四川大學(xué)考研數(shù)學(xué)分析試卷考試時(shí)長：120分鐘滿分：100分班級：__________姓名：__________學(xué)號：__________得分：__________試卷名稱：四川大學(xué)考研數(shù)學(xué)分析試卷考核對象：報(bào)考四川大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的碩士研究生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）請判斷下列命題的正誤。1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界。2.若數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增且收斂，則其極限必為正數(shù)。3.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x_0處可導(dǎo)，則f(x)在x_0處必連續(xù)。4.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且可導(dǎo)，則根據(jù)拉格朗日中值定理，必存在c∈(a,b)，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。5.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)處處可導(dǎo)，則f(x)在(a,b)內(nèi)必連續(xù)。6.若數(shù)列{a_n}和{b_n}都發(fā)散，則{a_n+b_n}必發(fā)散。7.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。8.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x_0處取得極值且f(x)在x_0處可導(dǎo)，則f'(x_0)=0。9.若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則f(x)在[a,b]上必連續(xù)。10.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則根據(jù)積分中值定理，必存在c∈(a,b)，使得∫_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)。二、單選題（每題2分，共20分）每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請將正確選項(xiàng)的字母填入括號內(nèi)。1.下列函數(shù)中，在x=0處不可導(dǎo)的是（）A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2C.f(x)=x^3D.f(x)=e^x2.若數(shù)列{a_n}滿足a_n→L（n→∞），則下列說法正確的是（）A.若{a_n}單調(diào)遞增，則L必為正數(shù)。B.若{a_n}單調(diào)遞減，則L必為負(fù)數(shù)。C.若{a_n}有界，則L必存在。D.若{a_n}無界，則L必不存在。3.下列函數(shù)中，在x=0處不可導(dǎo)的是（）A.f(x)=sin(x)B.f(x)=cos(x)C.f(x)=tan(x)D.f(x)=cot(x)4.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則下列說法正確的是（）A.f(x)在[a,b]上必有極值。B.f(x)在[a,b]上必單調(diào)。C.f(x)在[a,b]上必可導(dǎo)。D.f(x)在[a,b]上必可積。5.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且可導(dǎo)，則根據(jù)羅爾定理，若f(a)=f(b)，則必存在c∈(a,b)，使得（）A.f'(c)=0B.f'(c)=1C.f'(c)=-1D.f'(c)不存在6.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則下列說法正確的是（）A.f(x)在[a,b]上必有零點(diǎn)。B.f(x)在[a,b]上必單調(diào)。C.f(x)在[a,b]上必可導(dǎo)。D.f(x)在[a,b]上必可積。7.若數(shù)列{a_n}滿足a_n→L（n→∞），則下列說法正確的是（）A.若{a_n}單調(diào)遞增，則L必為正數(shù)。B.若{a_n}單調(diào)遞減，則L必為負(fù)數(shù)。C.若{a_n}有界，則L必存在。D.若{a_n}無界，則L必不存在。8.下列函數(shù)中，在x=0處不可導(dǎo)的是（）A.f(x)=e^xB.f(x)=ln(x)C.f(x)=x^2D.f(x)=sin(x)9.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且可導(dǎo)，則根據(jù)拉格朗日中值定理，若f(a)=f(b)，則必存在c∈(a,b)，使得（）A.f'(c)=0B.f'(c)=1C.f'(c)=-1D.f'(c)不存在10.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則下列說法正確的是（）A.f(x)在[a,b]上必有零點(diǎn)。B.f(x)在[a,b]上必單調(diào)。C.f(x)在[a,b]上必可導(dǎo)。D.f(x)在[a,b]上必可積。三、多選題（每題2分，共20分）每小題有多個(gè)正確選項(xiàng)，請將所有正確選項(xiàng)的字母填入括號內(nèi)。1.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的是（）A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2C.f(x)=x^3D.f(x)=e^x2.若數(shù)列{a_n}滿足a_n→L（n→∞），則下列說法正確的是（）A.若{a_n}單調(diào)遞增，則L必為正數(shù)。B.若{a_n}單調(diào)遞減，則L必為負(fù)數(shù)。C.若{a_n}有界，則L必存在。D.若{a_n}無界，則L必不存在。3.下列函數(shù)中，在x=0處不可導(dǎo)的是（）A.f(x)=sin(x)B.f(x)=cos(x)C.f(x)=tan(x)D.f(x)=cot(x)4.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則下列說法正確的是（）A.f(x)在[a,b]上必有極值。B.f(x)在[a,b]上必單調(diào)。C.f(x)在[a,b]上必可導(dǎo)。D.f(x)在[a,b]上必可積。5.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且可導(dǎo)，則根據(jù)羅爾定理，若f(a)=f(b)，則必存在c∈(a,b)，使得（）A.f'(c)=0B.f'(c)=1C.f'(c)=-1D.f'(c)不存在6.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則下列說法正確的是（）A.f(x)在[a,b]上必有零點(diǎn)。B.f(x)在[a,b]上必單調(diào)。C.f(x)在[a,b]上必可導(dǎo)。D.f(x)在[a,b]上必可積。7.若數(shù)列{a_n}滿足a_n→L（n→∞），則下列說法正確的是（）A.若{a_n}單調(diào)遞增，則L必為正數(shù)。B.若{a_n}單調(diào)遞減，則L必為負(fù)數(shù)。C.若{a_n}有界，則L必存在。D.若{a_n}無界，則L必不存在。8.下列函數(shù)中，在x=0處不可導(dǎo)的是（）A.f(x)=e^xB.f(x)=ln(x)C.f(x)=x^2D.f(x)=sin(x)9.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且可導(dǎo)，則根據(jù)拉格朗日中值定理，若f(a)=f(b)，則必存在c∈(a,b)，使得（）A.f'(c)=0B.f'(c)=1C.f'(c)=-1D.f'(c)不存在10.