2026屆湖南省炎德英才大聯(lián)考數(shù)學(xué)高一上期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．“當時，冪函數(shù)為減函數(shù)”是“或2”的（）條件A.既不充分也不必要 B.必要不充分C.充分不必要 D.充要2．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，則A∩B＝（）A.{x|－2＜x＜－1} B.{x|－2＜x＜3}C.{x|－1＜x＜1} D.{x|1＜x＜3}3．下列函數(shù)中，以為最小正周期且在區(qū)間上為增函數(shù)的函數(shù)是（）A. B.C. D.4．函數(shù)圖象的一條對稱軸是A. B.x=πC. D.x=2π5．定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若時，對任意的都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．設(shè)函數(shù)與的圖象的交點為，則所在的區(qū)間為()A B.C. D.7．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又是周期為π的函數(shù)是()A. B.C. D.8．已知向量，則銳角等于A.30° B.45°C.60° D.75°9．對，不等式恒成立，則a的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或10．已知向量，，則與的夾角為A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，，，則的最小值為___________.12．已知某扇形的周長是，面積為，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)是______.13．已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是____________.14．已知函數(shù)=___________15．函數(shù)的定義域是__________.16．若函數(shù)的定義域為[－2，2]，則函數(shù)的定義域為______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知.（1）化簡；（2）若，求.18．如圖，在正方體中，為棱、的三等分點（靠近A點）.求證：（1）平面；（2）求證：平面平面.19．（1）計算：.（2）化簡：.20．已知實數(shù)，定義域為的函數(shù)是偶函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)（Ⅰ）求實數(shù)值；（Ⅱ）判斷該函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義證明；（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得對任意的，不等式恒成立．若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由21．某種產(chǎn)品的成本是50元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價（單位：元）與產(chǎn)品的日銷售量（單位：件）之間有如下表所示的關(guān)系：/元60708090/件80604020（1）根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷是否適合作為與的函數(shù)模型，并說明理由；（2）當每件產(chǎn)品的售價為多少時日利潤（單位：元）最大，并求最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分性、必要性的定義進行求解即可.【詳解】當時，冪函數(shù)為減函數(shù)，所以有，所以冪函數(shù)為減函數(shù)”是“或2”的充分不必要條件，故選：C2、A【解析】直接根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】解：因為A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，所以.故選：A.3、B【解析】對四個選項依次判斷最小正周期及單調(diào)區(qū)間,即可判斷.【詳解】對于A,,最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為,即,在內(nèi)不單調(diào),所以A錯誤;對于B,的最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為,即,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以B正確;對于C,的最小正周期為,所以C錯誤;對于D,的最小正周期為,所以D錯誤.綜上可知,正確的為B故選:B【點睛】本題考查了函數(shù)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間的判斷,根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷即可,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】利用函數(shù)值是否是最值，判斷函數(shù)的對稱軸即可【詳解】當x時，函數(shù)cos2π＝1，函數(shù)取得最大值，所以x是函數(shù)的一條對稱軸故選C【點睛】對于函數(shù)由可得對稱軸方程，由可得對稱中心橫坐標.5、B【解析】由可求解出和時，的解析式，從而得到在上的最小值，從而將不等式轉(zhuǎn)化為對恒成立，利用分離變量法可將問題轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)單調(diào)性求得在上的最大值，從而得到，進而求得結(jié)果.【詳解】當時，時，當時，，時，時，，即對恒成立即：對恒成立令，，，解得：故選：B6、C【解析】令，則，故的零點在內(nèi)，因此兩函數(shù)圖象交點在內(nèi)，故選C.【方法點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的交點與函數(shù)零點的關(guān)系、零點存在定理的應(yīng)用，屬于中檔題.