2026年教師資格（學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力-數(shù)學(xué)）自測(cè)試題及答案

班級(jí)______姓名______（考試時(shí)間：90分鐘滿分100分）一、選擇題（總共10題，每題3分，每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填在括號(hào)內(nèi)）1.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$，則函數(shù)$f(x)$的定義域是（）A.$x\neq0$B.$x\neq1$C.$x\neq-1$D.$x\gt1$2.直線$y=2x+1$與直線$y=-x+4$的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.$(1,3)$B.$(2,5)$C.$(3,7)$D.$(-1,-1)$3.若向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(3,4)$，則$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow$的值為（）A.5B.11C.15D.204.拋物線$y=2x^2$的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.$(0,\frac{1}{2})$B.$(0,\frac{1}{4})$C.$(0,\frac{1}{8})$D.$(0,1)$5.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_3=5$，$S_5=25$，則公差$d$的值為（）A.1B.2C.3D.46.函數(shù)$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的最小正周期是（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$7.曲線$y=x^3-3x^2+1$在點(diǎn)$(1,-1)$處的切線方程為（）A.$y=3x-4$B.$y=-3x+2$C.$y=-4x+3$D.$y=4x-5$8.已知函數(shù)$f(x)$是奇函數(shù)，當(dāng)$x\gt0$時(shí)，$f(x)=x^2-2x$，則當(dāng)$x\lt0$時(shí)，$f(x)$的表達(dá)式為（）A.$-x^2-2x$B.$-x^2+2x$C.$x^2+2x$D.$x^2-2x$9.若圓$x^2+y^2-2x-4y=0$的圓心到直線$x-y+a=0$的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$a$的值為（）A.-2或2B.$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$C.2或0D.-2或010.設(shè)$f(x)$是定義在$R$上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)$x\in[0,1]$時(shí)，$f(x)=x+1$，則$f(\frac{3}{2})$的值為（）A.$\frac{3}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{3}{4}$二、填空題（總共5題，每題4分，請(qǐng)把答案填在題中橫線上）1.函數(shù)$f(x)=\log_2(x-1)$的定義域是______。2.已知直線$l$的斜率為$k=-\frac{3}{4}$，且直線$l$過(guò)點(diǎn)$(1,2)$，則直線$l$的方程為______。3.若向量$\overrightarrow{a}=(x,1)$，$\overrightarrow=(1,-2)$，且$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow$，則$x$的值為______。4.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_4=8$，則公比$q$的值為______。5.函數(shù)$y=\cos^2x-\sin^2x$的最小正周期是______。三、解答題（總共4題，每題10分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）1.已知函數(shù)$f(x)=x^2-2x+3$，求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,3]$上的最大值和最小值。2.在$\triangleABC$中，已知$a=3$，$b=4$，$c=\sqrt{37}$，求角$C$的大小。3.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$(2,0)$，求橢圓的方程。4.已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_n=2n^2+n$，求數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式。四、材料分析題（1題，20分）閱讀以下材料：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常會(huì)遇到一些學(xué)生對(duì)概念理解不透徹，導(dǎo)致解題出錯(cuò)的情況。比如在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的概念時(shí)，有些學(xué)生只是記住了判斷單調(diào)性的方法，卻沒(méi)有真正理解單調(diào)性的本質(zhì)含義。一位教師在講解函數(shù)單調(diào)性時(shí)，首先通過(guò)展示多個(gè)函數(shù)圖像，讓學(xué)生直觀地觀察函數(shù)在不同區(qū)間上的變化趨勢(shì)，然后引導(dǎo)學(xué)生用自己的語(yǔ)言描述函數(shù)在某些區(qū)間上是如何上升或下降的。接著，教師給出一些具體的函數(shù)，讓學(xué)生分組討論這些函數(shù)在不同區(qū)間上的單調(diào)性，并要求每個(gè)小組推選一名代表進(jìn)行發(fā)言。在學(xué)生發(fā)言后，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和總結(jié)，強(qiáng)調(diào)函數(shù)單調(diào)性的定義中“任意”兩個(gè)字的重要性，并通過(guò)具體的例子讓學(xué)生進(jìn)一步理解。之后，教師布置了一些練習(xí)題，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)單調(diào)性知識(shí)進(jìn)行求解。在學(xué)生做題過(guò)程中，教師巡視并及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問(wèn)題，如對(duì)概念理解不清、解題步驟不規(guī)范等，并進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)。最后，教師對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行了總結(jié)，再次強(qiáng)調(diào)函數(shù)單調(diào)性的概念和判斷方法，并鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)思考函數(shù)單調(diào)性在實(shí)際生活中的應(yīng)用。問(wèn)題：請(qǐng)結(jié)合材料，分析該教師在教學(xué)函數(shù)單調(diào)性時(shí)運(yùn)用了哪些教學(xué)方法？這些教學(xué)方法對(duì)學(xué)生理解和掌握函數(shù)單調(diào)性有何幫助？五、教學(xué)設(shè)計(jì)題（1題，20分）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一份關(guān)于“直線與圓的位置關(guān)系”的教學(xué)方案，要求包括教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)、教學(xué)方法、教學(xué)過(guò)程以及教學(xué)反思。答案：一、1.B2.A3.B4.C5.A6.B7.B8.A9.D10.B二、1.$x\gt1$2.$3x+4y-11=0$3.24.25.$\pi$三、1.$f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，對(duì)稱軸為$x=1$。在區(qū)間$[0,1]$上單調(diào)遞減，在區(qū)間$[1,3]$上單調(diào)遞增。$f(0)=3$，$f(1)=2$，$f(3)=6$。所以最大值為6，最小值為2。2.根據(jù)余弦定理$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，代入可得$\cosC=\frac{9+16-37}{2\times3\times4}=-\frac{1}{2}$，所以$C=120^{\circ}$。3.因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)$(2,0)$，所以$a=2$。又離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$c=\sqrt{3}$，則$b^2=a^2-c^2=1$，橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+y^2=1$。4.當(dāng)$n=1$時(shí)，$a_1=S_1=3$；當(dāng)$n\geq2$時(shí)，$a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1$。當(dāng)$n=1$時(shí)也滿足，所以$a_n=4n-1$。四、該教師運(yùn)用了直觀演示法、討論法、練習(xí)法和講授法。直觀演示法通過(guò)展示函數(shù)圖像讓學(xué)生直觀感受函數(shù)單調(diào)性，幫助學(xué)生建立感性認(rèn)識(shí)；討論法讓學(xué)生分組討論函數(shù)單調(diào)性，培養(yǎng)學(xué)生合作交流和自主探究能力，加深對(duì)概念的理解；練習(xí)法及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決；講授法總結(jié)強(qiáng)調(diào)函數(shù)單調(diào)性的概念和要點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)生記憶。這些方法相互配合，有助于學(xué)生從直觀感知到深入理解，再到熟練應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性知識(shí)。五、教學(xué)目標(biāo)：理解直線與圓的三種位置關(guān)