2026屆湖南省雙峰縣一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在直三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)，，，，則異面直線(xiàn)CD與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．如圖，已知四棱錐，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，且，E為AD的中點(diǎn)，，則異面直線(xiàn)PC與BE所成角的余弦值為（）A. B.C. D.3．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡(jiǎn)稱(chēng)黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線(xiàn)稱(chēng)為黃金雙曲線(xiàn)．若雙曲線(xiàn)是黃金雙曲線(xiàn)，則（）A. B.C. D.4．已知是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是一個(gè)定點(diǎn),則的最小值為A. B.C. D.5．120°的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知，，，則CD的長(zhǎng)為()A. B.C. D.6．【2018江西撫州市高三八校聯(lián)考】已知雙曲線(xiàn)(，)與拋物線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.7．函數(shù)y＝x3＋x2－x＋1在區(qū)間[－2,1]上的最小值為()A. B.2C.－1 D.－48．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且滿(mǎn)足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.9．平行直線(xiàn)：與：之間的距離等于（）A. B.C. D.10．已知直線(xiàn)和互相平行，則實(shí)數(shù)的取值為（）A或3 B.C. D.1或11．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A.1792 B.C.448 D.12．已知A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，O是平面ABC外一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C一定共面的是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是______14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則___________，___________.15．已知向量，，不共線(xiàn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，若存在實(shí)數(shù)，，，使得，那么的值為_(kāi)_______.16．過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰好是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求在上的最大值與最小值18．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)C：（，）的離心率為，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C上，點(diǎn)，分別為雙曲線(xiàn)C的左右焦點(diǎn)，.（1）求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，，設(shè)直線(xiàn)PA，PB的斜率分別為，.證明：為定值.19．（12分）已知函數(shù)，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)，的值；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC的中點(diǎn)，，，（1）求證：；（2）求直線(xiàn)PB與平面MQB所成角的正弦值21．（12分）已知點(diǎn)，圓C：，l：.（1）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M，且被圓C截得的弦長(zhǎng)為，求該直線(xiàn)的方程；（2）設(shè)P為已知直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓C作一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為Q，求的最小值.22．（10分）已知數(shù)列滿(mǎn)足各項(xiàng)均不為0，，且，.（1）證明：為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）令，，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.運(yùn)用異面直線(xiàn)的空間向量求解方法，可求得答案.【詳解】解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知可得，，，，則，，所以.又因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成的角的范圍為，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故選：A.2、B【解析】根據(jù)異面直線(xiàn)的定義找出角即為所求，再利用余弦定理解三角形即可得出.【詳解】分別取BC，PB的中點(diǎn)F，G，連接DF，F(xiàn)G，DG，如圖，因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，所以，所以（其補(bǔ)角）是異面直線(xiàn)PC與BE所成的角因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為4菱形，且，，由余弦定理可知，所以，所以，所以異面直線(xiàn)PC與BE所成角的余弦值為，故選：B3、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線(xiàn)的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線(xiàn)中的，所以離心率，因?yàn)殡p曲線(xiàn)是黃金雙曲線(xiàn)，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A4、A【解析】恰好為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，要想最小，過(guò)圓心作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，交圓于，最小值等于圓心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離減去半徑4-1=.考點(diǎn):1.拋物線(xiàn)的定義；2.圓中的最值問(wèn)題；5、B【解析】由，把展開(kāi)整理求解【詳解】由已知可得：，，，，＝41，∴.故選：B6、C【解析】由題意可知，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，則，則，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，解得，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是，將代入漸近線(xiàn)的方程，即，則雙曲線(xiàn)的離心率為，故選C.7、C【解析】詳解】，令，解得或；令，解得函數(shù)在上遞增，在遞減，在遞增，時(shí)，取極大值，極大值是時(shí)，函數(shù)取極小值，極小值是，而時(shí)，時(shí)，，故函數(shù)的最小值為，故選C.8、B【解析】由空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解【詳解】由題意，又，，，∴,故選：B9、B【解析】先由兩條直線(xiàn)平行解出，再按照平行線(xiàn)之間距離公式求解.