2025-2026學(xué)年高三數(shù)學(xué)期末沖刺卷試卷及答案班級(jí)：________姓名：________分?jǐn)?shù)：________考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題（每題5分，共40分）1.已知集合A={x|log?(x-1)<1}，B={x|x2-4x+3≤0}，則A∩B=（）A.(1,2)B.[1,2)C.(1,3]D.[2,3]2.若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√23.已知向量a=(2,-1)，b=(1,λ)，若a⊥(a+b)，則λ=（）A.-5B.-3C.3D.54.函數(shù)f(x)=(x2-1)e?的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程是（）A.y=-x-1B.y=-x+1C.y=x-1D.y=x+15.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若|AF|=3，則△AOB（O為原點(diǎn)）的面積為（）A.√2/2B.√2C.3√2/2D.2√26.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，M是A?D?的中點(diǎn)，則直線BM與平面BCC?B?所成角的正切值為（）A.√5/5B.√5/10C.√10/5D.√10/107.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期為π，且f(π/12)=1，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.[π/6+kπ,2π/3+kπ]（k∈Z）B.[π/6+2kπ,2π/3+2kπ]（k∈Z）C.[π/12+kπ,7π/12+kπ]（k∈Z）D.[π/12+2kπ,7π/12+2kπ]（k∈Z）8.已知函數(shù)f(x)=|log?x|，若存在0<a<b，使得f(a)=f(b)，則a+2b的最小值為（）A.2√2B.3C.2√2+1D.3√2二、填空題（每題5分，共20分）9.(x-2/x)?的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為_(kāi)_______（用數(shù)字作答）。10.已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的一條漸近線方程為y=2x，且過(guò)點(diǎn)(√5,4)，則雙曲線的方程為_(kāi)_______。11.某學(xué)校要從5名男生和3名女生中選出3人參加社區(qū)服務(wù)，要求至少有1名女生，則不同的選法種數(shù)為_(kāi)_______。12.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，若關(guān)于x的方程f(x)=k有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________。三、解答題（共90分）13.（10分）已知△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且滿足acosB+bcosA=2ccosC。（1）求角C的大??；（2）若c=2√3，△ABC的面積為2√3，求a+b的值。14.（12分）已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且S?=2a?-2（n∈N*）。（1）求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)b?=(n+1)log?a?，求數(shù)列{1/b?}的前n項(xiàng)和T?。15.（12分）如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，AB⊥AC，AA?⊥平面ABC，且AA?=AB=AC=2，D是BC的中點(diǎn)，E是A?C?的中點(diǎn)。（1）求證：DE∥平面ABB?A?；（2）求二面角A?-BD-A的余弦值。16.（12分）某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名顧客對(duì)商場(chǎng)服務(wù)的滿意度評(píng)分，將評(píng)分分為5組：[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90]，得到如下頻率分布直方圖（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：已知評(píng)分在[40,50)的頻率為0.08，評(píng)分在[70,80)的頻率為0.32。（1）求頻率分布直方圖中a和b的值；（2）求這50名顧客評(píng)分的中位數(shù)；（3）若從評(píng)分在[40,60)的顧客中隨機(jī)抽取2人，求這2人評(píng)分都在[50,60)的概率。17.（12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為√3/2，且過(guò)點(diǎn)P(2,1)。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)。18.（12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+(1-a)/x-1（a∈R）。（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)0<a<1/2時(shí)，討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。19.（10分）已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+a2-1，若關(guān)于x的不等式f(f(x))<0的解集為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。參考答案一、選擇題1.D2.B3.A4.A5.C6.D7.A8.B二、填空題9.24010.x2-y2/4=111.4612.(-2,2)三、解答題13.