第4章幾何圖形初步（5知識&7題型&5易錯&4方法清單）【清單01】幾何圖形的基本概念立體圖形：各部分【清單02】直線、射線、線段的性質與運算表示方法：直線（直線AB或直線l）、射線（射線OA或射線l）、線段（線段AB、線段a或線段l）核心性質：兩點確定一條直線；兩點之間，線段最短線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點（若M是AB中點，則AM=MB=12AB長度比較：疊合法（將線段一端重合比較另一端）、度量法（用刻度尺測量長度）線段計算：和差運算（如AC=AB+BC或AC=AB-BC，需結合圖形位置關系）【清單03】角的相關概念與運算角的定義：由公共端點的兩條射線組成的圖形（靜態(tài)定義）；一條射線繞著端點旋轉形成的圖形（動態(tài)定義）表示方法：∠AOB、∠O、∠1（用數字或希臘字母表示，如∠α）角的度量：1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°，1°=60′，1′=60″角的分類：銳角（0°<α<90°）、直角（α=90°）、鈍角（90°<α<180°）、平角（α=180°）、周角（α=360°）余角與補角：若∠α+∠β=90°，則∠α與∠β互余；若∠α+∠β=180°，則∠α與∠β互補（同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等）角的平分線：從角的頂點出發(fā)，把一個角分成兩個相等角的射線（若OC平分∠AOB，則∠AOC=∠COB=12∠AOB）【清單04】相交線中的角對頂角：兩條直線相交形成的，有公共頂點且兩邊互為反向延長【清單05】幾何圖形初步的作圖與計算步驟幾何圖形的作圖與計算步驟.【題型一】幾何圖形的識別與分類【例1】（2025秋?茂南區(qū)期中）下列圖形中屬于棱柱的有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【變式1-1】（2025秋?灤州市期中）如圖是美術素描常用的幾何體模型，其中沒有下列哪個幾何體（）A．球 B．正方體 C．圓柱 D．圓錐【變式1-2】（2025秋?太原期中）如圖是一張幾何創(chuàng)意小桌，其組成部分可抽象為幾種常見幾何體．在這些抽象出的幾何體中不包括（）A．圓柱 B．球 C．圓錐 D．四棱柱【題型二】直線、射線、線段的性質與計算【例2】（2025秋?平頂山期中）如圖，點B在直線AP上，點M、N分別是線段AB、BP的中點，點B在線段AP上，AP＝15，則線段MN的長度為（）A．5 B．7.5 C．15 D．30【變式2-1】（2025秋?金水區(qū)期中）如圖，在一條公路上有五個車站，依次為A，M，C，N，B，車站要準備車票，一共要準備（）種車票．A．20 B．10 C．5 D．40【變式2-2】（2025秋?欒城區(qū)期中）線段AB上，M為AC的中點，N為DB的中點，AB＝a，CD＝b，MN＝（）A．a+12b B．a-12b【題型三】角的度量與運算【例3】（2025秋?長安區(qū)期中）如圖所示，把平角∠AOB放置在量角器上，O與量角器的中心重合，射線OC，OD分別對準刻度65°和155°，在∠BOC內部做射線OE，使OD平分∠BOE，則∠COE的度數為（）A．45° B．55° C．60° D．65°【變式3-1】（2025秋?渾南區(qū)期中）如圖，已知點O在直線AB上，∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，則∠3的度數為（）A．36°15′ B．143°45′ C．13°15′ D．36.15°【變式3-2】（2024秋?元陽縣期末）如圖，O是直線AB上的一點，過點O作任意射線OM，且OC平分∠AOM，OD平分∠BOM．若∠AOC＝56°，則∠BOD的度數是（）A．24° B．30° C．34° D．56°【題型四】余角、補角的應用【例4】（2024秋?平城區(qū)期末）已知一個角的度數是50°38'，則這個角的補角的度數是（）A．39°22' B．49°22' C．130°22' D．129°22'【變式4-1】（2024秋?平輿縣校級期末）若∠α的補角是∠α的余角的三倍，則∠α是（）A．60° B．45° C．55° D．50°【變式4-2】（2024秋?成武縣期末）如果一個角的補角比這個角的2倍大30°，那么這個角的余角為（）A．20° B．70° C．40° D．50°【題型五】幾何圖形的作圖【例5】（2025春?東營區(qū)期末）下列關于畫圖的語言敘述正確的是（）A．畫直線AB＝10cm B．畫射線OB＝10cm C．延長線段AB到點C D．已知A，B，C三點，過這三點畫一條直線【變式5-1】（2025?