北京大學(xué)考研數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分班級(jí)：__________姓名：__________學(xué)號(hào)：__________得分：__________北京大學(xué)考研數(shù)學(xué)試卷考核對(duì)象：報(bào)考北京大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的碩士研究生考生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界。2.級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞(a_n+b_n)收斂，則級(jí)數(shù)∑_{n=1}^∞a_n和∑_{n=1}^∞b_n均收斂。3.若矩陣A可逆，則矩陣A的伴隨矩陣A也可逆。4.若向量組α?,α?,α?線性無關(guān)，則向量組α?+α?,α?+α?,α?+α?也線性無關(guān)。5.若函數(shù)f(x)在x?處可導(dǎo)，則f(x)在x?處必連續(xù)。6.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上必有界。7.若矩陣A的特征值全為正，則矩陣A必正定。8.若向量組α?,α?,α?線性相關(guān)，則向量組α?,α?,α?中任一向量均可由其余向量線性表示。9.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則f(x)的反函數(shù)存在且連續(xù)。10.若矩陣A和矩陣B相似，則矩陣A和矩陣B的特征值相同。二、單選題（每題2分，共20分）1.設(shè)函數(shù)f(x)在x?處可導(dǎo)，且f'(x?)=2，則當(dāng)x→x?時(shí)，f(x)的微分df(x)與Δx的比值為（）。A.1B.2C.x?D.x?22.下列級(jí)數(shù)中收斂的是（）。A.∑_{n=1}^∞(1/n)B.∑_{n=1}^∞(1/n2)C.∑_{n=1}^∞(1/n3)D.∑_{n=1}^∞(n2)3.設(shè)矩陣A為3階矩陣，且|A|=2，則矩陣A的伴隨矩陣A的行列式|A|為（）。A.2B.4C.8D.164.下列向量組中線性無關(guān)的是（）。A.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)B.(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)C.(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)D.(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)5.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上的積分存在，且積分值為（）。A.必為正數(shù)B.必為負(fù)數(shù)C.必為零D.可正可負(fù)6.設(shè)函數(shù)f(x)在x?處可導(dǎo)，且f'(x?)=0，則f(x)在x?處（）。A.必取極值B.必不取極值C.可能取極值D.必單調(diào)7.下列矩陣中正定的是（）。A.\(\begin{bmatrix}1&2\\2&3\end{bmatrix}\)B.\(\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\)C.\(\begin{bmatrix}1&-1\\-1&1\end{bmatrix}\)D.\(\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}\)8.若向量組α?,α?,α?線性無關(guān)，則向量組α?+α?,α?+α?,α?+α?的秩為（）。A.1B.2C.3D.49.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上的積分與積分區(qū)間[a,b]的順序（）。A.有關(guān)B.無關(guān)C.只在[a,b]為有限區(qū)間時(shí)無關(guān)D.只在[a,b]為無限區(qū)間時(shí)無關(guān)10.若矩陣A和矩陣B相似，則矩陣A和矩陣B的行列式|A|和|B|的關(guān)系為（）。A.|A|=|B|B.|A|≠|(zhì)B|C.|A|>|B|D.|A|<|B|三、多選題（每題2分，共20分）1.下列命題中正確的是（）。A.若函數(shù)f(x)在x?處可導(dǎo)，則f(x)在x?處必連續(xù)B.若函數(shù)f(x)在x?處連續(xù)，則f(x)在x?處必可導(dǎo)C.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界D.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上必有界2.下列級(jí)數(shù)中條件收斂的是（）。A.∑_{n=1}^∞(1/2^n)B.∑_{n=1}^∞((-1)^n/n)C.∑_{n=1}^∞(1/n2)D.∑_{n=1}^∞((-1)^n/n2)3.下列矩陣中可逆的是（）。A.\(\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}\)B.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)C.\(\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\)D.\(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)4.下列向量組中線性相關(guān)的是（）。A.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)B.(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)C.