內(nèi)蒙古包頭市稀土高新區(qū)二中2026屆高二上數(shù)學(xué)期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．觀察數(shù)列，（），，（）的特點(diǎn)，則括號(hào)中應(yīng)填入的適當(dāng)?shù)臄?shù)為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)T在拋物線C的準(zhǔn)線上，線段FT與拋物線C的交點(diǎn)為W，，則（）A.1 B.C. D.4．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（）A. B.C.1 D.5．已知雙曲線，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.6．命題“若，則”為真命題，那么不可能是（）A. B.C. D.7．函數(shù)圖象如圖所示,則的解析式可以為A. B.C. D.8．若兩條直線與互相垂直，則的值為（）A.4 B.-4C.1 D.-19．已知雙曲線：與橢圓：有相同的焦點(diǎn)，且一條漸近線方程為：，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.10．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過(guò)程中，從到時(shí)，不等式的左邊增加了（）A. B.C. D.11．公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，滿足，.則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為B.C.最大值為D.12．若向量，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為_(kāi)_____.14．某學(xué)校要從6名男生和4名女生中選出3人擔(dān)任進(jìn)博會(huì)志愿者，則所選3人中男女生都有的概率為_(kāi)__________.（用數(shù)字作答）15．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)______.16．甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)同時(shí)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入對(duì)方口袋，共進(jìn)行了2次這樣的操作后，甲口袋中恰有2個(gè)黑球的概率為_(kāi)_________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F最短距離為2，（1）求拋物線C的方程；（2）過(guò)焦點(diǎn)F的直線，互相垂直，且與C分別交于A，B，M，N四點(diǎn)，求四邊形AMBN面積的最小值18．（12分）設(shè)圓的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E（1）判斷與題中圓A的半徑的大小關(guān)系，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為，的兩條直線，分別交點(diǎn)E的軌跡于M，N兩點(diǎn)，且，證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)19．（12分）已知函數(shù)，滿足，已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，曲線在處的切線為.（1）求切線的傾斜角的取值范圍；（2）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）（1）某校運(yùn)動(dòng)會(huì)上甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在100m、400m、800m三個(gè)項(xiàng)目中選擇，每人報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？（2）若甲、乙、丙、丁四名同學(xué)選報(bào)100m、400m、800m三個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)均有一人報(bào)名，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？（3）若甲、乙、丙、丁名同學(xué)爭(zhēng)奪100m、400m、800m三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？21．（12分）已知橢圓與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.22．（10分）已知雙曲線及直線（1）若與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍（2）若與交于，兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求線段的長(zhǎng)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用觀察法可得，即得.【詳解】由題可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴.故選：D2、C【解析】由題意，得到，利用疊加法求得，結(jié)合由，轉(zhuǎn)化為恒成立，分，和三種情況討論，即可求解.【詳解】因?yàn)椋傻?，所以，所以，各式相加可得，所以，由，可得恒成立，整理得恒成立，?dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立；當(dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立，所以，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.3、B【解析】根據(jù)平面向量共線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由已知得：，該拋物線的準(zhǔn)線方程為：，所以設(shè)，因?yàn)?，所以，由拋物線的定義可知：，故選：B4、B【解析】直接求導(dǎo)，令求出，再將帶入原函數(shù)即可求解.【詳解】由得，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，.故選：B5、D【解析】由雙曲線的方程及雙曲線的離心率即可求解.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線，所以，所以雙曲線的離心率，故選：D.6、D【解析】根據(jù)命題真假的判斷，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A：若，則必成立；對(duì)于B：若，則必成立；對(duì)于C：若，則必成立；對(duì)于D：由不能得出，所以不可能是.故選：D7、A【解析】利用排除法：對(duì)于B,令得,,即有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，不符合題意；對(duì)于D,的定義域?yàn)?，不符合題意；本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)8、A【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件知：，即可求的值.【詳解】由兩直線垂直，可知：，即.故選：A9、B【解析】由漸近線方程，設(shè)出雙曲線方程，結(jié)合與橢圓有相同的焦點(diǎn)，求出雙曲線方程.【詳解】∵雙曲線：的一條漸近線方程為：∴設(shè)雙曲線：∵雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)∴，解得：∴雙曲線的方程為.