復變函數(shù)考試試卷及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.復數(shù)\(z=3+4i\)的模為（）A.3B.4C.5D.72.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z}\)在\(z=0\)處是（）A.解析點B.可去奇點C.極點D.本性奇點3.若\(z=re^{i\theta}\)，則\(z\)的共軛復數(shù)\(\overline{z}\)為（）A.\(re^{-i\theta}\)B.\(-re^{i\theta}\)C.\(re^{i(\theta+\pi)}\)D.\(-re^{-i\theta}\)4.積分\(\oint_{|z|=1}\frac{1}{z}dz\)的值為（）A.\(0\)B.\(2\pii\)C.\(-2\pii\)D.\(4\pii\)5.函數(shù)\(f(z)=z^2\)的導數(shù)\(f^\prime(z)\)是（）A.\(z\)B.\(2z\)C.\(z^2\)D.\(2\)6.復數(shù)\(z=1-i\)的輻角主值為（）A.\(\frac{\pi}{4}\)B.\(-\frac{\pi}{4}\)C.\(\frac{3\pi}{4}\)D.\(-\frac{3\pi}{4}\)7.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}z^n\)的收斂半徑為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(+\infty\)D.不存在8.若\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，且\(f^\prime(z)=0\)，則\(f(z)\)在\(D\)內(nèi)（）A.為常數(shù)B.為線性函數(shù)C.為二次函數(shù)D.不確定9.函數(shù)\(f(z)=\sinz\)的周期是（）A.\(2\pi\)B.\(\pi\)C.\(4\pi\)D.無周期10.\(e^{i\pi}\)的值為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(i\)D.\(-i\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些是解析函數(shù)的性質(zhì)（）A.滿足柯西-黎曼方程B.具有任意階導數(shù)C.可以展開成冪級數(shù)D.實部和虛部是調(diào)和函數(shù)2.關(guān)于復數(shù)的運算，正確的有（）A.\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)B.\((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)C.\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}\)D.\(|z_1z_2|=|z_1||z_2|\)3.下列哪些點是函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z^2-1}\)的奇點（）A.\(z=1\)B.\(z=-1\)C.\(z=0\)D.\(z=i\)4.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\)的收斂情況可能是（）A.僅在\(z=z_0\)處收斂B.在整個復平面收斂C.在某個圓域\(|z-z_0|<R\)內(nèi)收斂D.在復平面上除\(z=z_0\)外都收斂5.下列函數(shù)中，哪些是周期函數(shù)（）A.\(e^z\)B.\(\cosz\)C.\(\sinz\)D.\(\tanz\)6.關(guān)于柯西積分公式，正確的說法有（）A.若\(f(z)\)在簡單閉曲線\(C\)所圍區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，\(z_0\)在\(D\)內(nèi)，則\(\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\piif(z_0)\)B.柯西積分公式是計算復積分的重要工具C.公式中的\(C\)必須是正向簡單閉曲線D.對于\(f(z)\)在\(C\)上連續(xù)就可以使用該公式7.以下哪些是復變函數(shù)的積分方法（）A.參數(shù)方程法B.柯西積分定理C.柯西積分公式D.留數(shù)定理8.函數(shù)\(f(z)\)在\(z_0\)處解析的等價條件有（）A.\(f(z)\)在\(z_0\)處可導B.\(f(z)\)在\(z_0\)的某鄰域內(nèi)可導C.\(f(z)\)在\(z_0\)處滿足柯西-黎曼方程D.\(f(z)\)在\(z_0\)的某鄰域內(nèi)可展開成冪級數(shù)9.對于復數(shù)\(z=x+iy\)，其實部和虛部分別為（）A.\(Re(z)=x\)B.\(Im(z)=y\)C.\(Re(z)=y\)D.\(Im(z)=x\)10.下列哪些屬于復變函數(shù)的研究內(nèi)容（）A.復數(shù)的運算B.解析函數(shù)C.復變函數(shù)的積分D.冪級數(shù)展開三、判斷題（每題2分，共20分）1.復數(shù)\(z_1=1+2i\)和\(z_2=2+i\)相等。（）2.函數(shù)\(f(z)=\overline{z}\)在復平面內(nèi)處處解析。（）3.若\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，則\(|f(z)|\)在\(D\)內(nèi)也解析。（）4.積分\(\oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2}dz=0\)。（）5.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}z^n\)在\(|z|<1\)內(nèi)絕對收斂。（）6.函數(shù)\(f(z)=\cosz\)的零點是\(z=k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)。（）7.若\(f(z)\)在\(z_0\)處有可去奇點，則\(\lim_{z\toz_0}(z-z_0)f(z)=0\)。（）8.復變函數(shù)的導數(shù)定義與實變函數(shù)導數(shù)定義形式相同。（）9.復數(shù)\(z\)滿足\(|z|^2=z\overline{z}\)。（）10.解析函數(shù)的實部和虛部滿足拉普拉斯方程。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。答案：解析函數(shù)\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)的實部\(u\)和虛部\(v\)都是調(diào)和函數(shù)，且滿足柯西-黎曼方程，反之，已知一個調(diào)和函數(shù)，可構(gòu)造出共軛調(diào)和函數(shù)，進而得到解析函數(shù)。2.說明柯西積分定理的內(nèi)容。答案：若函數(shù)\(f(z)\)在單連通區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，\(C\)為\(D\)內(nèi)的一條簡單閉曲線，則\(\oint_{C}f(z)dz=0\)。3.求冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\)收斂半徑\(R\)的方法。答案：常用比值法或根值法。比值法：\(R=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|\)（若極限存在）；根值法：\(R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\)。4.簡述奇點的分類。答案：奇點分為可去奇點、極點和本性奇點。在可去奇點處函數(shù)極限存在；極點處函數(shù)極限為無窮；本性奇點處函數(shù)極限不存在且不為無窮。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論復變函數(shù)積分與實變函數(shù)積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：復變函數(shù)積分定義形式與實變函數(shù)曲線積分有相似性，計算時都可能用到參數(shù)方程。區(qū)別：復變函數(shù)積分對象是復值函數(shù)，積分路徑在復平面，有獨特的柯西積分定理等方法，而實變函數(shù)積分主要在實數(shù)軸或平面區(qū)域上進行。2.探討解析函數(shù)在實際中的應用領域。答案：在流體力學中用于描述平面無旋流動；在靜電場理論里可分析電場分布；在熱傳導問題中能處理二維穩(wěn)態(tài)熱傳導，通過解析函數(shù)性質(zhì)可簡化問題求解。3.談談對復變函數(shù)冪級數(shù)展開的理解。答案：冪級數(shù)展開可將解析函數(shù)在某點鄰域內(nèi)表示為冪級數(shù)形式，方便研究函數(shù)性質(zhì)，如求導、積分。泰勒級數(shù)用于解析點展開，洛朗級數(shù)可在含奇點區(qū)域展開，為分析函數(shù)在不同區(qū)域特性提供工具。4.分析研究復變函數(shù)中奇點對函數(shù)性質(zhì)的影響。答案：奇點影響函數(shù)解析性，可去奇點不改變函數(shù)整體性質(zhì)；極點使函數(shù)在該點趨于無窮，影響函數(shù)的取值范圍和積分等性質(zhì)；本性奇點導致函數(shù)在其鄰域內(nèi)行為復雜，極限不存在且無規(guī)律，嚴重影響函數(shù)整體特性。答案一、單項選擇題1.C2.C3.A4