高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省A佳教育聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合為不小于1的正整數(shù)，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，.故選：D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.i B.1 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，解?故選：A．3.已知直線過點(diǎn)，，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，所以，所以傾斜角的取值范圍為.故選：B．4.已知直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.5.如圖，在空間四面體中，已知，，則異面直線與所成角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由空間向量得，兩邊平方得，整理得，所以，則，故異面直線與所成角為．故選：C.6.與圓及圓都內(nèi)切的圓的圓心在（）A.雙曲線上 B.直線上 C.圓上 D.橢圓上【答案】D【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為．，圓心，半徑為．設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，則，，，所以圓心的軌跡是以分別為左、右焦點(diǎn)的橢圓．故選：D．7.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2．為直角三角形且其內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，直線的斜率為2，故⊥，則，故，又，所以，，由勾股定理得，所以．又內(nèi)切圓半徑，由三角形等面積法可得，解得，故，，故雙曲線的方程為.故選：A．8.已知點(diǎn)集分別表示曲線，則的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】B【解析】曲線，曲線是雙曲線一部分和圓的一部分構(gòu)成的圖象，理由如下：當(dāng)，時(shí)，曲線方程可化為，為雙曲線的一部分；當(dāng)，時(shí)，曲線方程可化為，即，無解；當(dāng)，時(shí)，曲線方程可化為，為圓的一部分，半徑為；當(dāng)，時(shí)，曲線方程可化為，為雙曲線的一部分.曲線，曲線是由四條線段構(gòu)成的圖象，理由如下：當(dāng)，時(shí)，曲線方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線方程可化為.如圖：同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為：，所以（，）與線段（，）相切，有1個(gè)公共點(diǎn).故在第一、三、四象限各1個(gè)交點(diǎn)，共3個(gè)交點(diǎn)．故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，下列說法正確的是（）A. B.C. D.平面ABC的一個(gè)法向量是【答案】BCD【解析】對(duì)于A，，故A不正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，于是有，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，，，所以是平面的一個(gè)法向量，故D正確，故選：BCD．10.函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為（）A.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為B.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱D.若，則函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】選項(xiàng)A：由，，可得，，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，故A正確；選項(xiàng)B：，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于不對(duì)稱，故B錯(cuò)誤，故C正確；選項(xiàng)D：由，可得，則，則．即若，則函數(shù)的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11.如圖，在棱長為1的正方體中，在線段上，且，動(dòng)點(diǎn)滿足：，下列說法正確的是（）A.直線與平面所成角的余弦值的最大值為B.存在，使四點(diǎn)共面C.存在，使D.的最小值為【答案】BCD【解析】以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：選項(xiàng)，則，所以，所以，因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，，因?yàn)?，所以，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)，使，即，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，四點(diǎn)共面，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，則，解得，故C選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故選項(xiàng)正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.過點(diǎn)，垂直于軸的直線方程為______．【答案】【解析】因過點(diǎn)，垂直于軸直線的斜率為0.所以過點(diǎn)，垂直于軸的直線方程為,即．如圖：故答案為：．13.若直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則______．【答案】或【解析】由圓，得，圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以到直線的距離等于，即，解得或．故答案為：或．14.已知A，B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），點(diǎn)在雙曲線上且滿足直線AC，AB的斜率之積為，設(shè)直線BC與軸的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率為______．【答案】2【解析】如圖：設(shè)，，則.由，所以.又，，所以.又，所以．設(shè)，由，得．又三點(diǎn)共線，故．代入，得，故．離心率.故答案為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）以為直徑圓與的一條漸近線相交于M，N兩點(diǎn)，求四邊形的面積．解：（1）因?yàn)?，由雙曲線定義得，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，且的雙曲線，所以，故的方程為．（2）由題意得，的漸近線方程為，以為直徑，則為直角，且，從而得到點(diǎn)到軸的距離為，所以四邊形的面積．16.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，．（1）求角；（2）若，求邊上的高．解：（1）由，得．．，．又，，，．（2），，．由，解得．設(shè)邊上的高為，，.17.如圖，在四邊形中，，且與間的距離為6，O為的中點(diǎn)，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．（1）求等腰梯形的外接圓的方程；（2）已知直線：，過直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線交圓于M，N，求當(dāng)四邊形的面積取得最小值時(shí)，直線的方程．解：（1）由已知可得圓心在軸上，設(shè)圓心，半徑為，則圓的方程為．由，，代入圓的方程得，解得．故圓的方程為．（2）四邊形的面積．要使四邊形的面積最小，則圓心到直線的距離最小．過圓心作直線的垂線，垂線的方程為．聯(lián)立，解得．則四邊形的面積最小時(shí)，．因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，直徑為，其方程為．聯(lián)立，得直線的方程為．故所求的直線的方程為．18.如圖，在正四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，是棱PA的中點(diǎn)．（1）證明：平面BDE；（2）設(shè)該四棱錐外接球的體積為，當(dāng)取最小值時(shí)，求：（i）四棱錐的體積；（ii）平面BDE與平面PCD夾角的余弦值．（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接．因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以為的中點(diǎn)．又因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以．又面，面，所以平面．（2）（i）解：連接，設(shè)，四棱錐外接球的半徑為．因?yàn)槭钦睦忮F，所以球心在直線上．所以．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”．此時(shí)，．（ii）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．由（i）可知，所以，所以，，所以面，所以面的法向量可以是．又因?yàn)椋?，所以，．設(shè)平面的法向量為，則且．由，，，得，．所以，即，令，得，．設(shè)平面與平面的夾角為，所以．所以平面與平面夾角的余弦值為．19.已知橢圓C：，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．（i）若，記線段AB的中點(diǎn)為，求的坐標(biāo)；（ii）若點(diǎn)在第一象限，直線交橢圓于另一點(diǎn)，設(shè)分別是的內(nèi)切圓半徑，求的最大值．解：（1）由，得．由離心率，得．則．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）（?。┯桑?）得點(diǎn)坐標(biāo)，易得過點(diǎn)的所有直線與橢圓一定