>0，y<0；x從1增大到6，y從-6增大到-1→y隨x增大而增大）-提問4：對比y=6/x（k>0）和y=-6/x（k<0）的圖象，象限分布和增減性有何不同？（小組討論2分鐘，派代表發(fā)言）-教師總結(jié)：反比例函數(shù)y=k/x（k<0）的圖象是雙曲線，分布在第二、四象限；在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。####3.性質(zhì)驗證（舉例鞏固）-出示函數(shù)y=-4/x，讓學生快速判斷：①圖象分布象限；②在每個象限內(nèi)的增減性。（學生回答：第二、四象限；每個象限內(nèi)y隨x增大而增大）-追問：點A(-2,y?)、B(-1,y?)在y=-4/x上，比較y?和y?的大小。（引導：同一象限內(nèi)用性質(zhì)，-2<-1<0，y隨x增大而增大→y?<y?）###（三）課堂例題（10分鐘）####例題1：已知反比例函數(shù)y=(m+2)/x的圖象分布在第二、四象限，求m的取值范圍。-解題步驟：1.反比例函數(shù)形式：y=k/x（k≠0），此處k=m+2。2.圖象分布在第二、四象限→k<0。3.列不等式：m+2<0→m<-2。-變式訓練：若該函數(shù)圖象在每個象限內(nèi)y隨x增大而增大，求m的取值范圍（答案同上，強化“k<0”與性質(zhì)的關(guān)聯(lián)）。####例題2：已知點P(3,y?)、Q(-2,y?)、R(-1,y?)在反比例函數(shù)y=-5/x的圖象上，比較y?、y?、y?的大小。-解題步驟：1.判斷各點所在象限：P(3,y?)→第四象限（y?<0）；Q(-2,y?)、R(-1,y?)→第二象限（y?>0，y?>0）。2.同一象限內(nèi)比較：Q、R在第二象限，-2<-1<0，y隨x增大而增大→y?<y?。3.跨象限比較：負數(shù)<正數(shù)→y?<y?<y?。-強調(diào)：跨象限不能直接用增減性，需先判斷象限（正、負）。###（四）課堂小結(jié)（3分鐘）1.學生回顧：今天學習了反比例函數(shù)y=k/x（k<0）的圖象形狀、分布象限、增減性。2.教師強調(diào)重點：①k的符號決定圖象象限和增減性；②“在每個象限內(nèi)”是增減性的前提（易錯點）。###（五）課堂練習（2分鐘，快速反饋）1.反比例函數(shù)y=-3/x的圖象在第______象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而______。（答案：二、四；增大）2.點A(1,y?)、B(2,y?)在y=-2/x上，則y?______y?（填“>”“<”）。（答案：<，因為1<2<0？不，1、2是正數(shù)，在第四象限，y隨x增大而增大，所以y?=-2，y?=-1，y?<y?）##二、PPT分頁內(nèi)容（共12頁，可直接編輯使用）###第1頁：標題頁-標題：反比例函數(shù)y=k/x（k＜0）的圖象與性質(zhì)-副標題：人教版九年級下冊-作者：XXX###第2頁：復習回顧-問題1：正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象是______，性質(zhì)是______。-問題2：反比例函數(shù)y=k/x（k>0）的圖象是______，分布在______象限，在每個象限內(nèi)y隨x______。-答案提示（點擊顯示）：直線；k>0遞增，k<0遞減；雙曲線；一、三；減小###第3頁：探究1：畫反比例函數(shù)y=-6/x的圖象-步驟1：列表（展示完整表格）-步驟2：描點（給出平面直角坐標系，標注關(guān)鍵點）-步驟3：連線（展示平滑曲線，強調(diào)“不與坐標軸相交”）###第4頁：圖象展示-左側(cè)：y=-6/x的完整圖象（標注第二、四象限）-右側(cè)：思考：圖象為何分布在第二、四象限？###第5頁：探究2：y=-6/x的性質(zhì)（1）-提問1：圖象分布在哪些象限？（答案：第二、四象限）-提問2：第二象限內(nèi)，x、y的符號特點？（x<0，y>0）-提問3：第四象限內(nèi)，x、y的符號特點？（x>0，y<0）-結(jié)論：k<0時，雙曲線分布在第二、四象限（x與y異號）###第6頁：探究2：y=-6/x的性質(zhì)（2）-表格對比：|象限|x變化趨勢|y變化趨勢|增減性結(jié)論||---|---|---|---||第二象限|x從-6→-1（增大）|y從1→6（增大）|每個象限內(nèi)，y隨x增大而增大||第四象限|x從1→6（增大）|y從-6→-1（增大）|每個象限內(nèi)，y隨x增大而增大|###第7頁：性質(zhì)總結(jié)-反比例函數(shù)y=k/x（k＜0）的圖象與性質(zhì)：1.圖象形狀：雙曲線2.分布象限：第二、四象限（x與y異號）3.增減性：在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大-易錯提醒：“在每個象限內(nèi)”不可省略！###第8頁：例題1-題目：已知反比例函數(shù)y=(m+2)/x的圖象分布在第二、四象限，求m的取值范圍。-解題過程：∵圖象分布在第二、四象限