(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)D.(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)5.下列命題中正確的是（）。A.若向量組α?,α?,α?線性無關(guān)，則向量組α?+α?,α?+α?,α?+α?也線性無關(guān)B.若向量組α?,α?,α?線性相關(guān)，則向量組α?,α?,α?中任一向量均可由其余向量線性表示C.若矩陣A的特征值全為正，則矩陣A必正定D.若矩陣A和矩陣B相似，則矩陣A和矩陣B的特征值相同6.下列函數(shù)中在x=0處可導(dǎo)的是（）。A.f(x)=|x|B.f(x)=x2C.f(x)=x3D.f(x)=x2sin(1/x)（x≠0,f(0)=0）7.下列矩陣中正定的是（）。A.\(\begin{bmatrix}1&2\\2&3\end{bmatrix}\)B.\(\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\)C.\(\begin{bmatrix}1&-1\\-1&1\end{bmatrix}\)D.\(\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}\)8.下列命題中正確的是（）。A.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上的積分存在B.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上必有界C.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)，則f(x)在[a,b]上必連續(xù)D.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)的反函數(shù)存在且連續(xù)9.下列向量組中線性無關(guān)的是（）。A.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)B.(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)C.(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)D.(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)10.下列命題中正確的是（）。A.若矩陣A和矩陣B相似，則矩陣A和矩陣B的行列式|A|和|B|相等B.若矩陣A和矩陣B相似，則矩陣A和矩陣B的特征值相同C.若矩陣A和矩陣B相似，則矩陣A和矩陣B的秩相同D.若矩陣A和矩陣B相似，則矩陣A和矩陣B的跡相同四、案例分析（每題6分，共18分）1.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且滿足f(x)≥0，證明：∫_{a}^√f(x)dx≤(b-a)√∫_{a}^f(x)dx。2.設(shè)矩陣A為3階矩陣，且滿足A3-A=0，證明：矩陣A的秩為1或3。3.設(shè)向量組α?=(1,1,1),α?=(1,2,3),α?=(1,3,6)，求向量組α?,α?,α?的秩，并判斷其是否線性無關(guān)。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)與可積的關(guān)系，并舉例說明。2.論述矩陣A的特征值與特征向量的定義及其性質(zhì)，并說明特征值在矩陣?yán)碚撝械闹匾浴?--標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.×（反例：a_n=b_n=(-1)^n/n）3.√（|A|=|A|^(n-1)）4.√（線性無關(guān)向量組的線性組合仍線性無關(guān)）5.√（可導(dǎo)必連續(xù)）6.√（可積函數(shù)必有界）7.√（正定矩陣特征值全為正）8.√（線性相關(guān)向量組中至少一向量可由其余表示）9.√（單調(diào)連續(xù)函數(shù)必有反函數(shù)且反函數(shù)連續(xù)）10.√（相似矩陣特征值相同）二、單選題1.B2.B3.B4.A5.D6.C7.B8.C9.B10.A三、多選題1.A,C,D2.B,D3.B,C,D4.B,C5.A,B,C,D6.B,C,D7.B8.A,B,C,D9.A10.A,B,C,D四、案例分析1.證明：令g(x)=√f(x)，則g(x)在[a,b]上連續(xù)，由柯西不等式：∫_{a}^g(x)dx≤(b-a)√∫_{a}^g(x)2dx即∫_{a}^√f(x)dx≤(b-a)√∫_{a}^f(x)dx。2.證明：由A3-A=0，得A(A2-I)=0，即A(A-I)(A+I)=0，則矩陣A的特征值為0,1,-1。若A有特征值0,1,-1，則A不可逆，秩<3；若A有特征值1,1,0，則A可逆，秩=3；若A有特征值-1,-1,0，則A可逆，秩=3；若A有特征值1,1,1，則A=I，秩=3；若A有特征值-1,-1,-1，則A=-I，秩=3；若A有特征值0,0,1，則A不可逆，秩=1；若A有特征值0,0,-1，則A不可逆，秩=1。故秩為1或3。3.解：構(gòu)造矩陣B=[α?,α?,α?]，對(duì)B進(jìn)行行變換：\(\begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{bmatrix}→\begin{bmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&5\end{bmatrix}→\begin{bmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}\)秩為3，向量組線性無關(guān)。五、論述題1.論述：函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)是可積的充分條件，但不是必要