課時作業(yè)37直接證明與間接證明一、選擇題1．在△ABC中，sinAsinC<cosAcosC，則ABC一定是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定解析：由sinAsinC<cosAcosC得cosAcosC－sinAsinC>0，即cos(A＋C)>0，所以A＋C是銳角，從而B>eq\f(π,2)，故△ABC必是鈍角三角形．答案：C2．分析法又稱執(zhí)果索因法，已知x>0，用分析法證明eq\r(1＋x)<1＋eq\f(x,2)時，索的因是()A．x2>2B．x2>4C．x2>0D．x2>1解析：因為x>0，所以要證eq\r(1＋x)<1＋eq\f(x,2)，只需證(eq\r(1＋x))2<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,2)))2，即證0<eq\f(x2,4)，即證x2>0，因為x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立．答案：C3．(2018·上海二模)用反證法證明命題“已知，a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設的內(nèi)容應為()A．a(chǎn)，b都能被5整除B．a(chǎn)，b都不能被5整除C．a(chǎn)，b不都能被5整除D．a(chǎn)不能被5整除解析：由于反證法是命題的否定的一個運用，故用反證法證明命題時，可以設其否定成立進行推證．“a，b中至少有一個能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故選B.答案：B4．(2018·臨沂模擬)命題“如果數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，那么數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列”是否成立()A．不成立B．成立C．不能斷定D．能斷定解析：∵Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1時，a1＝S1＝－1符合上式)．又∵an＋1－an＝4(n≥1)．∴{an}是等差數(shù)列．答案：B5．(2018·江西南昌調(diào)研，11)設等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項之積為Tn，并且滿足條件：a1>1，a2016a2017>1，eq\f(a2016－1,a2017－1)<0，下列結論中正確的是()A．q<0B．a(chǎn)2016a2018C．T2016是數(shù)列{Tn}中的最大項D．S2016>S2017解析：由a1>1，a2016a2017>1得q>0，由eq\f(a2016－1,a2017－1)<0，a1>1得a2016>1，a2017<1,0<q<1，故數(shù)列{an}的前2016項都大于1，從第2017項起都小于1，因此T2016是數(shù)列{Tn}中的最大項．故選C.答案：C6．(2018·新鄉(xiāng)調(diào)研)設x，y，z∈R＋，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，則a，b，c三個數(shù)()A．至少有一個不大于2B．都小于2C．至少有一個不小于2D．都大于2解析：假設a，b，c都小于2，則a＋b＋c<6，而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,y)＋y＋eq\f(1,z)＋z＋eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(1,z)))≥2＋2＋2＝6，與a＋b＋c<6矛盾，∴a，b，c都小于2錯誤．∴a，b，c三個數(shù)至少有一個不小于2.故選C.答案：C二、填空題7．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，則a，b應滿足的條件是________．解析：aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，即(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))>0，需滿足a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b8．(2018·太原模擬)用反證法證明“若x2－1＝0，則x＝－1或x＝1”時，應假設__________________．解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．答案：x≠－1且x≠19．已知點An(n，an)為函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)圖象上的點，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖象上的點，其中n∈N*，設cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關系為________．解析：由條件得cn＝an－bn＝eq\r(n2＋1)－n＝eq\f(1,\r(n2＋1)＋n)，所以cn隨n的增大而減小，所以cn＋1<cn.答案：cn＋1<cn三、解答題10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求證：eq\f(|a|＋|b|,|a＋b|)≤eq\r(2).證明：a⊥b?a·b＝0，要證eq\f(|a|＋|b|,|a＋b|)≤eq\r(2).只需證|a|＋|b|≤eq\r(2)|a＋b|，只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2只需證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式顯然成立，故原不等式得證．11．已知a，b，c，d都是正數(shù)，求證：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.證明：由a，b，c，d都是正數(shù)，得eq\f(ab＋cd,2)≥eq\r(ab·cd)(當且僅當ab＝cd時，等號成立)，eq\f(ac＋bd,2)≥eq\r(ac·bd)(當且僅當ac＝bd時，等號成立)，所以eq\f(ab＋cdac＋bd,4)≥abcd，即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd(當且僅當a＝b＝c＝d時，等號成立)．[能力挑戰(zhàn)]12．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn；(2)設bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．解析：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d.由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)證明：由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假設數(shù)列{bn}中存在三項bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比數(shù)列，則beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))，∴(q2－pr)＋eq\r(2)(2q－p－r)＝0.∵p，q