→k<0∴m+2<0→m<-2-答案：m<-2###第9頁：例題2-題目：已知點P(3,y?)、Q(-2,y?)、R(-1,y?)在y=-5/x上，比較y?、y?、y?的大小。-解題步驟：1.判斷象限：P（第四象限，y?<0）；Q、R（第二象限，y?、y?>0）2.同一象限比較：Q(-2)、R(-1)，-2<-1<0，y隨x增大而增大→y?<y?3.跨象限比較：y?<0<y?<y?-答案：y?<y?<y?###第10頁：變式訓練-題目1：若y=(2m-1)/x在每個象限內(nèi)y隨x增大而增大，求m的取值范圍。（答案：m<1/2）-題目2：點A(-3,y?)、B(-4,y?)在y=-7/x上，比較y?與y?的大小。（答案：y?>y?）###第11頁：課堂小結(jié)-圖象：雙曲線（k<0→第二、四象限）-性質(zhì)：每個象限內(nèi)，y隨x增大而增大-易錯點：“每個象限內(nèi)”不可省略；跨象限比較需先判斷正負###第12頁：結(jié)束頁-感謝觀看！-敬請指導##三、課堂案例（易錯點突破）###案例1：忽略“每個象限內(nèi)”導致錯誤-問題：點A(-1,y?)、B(2,y?)在y=-3/x上，比較y?和y?的大小。-錯誤解答：因為-1<2，且y隨x增大而增大，所以y?<y?。-糾正過程：1.引導學生判斷A、B所在象限：A(-1,y?)→第二象限（y?=3>0）；B(2,y?)→第四象限（y?=-1.5<0）。2.強調(diào)：A、B在不同象限，不能直接用“y隨x增大而增大”的性質(zhì)，需先看正負：y?>0，y?<0→y?>y?。3.總結(jié)：只有當兩個點在**同一象限**時，才能用增減性比較大??；不同象限則直接根據(jù)正負判斷。###案例2：k的符號與圖象象限、增減性的關(guān)聯(lián)混淆-問題：判斷函數(shù)y=5/x的增減性。-錯誤解答：y隨x增大而減小。-糾正過程：1.回顧k的符號：k=5>0→圖象在第一、三象限。2.強調(diào)性質(zhì)的前提：“在每個象限內(nèi)”→正確表述：在第一、三象限內(nèi)，y隨x增大而減小。3.對比k<0的情況：強化“k的符號決定象限，象限決定增減性的適用范圍”。##四、板書設(shè)計（簡潔明了，突出重點）```反比例函數(shù)y=k/x（k＜0）的圖象與性質(zhì)一、圖象：雙曲線

分布：第二、四象限（x與y異號）二、性質(zhì)：

在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大三、例題：1.求m的取值范圍→k<02.比較函數(shù)值大?。?/p>

①

同一象限→用增減性

②

不同象限→先判正負四、易錯點：1.“每個象限內(nèi)”不可省略2.跨象限比較需先看正負```反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)例1畫反比例函數(shù)的圖象.解析：通過上節(jié)課學習可知畫圖象的三個步驟為列表描點連線需要注意的是在反比例函數(shù)中自變量

x不能為

0．解：列表如下x…-6-5-4-3-2-1123456…y…0.8124-4-2-1-0.8…描點：以表中各組對應(yīng)值作為點的坐標，在直角坐標系內(nèi)描繪出相應(yīng)的點．連線：用光滑的曲線順次連接各點，即可得

的圖象．123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-4-6-556yxy=

x4O

圖象的畫法與圖象的畫法類似，但在解題的時候要注意圖象所在的象限．方法歸納觀察與思考

當k=－2，－4，－6時，反比例函數(shù)的圖象有哪些共同特征？回顧上面我們利用函數(shù)圖象，從特殊到一般研究反比例函數(shù)(k＞0)的性質(zhì)的過程，你能用類似的方法研究反比例函數(shù)

(k＜0)的圖象和性質(zhì)嗎？yxOyxOyxO反比例函數(shù)(k＜0)的圖象和性質(zhì)：●由兩條曲線組成，且分別位于第二、四象限它們與

x軸、y軸都不相交；●在每個象限內(nèi)，y隨

x的增大而增大.知識要點歸納：

(1)當k＞0時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；(2)當k＜0時，雙曲線的兩支分別位于第二、四

象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

一般地，反比例函數(shù)(k≠0)的圖象是雙曲線，它具有以下性質(zhì)：

k的正負決定反比例函數(shù)圖象的位置和增減性

點(2，y1)和(3，y2)均在函數(shù)

的圖象上，則

y1

y2(填“＞”“＜”或“=”).＜練一練例2反比例函數(shù)

的圖象大致是（

）yA.xyoB.xoD.xyoC.xyo典例精析D例3如圖是反比例函數(shù)

的圖象，根據(jù)圖象，回答下列問題：（1）k的取值范圍是

k＞0還是

k＜0？說明理由；xyo由圖可知，反比例函數(shù)的圖象的兩支雙曲線分別位于第一三象限內(nèi)，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值

y隨自變量

x的增大而減小，因此，k＞0.（2）如果點

A（-3，y1），B（-2，y2）是該函數(shù)上的兩點，試比較

y1、y2的大小.xyo因為點

A（-3，y1），B（-2，y2）是該圖象上的兩點，且-3<0，-2<0，所以點

A，B都位于第三象限.又因為-3<-2，由反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)可知：y1>y2例4若雙曲線

y=的兩個分支分別在第二、四象限，則k的取值范圍是()A.k＞ B.k＜C.k= D.不存在解析：反比例函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，則必有

2k-

1＜0，解得

k＜

.故選

B.B例5

已知反比例函數(shù)，y隨x的增大而增大，求

a的值.解：由題意得

a2+a－7=－1，且

a－1＜0．解得a=－3.雙曲線的概念及性質(zhì)問題：觀察前面繪制出來的圖象，想一想它們有什么樣的共同點與特征呢？xyxy雙曲線OO

是軸對稱圖形，也是以原點為對稱中心的中心對稱圖形．例6如圖，已知直線

y=mx與雙曲線的一個交點坐標為(-1，3)，則它們的另一個交點坐標是()A.(1，3)B.(3，1)C.(1，-3)D.(-1，3)xyCO例7點(2，y1)和(3，y2)在函數(shù)

上，則y1