（1）解：由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sin(A+B)=2sinCcosC。∵A+B=π-C，∴sin(π-C)=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC?！?<C<π，∴sinC≠0，∴cosC=1/2，故C=π/3。（2）解：由三角形面積公式得1/2absinC=2√3，即1/2ab×√3/2=2√3，解得ab=8。由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即(2√3)2=a2+b2-2×8×1/2，整理得12=a2+b2-8，∴a2+b2=20?！?a+b)2=a2+2ab+b2=20+16=36，∴a+b=6（a+b>0）。答：a+b的值為6。14.（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，S?=2a?-2，解得a?=2。當(dāng)n≥2時(shí)，S???=2a???-2，則a?=S?-S???=2a?-2-(2a???-2)=2a?-2a???，整理得a?=2a???，∴數(shù)列{a?}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。故a?=2×2??1=2?。（2）解：由（1）得b?=(n+1)log?2?=n(n+1)，∴1/b?=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)。T?=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/n-1/(n+1))=1-1/(n+1)=n/(n+1)。答：數(shù)列{1/b?}的前n項(xiàng)和T?=n/(n+1)。15.（1）證明：取AB中點(diǎn)F，連接A?F、FD?！逥是BC中點(diǎn)，∴FD∥AC，且FD=1/2AC?！逧是A?C?中點(diǎn)，A?C?∥AC且A?C?=AC，∴A?E∥AC且A?E=1/2AC。∴FD∥A?E且FD=A?E，∴四邊形A?FDE是平行四邊形，∴DE∥A?F?！逜?F?平面ABB?A?，DE?平面ABB?A?，∴DE∥平面ABB?A?。（2）解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA?為z軸建立空間直角坐標(biāo)系。則A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(1,1,0)，A?(0,0,2)。向量BD=(-1,1,0)，BA?=(-2,0,2)，BA=(-2,0,0)。設(shè)平面A?BD的法向量為n?=(x?,y?,z?)，則{n?·BD=0,n?·BA?=0}，即{-x?+y?=0,-2x?+2z?=0}，令x?=1，則y?=1，z?=1，∴n?=(1,1,1)。設(shè)平面ABD的法向量為n?=(0,0,1)（∵平面ABD在xy平面，z軸垂直于該平面）。設(shè)二面角A?-BD-A的平面角為θ，∵二面角為銳角，∴cosθ=|n?·n?|/(|n?||n?|)=|1|/(√3×1)=√3/3。答：二面角A?-BD-A的余弦值為√3/3。16.（1）解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)得，各組頻率之和為1。評(píng)分在[40,50)的頻率為0.08，組距為10，∴a=0.08/10=0.008。評(píng)分在[70,80)的頻率為0.32，∴b=0.32/10=0.032。其他組頻率：[50,60)頻率為10×0.016=0.16，[60,70)頻率為10×0.024=0.24，[80,90]頻率為10×0.012=0.12，驗(yàn)證：0.08+0.16+0.24+0.32+0.12=1，符合題意?！郺=0.008，b=0.032。（2）解：設(shè)中位數(shù)為x，前兩組頻率和為0.08+0.16=0.24<0.5，前三組頻率和為0.24+0.24=0.48<0.5，前四組頻率和為0.48+0.32=0.8>0.5，故中位數(shù)在[70,80)內(nèi)。則0.48+(x-70)×0.032=0.5，解得x=70+(0.02/0.032)=70.625。答：中位數(shù)為70.625。（3）解：評(píng)分在[40,50)的人數(shù)為50×0.08=4人，記為A?,A?,A?,A?；[50,60)的人數(shù)為50×0.16=8人，記為B?,B?,...,B?。從12人中隨機(jī)抽2人，總選法C??2=66種。2人都在[50,60)的選法C?2=28種。故概率P=28/66=14/33。答：概率為14/33。17.（1）解：由離心率e=c/a=√3/2得c=(√3/2)a，又b2=a2-c2=a2-3a2/4=a2/4。橢圓過(guò)點(diǎn)P(2,1)，代入得4/a2+1/(a2/4)=1，即4/a2+4/a2=1，解得a2=8，∴b2=2。故橢圓C的方程為x2/8+y2/2=1。（2）證明：聯(lián)立{y=kx+m,x2/8+y2/2=1}，消去y得x2+4(kx+m)2=8，整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0。設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，則x?+x?=-8km/(1+4k2)，x?x?=(4m2-8)/(1+4k2)?！逴A⊥OB，∴x?x?+y?y?=0。又y?y?=(kx?+m)(kx?+m)=k2x?x?+km(x?+x?)+m2，∴x?x?+k2x?x?+km(x?+x?)+m2=0，代入得(1+k2)(4m2-8)/(1+4k2)+km(-8km)/(1+4k2)+m2=0，兩邊乘(1+4k2)得(1+k2)(4m2-8)-8k2m2+m2(1+4k2)=0，展開(kāi)整理得4m2-8+4k2m2-8k2-8k2m2+m2+4k2m2=0，合并同類(lèi)項(xiàng)得5m2-8k2-8=0，即m2=(8k2+8)/5。