3.2.1函數(shù)的單調(diào)性與最值培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一、單選題1.函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，則有()A．f(?1)<f(3)B．f(?1)≤f(3)答案C解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上是減函數(shù)，且－1<3，所以f(?1)>f(3)2.已知f(x)是定義在[0,+∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)，則滿足f(2x?1)<f(13)A．(12,23) B．(?∞,答案C解析∵f(x)是定義在[0,+∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)，∴不等式f(2x?1)<f(13)即12≤x<23，即不等式的解集為3.下列四個(gè)函數(shù)在(－A．fx=C．f(x)=－x答案D解析對(duì)于A：f(x)=x2+4，二次函數(shù)，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為y軸，在(對(duì)于B：f(x)=1－2x，一次函數(shù)，k<0，在(－對(duì)于B：f(x)=－x2－x+1，二次函數(shù)，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=對(duì)于D：f(x)=2?3x，反比例類型，k<0，在(－∞,0)是增函數(shù)，故4.已知函數(shù)f(x)=?x2+4x+a,x∈[0,1]，若f(x)有最小值?2A．－1B．0C．1 D．2答案C解析f(x)=?x2?4x+4+a+4=?(x?2)2+4+a.∴函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為x=2，∴f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增．又∵f(x5.y=x?1x在[1,2]A．－1 B．0 C．1 D．3答案B解析根據(jù)題意y=x?1x在[1,2]上為增函數(shù)，則y=x?1x在[1,2]上的最小值為y=0，故選：二、多選題6.已知函數(shù)f(x)=&xA.?2B.?1C.0D.1答案AB解析函數(shù)f(x)=&x2所以&?a≥1&a<0&1+2a+5≥?a，解得?2≤a≤?1，∴整數(shù)a的取值為?2或?1．故選：三、填空題7.已知函數(shù)fx=xx答案(?∞,?1)和(1,+∞).解析x≥0時(shí)，fx=x2?2xx<0時(shí)，fx=?x2?2x∴函數(shù)的遞增區(qū)間是(?∞,?1)和(1,+∞).8.函數(shù)f(x)=x2+(2a+1)x+1在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是答案?解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=x2+(2a+1)x+1若f(x)在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)函數(shù)，則有?2a+12≤1或?2a+12即a的取值范圍為?39.函數(shù)f(x)=x+1x+2在區(qū)間[－答案4解析函數(shù)f(x)=x+1x+2=x+2?1x+2=1?1x+2；由那么函數(shù)f(x)四、解答題10.已知函數(shù)y=?x2(1)寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若x∈[0,3]，求函數(shù)的最大值和最小值．答案(1)[0,2)，[2,5](2)－2解析(1)y=?x2+4x?2=?(x?2)2(2)此函數(shù)在區(qū)間[0,2)上是增函數(shù)，在區(qū)間[2,3]上是減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象知：當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為2；又x=3時(shí)，y=1，x=0時(shí)，y=－2，所以函數(shù)的最小值為－2.11.已知函數(shù)f(x)=2x(1)求m的值；(2)判斷f(x)在(0,+∞(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[?5,?1]上的最值．答案1m=12減函數(shù)(3)最大值為解析(1)由f(4)=72得：24?4(2)函數(shù)f(x)在(0,+∞證明：設(shè)0<x則f∵0<x1<即fx2?fx1<0，即(3)由(1)知：函數(shù)f(x)=2x?x∴f(?x)=2?x?(?x)=?由(2)知：f(x)在[1,5]上為減函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[?5,?1]上為減函數(shù)．∴當(dāng)x=?5時(shí)，f(x)取得最大值，最大值為f(?5)=?2當(dāng)x=?1時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(?1)=?2+1=?1．12.已知函數(shù)f(x)=2x?ax的定義域?yàn)?0,1]((1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f(x)的值域；(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,1]上的最大值及最小值，并求出當(dāng)函數(shù)f(x)取得最值時(shí)x的值．答案1?∞,12當(dāng)a≥0時(shí)，y=f(x)無(wú)最小值a≤?2時(shí)，y=f(x)無(wú)最大值，當(dāng)x=1時(shí)取得最小值2?a；當(dāng)?2<a<0時(shí)，y=f(x)無(wú)最大值，當(dāng)x=?a解析(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=2x?1x，任取則f(x∵1≥x1>∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，無(wú)最小值，當(dāng)x=1時(shí)取得最大值1，所以f(x)的值域?yàn)??∞,1]．(2)當(dāng)a≥0時(shí)，y=f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，無(wú)最小值，當(dāng)x=1時(shí)取得最大值2－a；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)=2x+?a當(dāng)?a2≥1，即a∈(?∞,?2]時(shí)，y=f(x)在當(dāng)x=1時(shí)取得最小值2?a；當(dāng)?a2<1，即a∈(－2,0)時(shí)，y=f(x)在[?a2,1)上單調(diào)遞增，無(wú)最大值，當(dāng)x=?a2培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練一、單選題1.設(shè)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是()A．y=1f(x)在R上為減函數(shù) B．y=|f(x)|在RC．y=?1f(x)在R上為增函數(shù) D．