高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省湘一名校聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（B卷）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，解得，則，因?yàn)?，所以，故B正確.故選：B.2.已知直線過點(diǎn)（2，0），且與直線平行，則（）A.1 B.2 C.-2 D.-1【答案】D【解析】由直線過點(diǎn)，得，即，由直線與直線平行，得，即，所以．故選：.3.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外切 B.內(nèi)切 C.相交 D.相離【答案】A【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，由，且，可得，所以圓和外切.故選：A.4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得或，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得在上單調(diào)遞增．故選：D.5.已知向量滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以．故選：C.6.已知是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離之和的最小值為（）A.2029 B.2030 C.2031 D.2032【答案】B【解析】由已知得的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)為點(diǎn)到的距離，設(shè)為點(diǎn)到的距離，則，即，由拋物線的定義得，故所求距離之和為，當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值，最小值為，，，當(dāng)點(diǎn)為線段與的交點(diǎn)時取等號．故選：.7.已知四棱柱的底面是正方形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，過點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，若，，則四棱柱的體積為（）A. B.12 C.8 D.4【答案】C【解析】由得，所以該四棱柱的高為2，設(shè)，則，由，得，解得，所以底面是邊長為2的正方形，所以該四棱柱的體積為．故選：C.8.已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】A【解析】由的離心率為，得，所以．所以雙曲線的漸近線方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，，，所以，因?yàn)椋怨蔬x：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知2017-2024年中國體育產(chǎn)業(yè)規(guī)模（單位：萬億元）數(shù)據(jù)如下表：年份20172018201920202021202220232024體育產(chǎn)業(yè)規(guī)模（萬億元）2.202.662.942.703.123.303.673.89則這8個數(shù)據(jù)的（）A.極差為1.69 B.中位數(shù)為2.91C.80%分位數(shù)是3.67 D.平均數(shù)大于3【答案】ACD【解析】極差為，故A正確；中位數(shù)為這8個數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列后的第4個數(shù)2.94與第5個數(shù)3.12的平均數(shù)3.03，故B錯誤；分位數(shù)是這8個數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列后的第7個數(shù)3.67，故C正確；平均數(shù)為，故D正確．故選：ACD．10.如圖，在三棱錐中，與都是邊長為2的正三角形，設(shè)，是棱上靠近的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，則（）A.B.C.D.異面直線與所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】對于A，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槭抢馍峡拷娜确贮c(diǎn)，所以，所以，故A正確；對于B，由題，因?yàn)椋?，解得，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，所以，故D正確.故選：ABD.11.過拋物線的焦點(diǎn)作直線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，則（）A.的最小值為4 B.C.以為直徑的圓過點(diǎn) D.以為直徑的圓過點(diǎn)【答案】BC【解析】對于，由題得，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A錯誤；對于B，拋物線C的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由，得所以，即，故B正確；對于C，由上述分析知，同理有，所以，故C正確；對于D，因?yàn)椋詾殁g角，點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，故D錯誤．故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.計算：___________．【答案】2【解析】．故答案為：2.13.函數(shù)在上零點(diǎn)個數(shù)為___________．【答案】4【解析】令，得，所以，由，可得的取值可以是0，1，2，3，故零點(diǎn)個數(shù)為4．故答案為：4.14.已知點(diǎn)在圓上，則當(dāng)取最小值時，___________．【答案】1或.【解析】已知點(diǎn)在圓上，所以，即，所以，其幾何意義是點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和，即，根據(jù)絕對值三角不等式：，當(dāng)點(diǎn)在線段上時取等號；點(diǎn)即在圓上，也在線段上，所以此時點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)；已知點(diǎn)，，利用兩點(diǎn)式方程可得：直線的方程為；方程聯(lián)立得：，解得或；即或；兩組解均滿足題意，所以或；故答案為：或.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線過兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且與垂直．（1）求的方程；（2）若圓過三點(diǎn)，求圓的方程．解：（1）因?yàn)檫^兩點(diǎn)，所以的方程為，即．所以的斜率，因?yàn)?，所以的斜率，又因?yàn)檫^點(diǎn)，所以的方程為，即．（2）因?yàn)辄c(diǎn)，所以，則，即，所以圓是以為直徑的圓．圓心為，半徑，所以圓的方程為．16.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若的面積為2，求的周長．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫驗(yàn)?，所以，所以，又因，所以，則．由，可得．（2）解：由余弦定理得．因?yàn)?，所以，所以．所以，可得．所以的周長為．17.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率．（1）求的方程；（2）記的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且不與軸重合的直線與交于兩點(diǎn)，證明：直線關(guān)于直線對稱．（1）解：由經(jīng)過點(diǎn)，得，由，得，所以，與聯(lián)立，得，所以的方程為．（2）證明：由（1）得，易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)．由得，由，得．所以，則，把，代入，得，把代入，得，不滿足，所以，則，所以直線關(guān)于直線對稱．18.如圖，在多面體中，四邊形是菱形，平面，平面平面，且與都是正三角形．（1）求證：；（2）若，點(diǎn)在棱上，且點(diǎn)到平面的距離為．（i）求；（ii）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)榕c都是正三角形，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）由（1）知，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以．（i）解：設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為，則，即取，得，所以點(diǎn)到平面的距離為，解得．所以．（ii）解：，由（i）知，平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即取，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為．19.已知雙曲線的離心率為2，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線與的左支交于兩點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn)，的中點(diǎn)為．（i）求證：；（ii）記的面積分別為，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（1）解：設(shè)的半