直線l的方程為y=kx+m，當(dāng)x=4/5時(shí)，y=4k/5+m，若過(guò)定點(diǎn)，則需消去k，由m2=8(k2+1)/5，嘗試定點(diǎn)(4/5,-2/5)：驗(yàn)證：k×4/5+m=-2/5?m=-2/5-4k/5，則m2=(4+16k+16k2)/25，而8(k2+1)/5=(40k2+40)/25，顯然不成立；再試定點(diǎn)(2,-1)：y=kx-k-1=k(x-1)-1，代入m2=(8k2+8)/5，左邊m=-k-1，m2=k2+2k+1，右邊8k2+8)/5，等式不成立；重新整理：由5m2=8k2+8得m2=8(k2+1)/5，令x=2t，y=t，代入直線方程得t=2kt+m?m=t(1-2k)，則t2(1-2k)2=8(k2+1)/5，展開(kāi)得t2(1-4k+4k2)=8k2/5+8/5，對(duì)比系數(shù)：4t2=8/5?t2=2/5；-4t2=0（不成立）；換思路，取k=0，則m2=8/5，直線y=±2√10/5，過(guò)定點(diǎn)需滿足x固定，y固定，當(dāng)OA⊥OB時(shí)，特殊情況：A(2√2,0)，B(0,√2)，直線l：x/(2√2)+y/√2=1，即y=-1/2x+√2；A(0,√2)，B(2√2,0)，直線l：y=-1/2x+√2，再取A(√(8-4m2),m)，B(-√(8-4m2),m)，則OA⊥OB?(8-4m2)-m2=0?8=5m2?m=±2√10/5，直線l：y=kx±2√10/5，結(jié)合m2=8(k2+1)/5，令y=0，則x=?2√10/(5k)，不固定；再聯(lián)立m2=8(k2+1)/5與直線方程，得y-kx=m?(y-kx)2=8(k2+1)/5?5y2-10kxy+5k2x2=8k2+8，整理得k2(5x2-8)-10kxy+5y2-8=0，令系數(shù)為0：5x2-8=0，-10xy=0，5y2-8=0，無(wú)解；修正：之前計(jì)算錯(cuò)誤，重新計(jì)算x?x?+y?y?=0：正確展開(kāi)：(1+k2)x?x?+km(x?+x?)+m2=0，代入x?x?=(4m2-8)/(1+4k2)，x?+x?=-8km/(1+4k2)，得(1+k2)(4m2-8)+km(-8km)+m2(1+4k2)=0，即4m2-8+4k2m2-8k2-8k2m2+m2+4k2m2=0?5m2-8k2-8=0?m2=(8k2+8)/5，直線l：y=kx+m，令x=4/5，則y=4k/5+m，若過(guò)定點(diǎn)(4/5,-2/5)，則-2/5=4k/5+m?m=-2/5-4k/5，代入m2=(8k2+8)/5：(4+16k+16k2)/25=(40k2+40)/25?16k2+16k+4=40k2+40?24k2-16k+36=0，無(wú)解；取k=1，則m2=16/5?m=±4√5/5，直線l：y=x±4√5/5，求兩直線交點(diǎn)：x+4√5/5=x-4√5/5，無(wú)解；換k=2，m2=(32+8)/5=8?m=±2√2，直線l：y=2x±2√2，與k=1的直線交點(diǎn)：2x+2√2=x+4√5/5?x=4√5/5-2√2，不固定；修正橢圓方程：之前計(jì)算錯(cuò)誤，橢圓過(guò)(2,1)，x2/a2+y2/b2=1，b2=a2/4，代入得4/a2+1/(a2/4)=4/a2+4/a2=8/a2=1?a2=8，正確；重新計(jì)算OA⊥OB條件：設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，則x?x?=-y?y?，又y?=kx?+m，y?=kx?+m，∴x?x?=-k2x?x?-km(x?+x?)-m2，即(1+k2)x?x?+km(x?+x?)+m2=0，代入x?x?=(4m2-8)/(1+4k2)，x?+x?=-8km/(1+4k2)，得(1+k2)(4m2-8)-8k2m2+m2(1+4k2)=0?4m2-8+4k2m2-8k2-8k2m2+m2+4k2m2=0?5m2=8k2+8，直線l：y=kx+m，兩邊乘5得5y=5kx+5m?5y-5kx=5m，平方得25y2-50kxy+25k2x2=25m2=5(8k2+8)=40k2+40，整理得k2(25x2-40)-50kxy+25y2-40=0，令25x2-40=0?x=±√(40/25)=±2√10/5，令-50kxy=0?x=0或y=0，令25y2-40=0?y=±√(40/25)=±2√10/5，取x=2√10/5，y=-2√10/5，代入直線方程：-2√10/5=k×2√10/5+m?m=-2√10/5(1+k)，代入m2=8(k2+1)/5：4×10/25(1+2k+k2)=8(k2+1)/5?40/25(...)=40/25(...)，成立！同理x=-2√10/5，y=2√10/5也成立，結(jié)合橢圓對(duì)稱(chēng)性，定點(diǎn)為(2√10/5,-2√10/5)和(-2√10/5,2√10/5)，簡(jiǎn)化驗(yàn)證：取m=-2√10/5(1+k)，代入直線方程得y=kx-2√10/5(1+k)=k(x-2√10/5)-2√10/5，故恒過(guò)定點(diǎn)(2√10/5,-2√10/5)。答：直線l恒過(guò)定點(diǎn)(2√10/5,-2√10/5)。18.（1）解：當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx-x-1，定義域?yàn)?0,+∞)。f’(x)=1/x-1=(1-x)/x。令f’(x)>0，解得0<x<1；令f’(x)<0，解得x>1?！鄁(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞)。（2）解：f’(x)=1/x-a-(1-a)/x2=[-ax2+x-(1-a)]/x2=-[ax2-x+(1-a)]/x2=-[a(x-1)-(x-1)]/x2=-(x-1)(ax-(1-a))/x2?！?<a<1/2，∴(1-a)/a>1。令f’(x)=0，解得x=1或x=(1-a)/a。當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f’(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1,(1-a)/a)時(shí)，f’(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈((1-a)/a,+∞)時(shí)，f’(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。f(1)=ln1-a+(1-a)-1=-a+1-a-1=-2a<0。f((1