零點存在性定理的條件：（1）利用定理要求函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線；（2）要求；（3）要想判斷零點個數(shù)還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性).7、D【解析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再求函數(shù)的周期，然后確定選項【詳解】是最小正周期為的奇函數(shù)，故A錯誤；的最小正周期是π是偶函數(shù)，故B錯誤；是最小正周期是π是偶函數(shù)，故C錯誤；最小正周期為π的奇函數(shù)，故D正確﹒故選：D8、B【解析】因為向量共線，則有，得,銳角等于45°，選B9、A【解析】對討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解不等式即可得到的取值范圍.【詳解】不等式對一切恒成立，當，即時，恒成立，滿足題意；當時，要使不等式恒成立，需，即有，解得.綜上可得，的取值范圍為.故選：A.10、C【解析】利用夾角公式進行計算【詳解】由條件可知，，，所以，故與的夾角為故選【點睛】本題考查了運用平面向量數(shù)量積運算求解向量夾角問題，熟記公式準確計算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解析】利用基本不等式常值代換即可求解.【詳解】因為，，，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為3，故答案為：312、2【解析】由扇形的周長和面積，可求出扇形的半徑及弧長，進而可求出該扇形的圓心角.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，所對弧長為，則有，解得，故.故答案為：2.【點睛】本題考查扇形面積公式、弧長公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的定義域,即可求得的取值范圍.【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞減由對數(shù)部分為單調(diào)遞減,且整個函數(shù)單調(diào)遞減可知在上單調(diào)遞增,且滿足所以,解不等式組可得即滿足條件的取值范圍為故答案為:【點睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,二次函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.14、2【解析】，所以點睛：本題考查函數(shù)對稱性的應(yīng)用．由題目問題可以猜想為定值，所以只需代入計算，得．函數(shù)對稱性的問題要大膽猜想，小心求證15、{|且}【解析】根據(jù)函數(shù)，由求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，解得，所以函數(shù)的定義域是{|且}，故答案為：{|且}16、【解析】∵函數(shù)的定義域為[－2，2]∴，∴∴函數(shù)的定義域為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】【試題分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系，可將原函數(shù)化簡為；（2）首先除以，即除以，然后分子分母同時除以，將所求式子轉(zhuǎn)化為僅含有的表達式來求解.【試題解析】(Ⅰ)(Ⅱ)==18、（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）欲證：平面，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只需證與平面內(nèi)一條直線平行，連接，可知，則，又平面，平面，滿足定理所需條件；（2）欲證：平面平面，根據(jù)面面垂直的判定定理可知，在平面內(nèi)一條直線與平面垂直，而平面，平面，則，，滿足線面垂直的判定定理則平面，而平面，滿足定理所需條件【詳解】（1）證明：連接，在正方體中，對角線，又因為、為棱、的三等分點，所以，則，又平面，平面，所以平面（2）因為在正方體中，因為平面，而平面，所以，又因為在正方形中，，而，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理，以及考查對基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用能力和基本定理的掌握能力19、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪及對數(shù)的運算法則計算可得；（2）利用誘導(dǎo)公式及特殊值的三角函數(shù)值計算可得；【詳解】解：（1）（2）20、（Ⅰ）1；（Ⅱ）在上遞增，證明詳見解析；（Ⅲ）不存在.【解析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，得到恒成立，即恒成立，進而得到，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）任取，且，根據(jù)題意，作差得到，進而可得出函數(shù)單調(diào)性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數(shù)在上遞增，由函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上遞減，再由題意，不等式恒成立可化為恒成立，即對任意的恒成立，根據(jù)判別式小于0，即可得出結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）因為定義域為的函數(shù)是偶函數(shù)，則恒成立，即，故恒成立，因為不可能恒為，所以當時，恒成立，而，所以（Ⅱ）該函數(shù)在上遞增，證明如下設(shè)任意，且，則，因為，所以，且；所以，即，即；故函數(shù)在上遞增（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數(shù)在上遞增，而函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)在上遞減．若存在實數(shù)，使得對任意的，不等式恒成立．則恒成立，即，即對任意的恒成立，則，得到，故，所以不存在【點睛】本主要考查由函數(shù)奇偶性求參數(shù)，用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)單調(diào)性，以及由不等式恒成立求參數(shù)的問題，熟記函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義即可，屬于?？碱}型.21、（1