石家莊模擬）根據語句“直線a與直線b相交，點P在直線a上，直線b不經過點P．”畫出的圖形是（）A． B． C． D．【變式5-2】（2024秋?太湖縣期末）下列尺規(guī)作圖的語句錯誤的是（）A．作∠AOB，使∠AOB＝3∠α B．以點O為圓心作弧 C．以點A為圓心，線段a的長為半徑作弧 D．作∠ABC，使∠ABC＝∠α+∠β【題型六】幾何圖形的實際應用題【例6】（2025秋?灞橋區(qū)校級期中）如圖，將一副三角尺的兩個銳角（45°角和60°角）的頂點疊放在一起，沒有重疊的部分分別記作∠1和∠2，若∠1＝22°，則∠2的度數為°．【變式6-1】（2024秋?徐水區(qū)期末）如圖，某海域有三個小島A，B，O，在小島O處觀測到小島A在它北偏東60°的方向上，觀測到小島B在它南偏東38°的方向上，則∠AOB的度數是．【變式6-2】（2024秋?吉林期末）如圖，在一個廣場上的點A和點B兩處，分別有一只小狗和一塊骨頭，小狗想走最短路程吃到骨頭，我們知道最短路線是②，其數學理由是兩點之間，線段最短．【題型七】開放型問題（補充條件或結論）與尺規(guī)作圖【例7】（2024秋?南陽期末）閱讀下列材料，完成后面任務：數學課上，老師給出了如下問題：已知點A，B，C均在直線l上，AB＝12，BC＝4，M是AC的中點，求AM的長．小明的解答過程如下：如圖2，∵AB＝12，BC＝4，∴AC＝AB﹣BC＝12﹣4＝8．又∵M是AC的中點，∴AM=12AC=12小芳說：“小明的解答不完整．”任務：（1）你同意小芳的說法嗎？如果同意，請將小明的解答過程補充完整；如果不同意，請說明理由．（2）我們發(fā)現角的很多規(guī)律和線段一樣，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，OM平分∠AOC，請直接寫出∠AOM的度數．【變式7-1】（（2023秋?秦都區(qū)校級期中）已知線段a，b，點A，P的位置如圖所示，畫射線AP，并用尺規(guī)作圖法在射線AP上求作線段AB，使得AB＝AP+b﹣a．（保留作圖痕跡，不寫作法）【題型一】混淆直線、射線、線段的概念與性質【例1】（2024秋?瑞金市期末）下列說法不正確的是（）A．直線MN與直線NM是同一條直線 B．射線PM與射線MP是同一條射線 C．射線PM與射線PN是同一條射線 D．線段MN與線段NM是同一條線段【變式1-1】（2024秋?復興區(qū)期末）如圖所示，下列說法不正確的是（）A．點A在直線BD外 B．點A到點C的距離是線段AC的長度 C．射線AC與射線BC是同一條 D．直線AC和直線BD相交于點B【變式1-2】（2024秋?龍沙區(qū)期末）下列說法：（1）兩點確定一條線段；（2）畫一條射線，使它的長度為3cm；（3）線段AB和線段BA是同一條線段；（4）射線AB和射線BA是同一條射線；（5）直線AB和直線BA是同一條直線．其中錯誤的有（）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型二】角的計算中忽略單位換算或分類討論【例2】（2024秋?鄄城縣期末）下列各式正確的是（）A．1.45°＝145′ B．3600″＝60° C．28°18′18″＝28.33° D．65.25°＝65°15′【變式2-1】（2024秋?自貢期末）若∠1＝38°15′，∠2＝38.15°，∠3＝38.25°，則下面說法正確的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3 D．∠1，∠2，∠3互不相等【變式2-2】（2024秋?西峽縣期末）下列式子中錯誤的是（）A．38.78°＝38°46′48″ B．50°42′＝50.7° C．98°45′+2°35′＝101°20′ D．108°18′﹣57°23′＝51°55′【題型三】正方體展開與折疊時找錯相對面【例3】（2024秋?齊齊哈爾期末）如圖是一個正方體的表面展開圖，則該正方體可能是（）A． B． C． D．【變式3-1】（2025秋?三水區(qū)校級期中）如圖是一個小正方體的展開圖，把展開圖折疊成小正方體后，有“厲”字一面的相對面上的字是（）A．了 B．我 C．的 D．國【變式3-2】（2025秋?龍華區(qū)校級期中）如圖為一個正方體的表面展開圖，若正方體相對面上的兩個數字之和相等，面“2”是右面，面“4”在后面（數字和字母均在外表面），則上面是（）A．6 B．8 C．10 D．12【題型四】計算線段（角）長度時忽略點（線）的位置導致錯解【例4】（2024秋?鹿寨縣期末）如圖，C是線段AB上一點，D為BC的中點，且AB＝10cm，BD＝4cm．若點E在直線AB上，且AE＝3cm，則DE的長為（）A．3cm B．