七寶中學2025-2026學年第一學期高一年級數(shù)學周練一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．已知集合，則．

2．將化簡為指數(shù)冪的形式：．

3．已知等式恒成立，則實數(shù)．

4．已知，則的取值范圍是．

5．已知，則．6．集合有且僅有一個元素，則實數(shù)．

7．設，則方程的解集為．

8．設是關于的方程的兩個實數(shù)根，則的最小值為．

9．《九章算術》中＂勾股容方＂問題＂今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？＂魏晉時期數(shù)學家劉徽在其《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法．如圖1，用對角線將長和寬分別為和的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青），將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為，寬為內(nèi)接正方形的邊長，由劉徽構造的圖形可以得到許多重要的結論，如圖3，設為斜邊的中點，作直角三角形的內(nèi)接正方形對角線，過點作于點，則下列四個推理中正確的序號是．①由圖1和圖2面積相等得；②由可得

③由可得；④由可得．10．若關于的不等式解集非空，則實數(shù)的取值范圍是．

11．已知集合，其中．若存在正數(shù)，使得對任數(shù)，都有，則的取值集合為．12．定義表示實數(shù)中的較大者，若是正實數(shù)，則的最小值是．二、選擇題（共4小題，分）

13．＂＂是＂＂的（）.

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件

14．17世紀初，約翰．納皮爾為了簡化計算而發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學史上的重大事件，恩格斯曾經(jīng)把笛卡爾的坐標系、納皮爾的對數(shù)、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為17世紀的三大數(shù)學發(fā)明．我們知道，任何一個正實數(shù)可以表示成的形式，這便是科學記數(shù)法；若兩邊取常用對數(shù)，，現(xiàn)給出部分常用對數(shù)值（如表），則可以估計的最高位的數(shù)值為（）.

A．1 B．3 C．6 D．9

15．已知，則（）.

A．B．C．D．

16．已知集合滿足：①；②每個集合都恰有5個元素，集合中最大元素與最小元素之和稱為的特征數(shù)，記為，則的值不可能為（）.

A．37B．39C．48D．57三、解答題（共5小題，分）

17．已知全集，集合.

（1）求；

（2）若，求實數(shù)的取值范圍.

18．（1）已知，比較與的大?。?/p>

（2）已知，若，利用反證法證明：和中至少有一個大于．

19．港珠澳大橋總長約55km，跨越伶仃洋，連接珠海、香港和澳門.一輛貨車以（不超過）的速度從香港某地經(jīng)過港珠澳大橋到珠海某地，共行駛了80km，每小時的運輸成本包括油費和人工費用．經(jīng)過測算，貨車每小時用油，假設油費每升7元，人工費每小時28元，大橋通行費120元/次.

（1）當時，這次行車的總費用為多少元？

（2）當為何值時，這次行車的總費用（單位：元）最低，并求出最低費用（精確到0.01元）

20．已知一次函數(shù)，其中．

（1）若函數(shù)的圖像如圖所示，直接寫出實數(shù)的值和不等式的解集；

（2）根據(jù)實數(shù)的不同取值，討論關于的不等式的解集；

（3）若函數(shù)，對任意，使得，求實數(shù)的取值范圍.

21．對于實數(shù)集中的兩個非空有限子集和，定義和集.記符號表示集合中的元素個數(shù).當時，設是集合中按從小到大排列的所有元素，記集合.

（1）已知集合，若，求集合，并求出的值．

（2）已知，記集合或.

（i）當時，證明的充要條件是；

（ii）若，求的所有可能取值．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.①②③④;10.；11.12.11．已知集合，其中．若存在正數(shù)，使得對任數(shù)，都有，則的取值集合為．【答案】【解析】因為，則只需考慮下列三種情況：

因為，，

又因為，則．

因為，則且可得

所以解得．故答案為：．12．定義表示實數(shù)中的較大者，若是正實數(shù)，則的最小值是．【答案】【解析】記，

當時，,

當且僅當時，等號成立．

當時，，顯然等號無法取得，

綜上所述，的最小值是．故答案為：．二、選擇題13.A14.D15.A16.A15．已知，則（）.

A．B．C．D．【答案】A【解析】由，及，得，所以；再由，即，所以.由，得，當且僅當時等號成立.若，則，與矛盾，所以再由得，即；再由，得，即.故.故選A.

16．已知集合滿足：①；②每個集合都恰有5個元素，集合中最大元素與最小元素之和稱為的特征數(shù)，記為，則的值不可能為（）.

A．37B．39C．48D．57【答案】A【解析】因為集合，，

又因為集合中，每個集合恰有5個元素，且有15個元素，所以集合中沒有重復元素，因為1是集合中數(shù)值最小的元素，15是集合中數(shù)值最大的元素，所以在的特征數(shù)構成中，必有1和15，不妨設，要使最大，則應該在集合中首先放置數(shù)值較小的元素，即，

所以5與14是剩下元素中數(shù)值最小或最大的元素，

同理，不妨設，接著在中再次放置數(shù)值較小的元素，即，則，此時有最大值為，即；

要使最小，則在集合中首先放置數(shù)值較大的元素，即，所以2與11是剩下元素中數(shù)值最小或最大的元素，同理，不妨設，接著在中再次放置數(shù)值較大的元素，

即，則，此時有最小值為，即，

綜上，，顯然，選項不滿足，故選：．三、解答題17.（1）（2）18.（1）（2）證明略19.（1）288元（2），最低費用為278.37元20．已知一次函數(shù)，其中．

（1）若函數(shù)的圖像如圖所示，直接寫出實數(shù)的值和不等式的解集；

（2）根據(jù)實數(shù)的不同取值，討論關于的不等式的解集；

（3）若函數(shù)，對任意，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）見解析（3）【解析】（1）因為，由圖可知，，

由，可得，即不等式解集為（2）由，①當時，解為；②當時，解為或；③當時，解為或，

綜上，當時，不等式的解集為；

當時，不等式解集為；

當時，不等式解集為．

（3）21．對于實數(shù)集中的兩個非空有限子集和，定義和集.記符號表示集合中的元素個數(shù).當時，設是集合中按從小到大排列的所有元素，記集合.

（1）已知集合，若，求集合，并求出的值．

（2）已知，記集合或.

（i）當時，證明的充要條件是；

（ii）若，求的所有可能取值．【答案】（1）（2）證明見解析（3）的取值只能為2．【解析】（1）當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；

當時，；當時，；當時，；

當時，；綜上，結合集合中元素的互異性，，．

且，且，得，所以，

又，所以．

（2）先證充分性．因為，所以，且．

從而可以設，其中，

此時中的元素為，故．

再證必要性．設，其中．

注意到和集中的最小元素為，最大元素為，

因為，所以中間三個元素可以是，也可以是，它們是對應相等的，

所以有，即．故，得證．

（3）①若，由（i）小問的分析知，設，，其中，

此時中的元素為，，這與條件矛盾．

②取，，其中，容易驗證此時中的元素為，符合條件，所以可以取2．

注：構造方式不唯一，集合中的元素滿足有一個，其余均為即可．

③若，設，，其中．

結合知，，其中，至少存在兩個不同的正整數(shù)，使得。

不妨設是符合這一條件最小的正整數(shù)，是符合這一條件最大的正整數(shù)．

注意到，這是中的個不同