【詳解】，則：，即，距離為.故選：B.10、B【解析】利用兩直線(xiàn)平行的等價(jià)條件求得實(shí)數(shù)m的值.【詳解】∵兩條直線(xiàn)x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴解得m=﹣1，故選B【點(diǎn)睛】已知兩直線(xiàn)的一般方程判定兩直線(xiàn)平行或垂直時(shí)，記住以下結(jié)論，可避免討論：已知，，則，11、D【解析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算出正確答案.【詳解】的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)為.所以的系數(shù)是.故選：D12、D【解析】首先利用坐標(biāo)法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，然后對(duì)符合的選項(xiàng)驗(yàn)證存在使得，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】不妨設(shè).對(duì)于A選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)為，故在平面上，也即四點(diǎn)共面.下面證明結(jié)論一定成立：由，得，即，故存在，使得成立，也即四點(diǎn)共面.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間四點(diǎn)共面的證明方法，考查空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、相交【解析】把兩個(gè)圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別找出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩圓心的距離，與半徑和與差的關(guān)系比較即可知兩圓位置關(guān)系.【詳解】化為，化為，則兩圓圓心分別為：，，半徑分別為：，圓心距為，，所以?xún)蓤A相交.故答案為：相交.14、①.②.【解析】第一空：由，代入已知條件，即可解得結(jié)果；第二空：由與關(guān)系可推導(dǎo)出之間的關(guān)系，再由遞推公式即可求出通項(xiàng)公式.【詳解】，可得由，可知時(shí)，故時(shí)即可化為又故數(shù)列是首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項(xiàng)公式故答案為：①；②15、1【解析】通過(guò)平面向量基本定理推導(dǎo)出空間向量基本定理得推論.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，則由平面向量基本定理得：存在，使得：即，整理得：，又，所以，，，從而.故答案為：116、【解析】設(shè)，，，，分別代入雙曲線(xiàn)方程，兩式相減，化簡(jiǎn)可得：，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得直線(xiàn)的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求直線(xiàn)方程【詳解】過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與該雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，設(shè)，，，，，兩式相減可得：，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，，，則，所以直線(xiàn)的方程為，即為故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題常用“點(diǎn)差法”，其解題步驟為：①設(shè)點(diǎn)（即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)）；②代入（即代入圓錐曲線(xiàn)方程）；③作差（即兩式相減，再用平方差公式分解因式）；④整理（即轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式），然后求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）最大值與最小值分別為與【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的斜率即可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以所以所以的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即（2）由（1）知令，則；令，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以又，所以所以在上的最大值與最小值分別為與18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)根據(jù)題意和雙曲線(xiàn)的定義求出，結(jié)合離心率求出b，即可得出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出、，化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題知：由雙曲線(xiàn)的定義知：，又因?yàn)?，所以，所以所以，雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為小問(wèn)2詳解】設(shè)，則因?yàn)?，，所以，所?9、（Ⅰ）最大值為，最小值為.（Ⅱ）最大值為，最小值為.【解析】（Ⅰ）切點(diǎn)在函數(shù)上，也在切線(xiàn)方程為上，得到一個(gè)式子，切線(xiàn)的斜率等于曲線(xiàn)在的導(dǎo)數(shù)，得到另外一個(gè)式子，聯(lián)立可求實(shí)數(shù)，的值；（Ⅱ）函數(shù)在閉區(qū)間的最值在極值點(diǎn)或者端點(diǎn)處取得，通過(guò)比較大小可得最大值和最小值.【詳解】解：（Ⅰ），∵曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，∴解得，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，則，令，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，∴在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)與切線(xiàn)方程的關(guān)系以及利用導(dǎo)函數(shù)求最值的問(wèn)題.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)等腰三角形可得，再由面面垂直的性質(zhì)得出線(xiàn)面垂直，即可求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線(xiàn)面角.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镼為AD的中點(diǎn)，，所以，又因?yàn)槠矫娴酌鍭BCD，平面底面，平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以【小問(wèn)2詳解】由題可知QA、QB、QP兩兩互相垂直，以QA為x軸、QB為y軸、QP為z軸建立空間坐標(biāo)系，如圖，根據(jù)題意，則，，，，，由M是棱PC的中點(diǎn)可知，，設(shè)平面MQB的法向量為，，，則，即令，則，，故平面MQB的一個(gè)法向量為，所以，所以直線(xiàn)PB與平面MQB所成角的正弦值為21、（1）或（2）【解析】（1）求出圓的圓心到直線(xiàn)的距離，再利用垂徑定理計(jì)算列方程計(jì)算；（2）由題意可知當(dāng)最小時(shí)，連線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直，求出，再利用計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可知圓的圓心到直線(xiàn)的距離為①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，圓