y=－答案D解析根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，若f(x)=x，則y=1f(x)=1x對(duì)于B，若f(x)=x，則y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若f(x)=x，則y=?1f(x)=?1x對(duì)于D，函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則對(duì)于任意的x1、x2∈R對(duì)于y=－f(x)，則有則y=－f(x)在R上為減函數(shù)，D正確；故選：2.函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)且f(a)+f(b)>f(－a)+f(－b)則()A．a(chǎn)>b>0 B．a(chǎn)－b>0 C．a(chǎn)+b>0 D．a(chǎn)>0,b>0答案C解析設(shè)a+b≤0，則a≤－b，b≤－a，∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，∴f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)，這與題設(shè)f(a)+f(b)>f(－a)+f(－b)矛盾，∴a+b>0故選：C．3.函數(shù)f(x)=ax2?(3a?1)x+a2在[1,+∞)A．(－∞,1) B．(0,1] C．[0,1] 答案C解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=ax2?(3a?1)x+a2①若a=0，則f(x)=x，在R上為增函數(shù)，符合題意；②若a≠0，則有a>03a?12a≤1綜合可得：a的取值范圍為[0,1]；故選：C．4.已知函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意x∈R，都有f(f(x)－2x)=3A．3 B．9 C．10 D．11答案B解析設(shè)f(x)－2x=t，則f(x)=2x+t；∴ft∴f(f(x)－2x)=3=f(1)；∴f(x)－2x=1；5.若函數(shù)f(x)=?2x2A．單調(diào)遞減無(wú)最小值 B．單調(diào)遞減有最小值 C．單調(diào)遞增無(wú)最大值 D．單調(diào)遞增有最大值答案A解析f(x)=?2x2x+1∵x1<x2，∴2x2>2x∴f(x)=?2x2x+1二、多選題6.已知x≥1，則下列函數(shù)的最小值為2A.y=2x+x2答案AC解析選項(xiàng)A，x≥1,y=2x選項(xiàng)B，y=4x+1x在x≥1遞增，可得y的最小值為5；

選項(xiàng)C，y=3x?1x在x≥1遞增，可得y的最小值為2；

選項(xiàng)三、填空題7.若f(x)=ax,x≥1?x+3a,x<1是R上的單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a答案[解析若f(x)=ax,x≥1?x+3a,x<1是R上的單調(diào)減函數(shù)，得則故答案為：[18.若函數(shù)f(x)=(x－2)|x－a|(a∈R)在區(qū)間[3,4]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a答案(解析f(x)=(x?2)(x?a),x≥a?(x?2)(x?a),x<a；∴(1)a≥2時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2,a+2若函數(shù)f(x)在區(qū)間[3，4]上單調(diào)遞增，則a+22≥4，或a≤3(2)a<2時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,a]和[a+2綜上a∈(?9.已知函數(shù)f(x)=x+2|x|+2，x∈R，則fx答案(0,3)解析f(x)=x+2|x|+2=1x≥0?1+42?xx<0∴由fx2?3x<f(3?x)得：x2?3x<0x四、解答題10.已知函數(shù)f(x)=x(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)在(m,m+2)上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；(2)求函數(shù)f(x)的最小值．答案(1)(?∞,?1]∪[1,+∞)(2)f解析(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=x2根據(jù)圖，可知函數(shù)f(x)在(?∞,1]上單調(diào)遞減，在[1,+∞)上單調(diào)遞增．∵f(x)在(m,m+2)上為單調(diào)函數(shù)，∴m+2≤1，或m≥1，解得m≤?1，或m≥1．∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(?∞,?1]∪[1,+∞)．(2)由題意，f(x)=x①當(dāng)a≤?1時(shí)，此時(shí)函數(shù)f(x)大致圖象如下：此時(shí)fx②當(dāng)?1<a<1時(shí)，此時(shí)函數(shù)f(x)大致圖象如下：此時(shí)fx③當(dāng)a≥1時(shí)，此時(shí)函數(shù)f(x)大致圖象如下：此時(shí)fx綜上所述，可得fx11.定義在(0,+∞)上的函數(shù)①對(duì)任意正數(shù)a,b，都有f(a)+f(b)=f(ab)；②當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0；③f(2)=?1．(1)求f(1)和f14的值；(2)試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)f(x)在(3)求滿足f4x3答案(1)f(1)=0，f14=2(2)略解析(1)∵對(duì)任意正數(shù)a,b，都有f(a)+f(b)=f(ab)，∴令a=1得f(1)+f(b)=f(b)，∴f(1)=0，∵f(2)=?1,∴f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)=?2，f1(2)任取x1,x2∈(0,+∵當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，∴fx∴fx∴函數(shù)數(shù)f(x)在(0,+∞(3)∵f4∴&4x3∴f4x3?12x∴0<x3?3x2<18x，解得3<x<6培優(yōu)第三階——高考沙場(chǎng)點(diǎn)兵1.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，，則“f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增”是“f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值為f(1)”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析若函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)在[0,1]上的最大值為f(1)，若f(x)=x?132，則函數(shù)f(x)在[0,1]上的最大值為f(1)，但函數(shù)f(x)在2.已知函數(shù)f(x)=x2+bx，則“b<0”是“f(f(x))的最小值與A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析f(x)的對(duì)稱軸為x=?b2，(1)若b<0，則?b2>?b24，∴當(dāng)即f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等．∴“b<0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的充分條件．(2)設(shè)f(x)=t，則f(f(x))=f(t)，∴f(t)在?b24若f(f