故選：B.10、B【解析】依題意，由遞推到時(shí)，不等式左邊為，與時(shí)不等式的左邊作差比較即可得到答案【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的過(guò)程中，假設(shè)時(shí)不等式成立，左邊，則當(dāng)時(shí)，左邊，∴從到時(shí)，不等式的左邊增加了故選：B11、A【解析】根據(jù)已知條件，判斷出，即可判斷選項(xiàng)D，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，判斷，，由此判斷出選項(xiàng)A,B,C.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列滿足條件，，，若，則，則，，則，這與已知條件矛盾，所以不符合題意，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，所以，，，則，，數(shù)列前2021項(xiàng)都大于1，從第2022項(xiàng)開(kāi)始都小于1，因此是數(shù)列中的最大值，故選項(xiàng)A正確由等比數(shù)列的性質(zhì)，，故選項(xiàng)B不正確；而，由以上分析可知其無(wú)最大值，故C錯(cuò)誤；故選：A12、D【解析】由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得數(shù)量積，模，結(jié)合向量的共線定義判斷【詳解】由已知，，，與不垂直，若，則，，但是，，因此與不共線故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】作出該不等式表示的平面區(qū)域，由的幾何意義結(jié)合距離公式得出答案.【詳解】該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖所示過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為因?yàn)楸硎驹c(diǎn)與可行域中點(diǎn)之間的距離，所以的最小值為.故答案為：14、##0.8【解析】由排列組合知識(shí)求得所選3人中男女生都有方法數(shù)及總的選取方法數(shù)后可計(jì)算概率【詳解】從6名男生和4名女生中選出3人的方法數(shù)是，所選3人中男女生都有的方法數(shù)為，所以概率為故答案為：15、【解析】利用向量平行的條件直接解出.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，解?故答案為：.16、【解析】分兩類：兩次都互相交換白球的概率和第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率求和可得答案.【詳解】分兩類：①兩次都互相交換白球的概率為；②第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）128【解析】（1）設(shè)拋物線上任一點(diǎn)為，由可得答案.（2）由題意可知，的斜率k存在且不為0,設(shè)出其方程并與拋物線方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，從而得出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，同理得出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，進(jìn)而得出四邊形AMBN面積的不等式，從而求出其最小值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)拋物線上任一點(diǎn)為，則，所以當(dāng)時(shí)，，又∵，∴，即所以拋物線C的方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)交拋物線C于點(diǎn)，,交拋物線C于點(diǎn)，由題意可知，的斜率k存在且不為0設(shè)的方程為由，得，同理可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立∴四邊形AMBN面積的最小值為12818、（1）與半徑相等，（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）依據(jù)橢圓定義去求點(diǎn)E的軌跡方程事半功倍；（2）直線MN要分為斜率存在的和不存在的兩種情況進(jìn)行討論，由設(shè)而不求法把條件轉(zhuǎn)化為直線MN過(guò)定點(diǎn)的條件即可解決.【小問(wèn)1詳解】圓即為，可得圓心，半徑，由，可得，由，可得，即為，即有，則，所以其與半徑相等.因?yàn)?，故E的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓（不包括左右頂點(diǎn)），且有，，即，，，則點(diǎn)E的軌跡方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則，，，，則，∴，此時(shí)直線MN的方程為當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立：，得，設(shè)，，有則將*式代入化簡(jiǎn)可得：，即，∴，此時(shí)直線MN：，恒過(guò)定點(diǎn)又直線MN斜率不存在時(shí)，直線MN：也過(guò)，故直線MN過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意求出值，求導(dǎo)后通過(guò)導(dǎo)數(shù)的值域求出斜率范圍，從而得到傾角范圍.（2）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得到過(guò)P點(diǎn)的切線方程，化簡(jiǎn)后構(gòu)造m的函數(shù)，求新函數(shù)的極大值極小值即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，則，解得，所以，則，故，，，，，切線的傾斜角的的取值范圍是，，.小問(wèn)2詳解】設(shè)曲線與過(guò)點(diǎn)，的切線相切于點(diǎn)，則切線的斜率為，所以切線方程為因?yàn)辄c(diǎn)，在切線上，所以，即，由題意，該方程有三解設(shè)，則，令，解得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，極大值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.20、（1）81種；（2）24種；（3）64種【解析】（1）利用分步計(jì)數(shù)原理可求報(bào)名方法總數(shù).（2）利用分步計(jì)數(shù)原理可求報(bào)名方法總數(shù).（3）利用分步計(jì)數(shù)原理可求報(bào)名方法總數(shù).【詳解】（1）要完成的是“4名同學(xué)每人從三個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)報(bào)名”這件事，因?yàn)槊咳吮貓?bào)一項(xiàng)，4人都報(bào)完才算完成，所以按人分步，且分為四步，又每人可在三項(xiàng)中選一項(xiàng)，選法為3種，所以共有（種）報(bào)名方法（2）每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，因此100m項(xiàng)目有4種選法，400m項(xiàng)目有3種選法，800m項(xiàng)目只有2種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法有（種）（3）要完成的是“三個(gè)項(xiàng)目冠軍的獲取”這件事，因?yàn)槊宽?xiàng)冠軍只能有一人獲得，三項(xiàng)冠軍都有得主，這件事才算完成，所以應(yīng)以“確定三項(xiàng)冠軍得主”為線索進(jìn)行分步，而每項(xiàng)冠軍的得主有4種可能結(jié)果，所以共有（種）可能的結(jié)果21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出的值，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，則，且，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值