高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省宿遷市泗陽縣2025-2026學年高二上學期期中數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.經過，兩點的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設直線的傾斜角為，則，因，故.故選：A.2.若雙曲線經過點，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題可設雙曲線方程為且，又在雙曲線上，所以，則雙曲線的方程是，即．故選：B．3.已知圓的內接正方形的一條對角線上的兩個頂點的坐標分別是，，則這個圓的方程為（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意，圓心，圓的直徑為，半徑為所以圓的方程為，即，故選：B.4.圓被直線所截的弦長為（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】方程可變形為，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以弦長.故選：D.5.圓：與圓：的位置關系是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內切【答案】C【解析】圓：的標準方程為，圓心為，半徑為，圓：的標準方程為，圓心為，半徑為，所以兩圓圓心距為，所以，因此兩圓的位置關系為相交.故選：C.6.橢圓的離心率的范圍為，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由橢圓方程，當時，橢圓焦點在軸上，，，，所以，解得；當時，橢圓焦點在軸上，，，，所以，解得，故實數的取值范圍為.故選：D.7.著名數學家華羅庚曾說：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為平面上點與點之間距離.結合上述觀點，可得的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，可轉化為軸上一點到點與到點的距離之差.，當且僅當點是射線與軸的交點時取等號，所以的最大值為.故選：C.8.雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線與軸相交于點，與雙曲線在第一象限內的交點為，若，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設，為銳角，因為，，所以，，，又，，，，，，，（負值舍去），，，，雙曲線的離心率為．故選：A．二、選擇題：本題共3小題.每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中，正確的有（）A.直線在軸上的截距為B.直線與直線之間的距離為2C.過點且在軸，軸上的截距相等的直線方程為D.將直線繞原點逆時針旋轉60°，所得到的直線為【答案】AD【解析】對于A：直線寫成截距式為，易知在軸上的截距為，故A正確；對于B：直線與直線之間的距離為，故B錯誤；對于C：當直線過點，且在軸，軸上截距都為0時的直線方程為，故C錯誤；對于D：直線的傾斜角為，若繞原點逆時針旋轉，則旋轉后的直線傾斜角為，此時斜率為，故所得到的直線為，故D正確；故選：AD.10.已知圓，直線，為實數，則（）A.直線恒過定點B.直線與圓有兩個交點C.圓心到直線的距離的最大值為D.，分別是圓和橢圓上的動點，則的最大值為【答案】BCD【解析】選項A，，，，，直線恒過定點，選項A錯誤；選項B，直線恒過定點，，圓心，點到圓心的距離為，又圓的半徑為，，在圓內，過圓內點的直線必與圓相交，選項B正確；選項C，圓心到直線的距離取最大值時，直線與直線垂直，則最大值為，故選項C正確；選項D，圓上的點到橢圓上點的最遠距離為圓心到橢圓上點的最大距離加上半徑，，設，，設，當時，取最大值，且最大值為，的最大值為，的最大值為，故選項D正確.故選：BCD.11.動點在左右焦點分別為，的橢圓上，下列結論正確的有（）A.的周長為8B.的面積的最大值為C.動點，則為定值D.線段的長度可以是【答案】BCD【解析】由題意，因為，所以的周長為，故A錯誤；當為短軸頂點時，的面積的最大值為，故B正確.，由點在橢圓上可得，若動點，則，所以，故C正確；因為，所以線段的長度可以是.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.橢圓的一個焦點坐標為，短軸長為2，則橢圓的離心率為____________.【答案】或【解析】由題意可知，，所以，離心率.故答案為：.13.若圓上到直線的距離為1的點有且僅有4個，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】圓心到直線的距離，又圓上的點到直線的距離為1的點有且僅有個，所以，即，解得.故答案為：.14.已知，兩點，若直線上存在點，使得，則實數的取值范圍為____________.【答案】【解析】設點，則由可得，整理得，圓心為，半徑，由題意可知直線與圓有交點，則圓心到直線的距離，解得或，所以的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線和，（1）若與平行，求m的值；（2）若與垂直，求m的值．解：（1）若與平行，則，解得：或，當時，直線和，與平行；當時，直線和，與重合.綜上：.（2）當時，即時，與垂直，即時，與垂直.16.在中，的平分線所在的直線方程為，邊上的高所在的直線方程為，已知點坐標為.（1）求點的坐標；（2）求直線的方程.解：（1）設直線的方程為，把點代入直線方程可得，所以直線的方程為，聯立，解得，即點的坐標為.（2）設點關于直線的對稱點為，直線的斜率為，則直線的斜率為，并且的中點在直線上，即，解得，所以，，所以直線的方程為，即.17.已知直線，圓，圓與圓相外切，且與直線相切于點.（1）求實數的值；（2）求過點且被圓所截弦長最長的直線方程；（3）求圓的標準方程.解：（1）圓與直線相切于點，則點在直線上，，解得：.（2）圓的圓心為，過點且被圓所截的弦長最長的直線過圓心，，所求直線方程為：，即.（3）設圓的圓心，半徑為，直線與圓相切，，即，，圓與圓外切，且點在圓上，，當時，，，解得：，，，圓的標準方程為：；當時，，，解得：，，，圓的標準方程為：；綜上所述：圓的標準方程為或.18.設雙曲線的半焦距為，直線過，兩點，原點到直線的距離為.（1）求雙曲線的離心率；（2）點在雙曲線上，直線與雙曲線相交于，兩點，請問是否存在以為直徑的圓經過坐標原點，若存在請說明理由，并求出實數的值.解：（1）根據題意，直線方程為：，即，又原點到直線的距離為，即，則，又，所以，則，解得或，所以或；（2）當時，由可得，雙曲線經過點，則，解得可得，所以雙曲線方程為，當時，由可得，雙曲線經過點，則，無解，所以雙曲線方程為，聯立方程。整理可得：，解得，因為，不和雙曲線的頂點重合，所以根據韋達定理：，，因為以為直徑的圓經過坐標原點，則，解得或，所以當或，存在以為直徑的圓經過坐標原點.19.已知橢圓的上頂點為，點為橢圓的右焦點，點在橢圓上，（為坐標原點）.（1）求的方程；（2）過點作直線交于，兩點，為坐標原點.①若，求直線的斜率；②若點為線段的中點，過點作直線的垂線，垂足為，設直線的斜率為，直線的斜率為，證明：.（1）解：根據題意，在中，則①，橢圓經過點，則②，再結合，可得，則橢圓E