15cm C．3cm或15cm D．3cm或9cm【變式4-1】（2024秋?韶關期末）已知線段AB＝4cm，AC＝3cm，且A，B，C三點共線，則BC的長為（）A．不能確定 B．1cm C．7cm D．1cm或7cm【變式4-2】（2024秋?吉首市校級期末）已知∠AOB＝50°，OC是可繞點O旋轉的動射線，當∠BOC＝32°時，則∠AOC的度數是（）A．18° B．82° C．18°或82° D．82°或50°【題型五】作圖時未保留痕跡或步驟不規(guī)范【例5】（2024秋?北關區(qū)校級期末）已知：如圖，線段a和線段b．（1）尺規(guī)作圖：求作線段AB＝a+b，并在線段BA的延長線上，求作線段AC＝a﹣b；（作圖工具只限直尺和圓規(guī)，保留作圖痕跡）（2）若M、N分別是AB、AC的中點，求MN的長（用含a、b的式子表示）．【變式5-1】（2024秋?鄞州區(qū)期末）如圖，同一平面上的點A和線段BC．（1）畫射線AC、直線AB；（2）使用尺規(guī)，比較2AB與線段BC的大小關系．（要求保留作圖痕跡）【變式5-2】（2024秋?東莞市校級期末）如圖，已知線段AB、a、b．（1）請用尺規(guī)按下列要求作圖：（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）①延長線段AB到C，使BC＝a；②反向延長線段AB到D，使AD＝b．（2）在（1）的條件下，如果AB＝8cm，a＝6cm，b＝10cm，且點E為CD的中點，求線段AE的長度．【題型一】幾何圖形識別與分類解題技巧核心技巧：明確平面圖形與立體圖形的本質區(qū)別（是否共面）；立體圖形展開圖需牢記“正方體11種展開圖、圓柱展開圖為長方形+兩個圓、圓錐展開圖為扇形+圓”；折疊時通過“相對面不相鄰”判斷對應關系?！纠?】（2025秋?新城區(qū)校級期中）下列選項中，說法錯誤的是（）A．直三棱柱的側面是長方形 B．長方體、正方體都是四棱柱 C．圓錐由一個平面和一個曲面圍成 D．六棱柱有18條棱、8個側面、12個頂點【變式1—1】（2024秋?涼州區(qū)校級期末）下列說法不正確的是（）A．五棱柱有5個面、5條棱 B．圓錐的底面是圓 C．棱柱的上下底面是完全相同的圖形 D．長方體與正方體都有六個面【變式1—2】（2024秋?任城區(qū)期末）如圖中的幾何體中，由4個面圍成的幾何體是（）A． B． C． D．【題型二】直線、射線、線段計算解題技巧核心技巧：遇到線段計算，優(yōu)先畫圖形標注已知條件；涉及“中點”“分點”時，用字母表示線段長度（如設AB=x）；多端點共線問題，分類討論點的位置（在線段上或延長線上）；牢記“兩點之間線段最短”“兩點確定一條直線”的應用場景?！纠?】（2025秋?青龍縣期中）下列是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符號代表的內容．下列回答不正確的是（）如圖，點C在線段MN上，且MC：CN＝5：4，MN＝36，P是MN的中點，求PC的長．解：因為MN＝36，MC：CN＝5：4，所以MC=59※＝又因為P是MN的中點，所以MP＝☆MN＝△，所以PC＝MC﹣◎＝2．A．※代表MN B．☆代表12 C．△代表18 D．◎代表【變式2—1】（2024秋?潮南區(qū)期末）如圖，在線段AB上有C、D兩點，CD長度為1cm，AB長為整數，則以A，B，C，D為端點的所有線段長度和不可能為（）A．16cm B．21cm C．22cm D．31cm【變式2—2】（2025秋?沈陽期中）小明進行了如下操作，下列說法中錯誤的是（）①作射線AM；②在射線AM上依次截取AC＝CD＝a；③在線段DA上截取DB＝b；④分別找到線段AC，BD的中點E，F．A．AD＝2a B．AB＝2a﹣b C．BC＝a﹣b D．EF=【題型三】角的計算與證明技巧核心技巧：角的計算先統(tǒng)一單位（度化分、分化秒或反之）；遇“角平分線”“余角”“補角”，優(yōu)先用等式表示角度關系；對頂角、鄰補角的性質直接應用（對頂角相等，鄰補角和為180°）；復雜圖形中，通過標注字母簡化角度關系。【例3】（2024秋?深圳期末）如圖，將長方形紙片ABCD的∠C沿著GF折疊（點F在線段BC上，且不與B，C重合），使點C落在長方形內部點E處，若∠BFH：∠EFH＝1：2，∠GFC＝x，則∠EFH的度數是（）A．120°-32x B．120°-4【變式3—1】（2024秋?正陽縣期末）已知∠AOB＝58°32'，以O為端點作射線OC，使∠AOC＝42°41'，則∠BOC的度數是（）A．15°51' B．101°13'或15°51' C．101°13' D．105°51'【變式3—2】（2024秋?吳川市校級期末）如圖，已知O為直線AB上一