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則下列說法正確的是（）A.f(x)在[a,b]上必有零點(diǎn)。B.f(x)在[a,b]上必單調(diào)。C.f(x)在[a,b]上必可導(dǎo)。D.f(x)在[a,b]上必可積。四、案例分析（每題6分，共18分）1.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足f(a)=f(b)。證明：必存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0。2.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。證明：必存在c∈(a,b)，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。3.設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n→L（n→∞），且L>0。證明：必存在N，使得當(dāng)n≥N時(shí)，a_n>L/2。五、論述題（每題11分，共22分）1.證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界。2.證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.×3.√4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.√解析：1.正確。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的有界性定理，若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則必有界。2.錯(cuò)誤。單調(diào)遞增且收斂的數(shù)列極限可以是任意實(shí)數(shù)，不一定是正數(shù)。3.正確。可導(dǎo)必連續(xù)，這是導(dǎo)數(shù)定義的必要條件。4.正確。拉格朗日中值定理的結(jié)論。5.正確?？蓪?dǎo)必連續(xù)。6.錯(cuò)誤。例如a_n=1，b_n=-1，則a_n+b_n=0，但a_n和b_n都發(fā)散。7.正確。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的極值定理，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值。8.正確。根據(jù)費(fèi)馬定理，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零。9.正確。單調(diào)遞增的函數(shù)必連續(xù)。10.正確。積分中值定理的結(jié)論。二、單選題1.A2.C3.D4.D5.A6.D7.C8.B9.A10.D解析：1.A.f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)不相等。2.C.有界數(shù)列必有極限，這是數(shù)列極限的保界性。3.D.f(x)=cot(x)在x=0處無定義，因此不可導(dǎo)。4.D.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必可積，這是黎曼積分的基本性質(zhì)。5.A.羅爾定理的結(jié)論。6.D.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必可積。7.C.有界數(shù)列必有極限，這是數(shù)列極限的保界性。8.B.f(x)=ln(x)在x=0處無定義，因此不可導(dǎo)。9.A.羅爾定理的結(jié)論。10.D.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必可積。三、多選題1.B,C,D2.C,D3.C,D4.A,D5.A6.A,D7.C,D8.B,D9.A10.D解析：1.A.f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)不相等。B.f(x)=x^2在x=0處可導(dǎo)。C.f(x)=x^3在x=0處可導(dǎo)。D.f(x)=e^x在x=0處可導(dǎo)。2.C.有界數(shù)列必有極限，這是數(shù)列極限的保界性。D.無界數(shù)列必?zé)o極限，這是數(shù)列極限的定義。3.C.f(x)=tan(x)在x=0處可導(dǎo)。D.f(x)=cot(x)在x=0處無定義，因此不可導(dǎo)。4.A.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必有極值，這是極值定理的結(jié)論。D.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必可積，這是黎曼積分的基本性質(zhì)。5.A.羅爾定理的結(jié)論。6.A.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必有界，這是有界性定理的結(jié)論。D.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必可積，這是黎曼積分的基本性質(zhì)。7.C.有界數(shù)列必有極限，這是數(shù)列極限的保界性。D.無界數(shù)列必?zé)o極限，這是數(shù)列極限的定義。8.B.f(x)=ln(x)在x=0處無定義，因此不可導(dǎo)。D.f(x)=sin(x)在x=0處可導(dǎo)。9.A.羅爾定理的結(jié)論。10.D.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必可積，這是黎曼積分的基本性質(zhì)。四、案例分析1.證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足f(a)=f(b)，則必存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0。證明：根據(jù)羅爾定理，若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足f(a)=f(b)，則必存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0。2.證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則必存在c∈(a,b)，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。證明：根據(jù)拉格朗日中值定理，若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則必存在c∈(a,b)，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。3.證明：設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n→L（n→∞），且L>0。證明：必存在N，使得當(dāng)n≥N時(shí)，a_n>L/2。證明：根據(jù)數(shù)列極限的定義，對于任意ε>0，存在N，使得當(dāng)n≥N時(shí)，|a_n-L|<ε。取ε=L/2，則當(dāng)n≥N時(shí)，|a_n-L|<L/2，即L/2<a_n<L+L/2。因此，當(dāng)n≥N時(shí)，a_n>L/2。五、論述題1.證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界。證明：根據(jù)連續(xù)函數(shù)的有界性定理，若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則必有界。具體證明如下：假設(shè)f(x)在[a,b]上無界，則對于任意M>0，存在x_0∈(a,b)，使得|f(x_0)|>M。取M=1，則存在x_1∈(a,b)，使得|f(x_1)|>1。取M=2，則存在x_2∈(a,b)，使得|f(x_2)|>2。以此