高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省舟山市五校聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)樵撝本€的斜率為，所以它的傾斜角為.故選：D.2.樣本數(shù)據(jù)2，8，14，16，20的平均數(shù)為（）A.8 B.9 C.12 D.18【答案】C【解析】樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.故選：C.3.雙曲線的漸近線方程為，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】在雙曲線中，得，則漸近線方程為，所以.于是.故選：D.4.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A.34 B.36 C.38 D.40【答案】D【解析】．故選：D.5.圓和圓的交點(diǎn)為，則有（）A.公共弦所在直線方程為 B.公共弦的長為C.線段中垂線方程為 D.【答案】D【解析】對于A，聯(lián)立兩圓方程得，可得，即公共弦所在直線方程為，故錯(cuò)誤；對于B，設(shè)到直線：的距離為，則有，則弦長公式得：，故錯(cuò)誤；對于C，由題意可知線段中垂線為直線，又因?yàn)?，，所以直線的方程為，故錯(cuò)誤；對于D，由，解得或，取，所以所以，所以，故正確.故選：D.6.某大街在甲、乙、丙三處設(shè)有紅綠燈，汽車在這三處因遇綠燈而通行的概率分別為，，，則汽車在這三處因遇紅燈而停車一次的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：本題中汽車在甲、乙、丙三處因遇綠燈通行是相互獨(dú)立的，遇紅燈停車的事件也是相互獨(dú)立的；遇紅燈停車和遇綠燈通行是互斥事件，因此汽車在這三處遇紅燈停車的概率分別為：.汽車在這三處遇紅燈停車一次有以下三種情況：（1）甲紅燈，乙丙綠燈：；（2）乙紅燈，甲丙綠燈：；（3）丙紅燈，甲乙綠燈：；所以汽車在這三處遇紅燈停車一次的概率為.故選D.7.若橢圓或雙曲線上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離之比為，且存在，則稱此橢圓或雙曲線存在“點(diǎn)”，下列曲線中存在“點(diǎn)”的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在橢圓中，，當(dāng)時(shí)，，在橢圓中，，則，則，此時(shí)不存在，所以A錯(cuò)誤；在橢圓中，，則，則，此時(shí)不存在，所以B錯(cuò)誤；在雙曲線中，，當(dāng)時(shí)，，在雙曲線中，，則，則，此時(shí)存在，所以C正確；雙曲線中，，則，則，此時(shí)不存在，所以D錯(cuò)誤；故選：C.8.如圖，在底面半徑為1，高為5的圓柱內(nèi)放置兩個(gè)球，使得兩個(gè)球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切．一個(gè)與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個(gè)橢圓．則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，，，，則，∴，即，而，即，∴，∴．故選：C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列說法正確的是（）A.是遞增數(shù)列 B.C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)或4時(shí)，取得最大值【答案】CD【解析】當(dāng)時(shí)，，又，所以，則是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C正確；因?yàn)榈膶ΨQ軸為，開口向下，而是正整數(shù)，且或距離對稱軸一樣遠(yuǎn)，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，故D正確.故選：CD.10.某校300名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的考試成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.a的值為0.015B.估計(jì)這40名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)為75C.估計(jì)總體中成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為105D.估計(jì)這40名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的第80百分位數(shù)約為87【答案】ABD【解析】根據(jù)頻率和等于1得：，，A正確；由頻率分布直方圖可知，眾數(shù)為75，B正確；總體中成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為：，C錯(cuò)誤；上面各組對應(yīng)的頻率分別為：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，故第80百分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)第80百分位數(shù)約為，則：，，D正確；故選：ABD.11.已知拋物線，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，P為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若為等邊三角形，則B.若，則存在兩個(gè)不同的點(diǎn)PC.若A，O，P共線，則與x軸平行D.若A，O，P共線，則的最小值為2【答案】ACD〖祥解〗由拋物線的性質(zhì)，求得A點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可得，進(jìn)而判斷A；設(shè)直線：，聯(lián)立直線與拋物線方程，求以為直徑的圓的表達(dá)式，令，即可求解P點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而判斷B；若A，O，P共線，可求P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得B點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而判斷C；，利用基本不等式即可求解，進(jìn)而判斷D.【解析】由題，拋物線的焦點(diǎn)F為，不妨令，對A選項(xiàng)，若為等邊三角形，則，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，此時(shí)AP與y軸垂直，故點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，所以，故A正確；對B選項(xiàng)，由題可知，直線的斜率不為0，令直線：，聯(lián)立直線與拋物線方程有，所以，，所以以為直徑的圓的方程為：，令，則，整理可得，故只有一個(gè)點(diǎn)P可使，故B錯(cuò)誤；對C選項(xiàng)，若A，O，P共線，則直線AP：，令，則，由B選項(xiàng)可知，，所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，所以與x軸平行，故C正確；對D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓的半徑為3，則__________.【答案】【解析】將圓的方程轉(zhuǎn)化為，因?yàn)閳A的半徑為3，所以，即.故答案為：.13.已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的集合是__________.【答案】【解析】由，因?yàn)闉檎麛?shù)且，所以.

故答案為：.14.已知點(diǎn)，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足，若的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的9倍，則該橢圓的離心率為__________【答案】或【解析】根據(jù)題意畫出圖象如下圖所示：

利用橢圓定義可知，且；又，利用余弦定理可知：，化簡可得；所以的面積為；設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為；由正弦定理可得，可得；易知的周長為，利用等面積法可知，解得；又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的9倍，即，所以，即可得，所以；離心率.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）若點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，求直線的方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，則，所以，所以直線的方程為，即.（2）因?yàn)?，所以邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程為，即.16.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求n的最小值．解：（1）設(shè)公差為d，因?yàn)?，可得，解得，所以，即?shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由，可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)且，可得單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故n的最小值為12．17.已知橢圓的離心率為，長軸長為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，求．解：（1）因?yàn)殚L軸長為4，故，而離心率為，故，故，故橢圓方程為：；（2）由題設(shè)直線的斜率不為，故設(shè)直線，，由可得，故即，且，故，解得，故．18.為普及抗疫知識?弘揚(yáng)抗疫精神，某校組織了防疫知識測試.測試共分為兩輪，每位參與測試的同學(xué)均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中的測試成績均合格，則視本次測試成績?yōu)楹细?甲?乙兩名同學(xué)均參加了本次測試，已知在第一輪測試中，甲?乙測試成績合格的概率分別為；在第二輪測試中，甲?乙測試成績合格的概率分別為.甲?乙兩人在每輪測試中的成績是否合格互不影響.（1）甲?乙哪名同學(xué)在本次測試中成績合格的概率更大？（2）求甲?乙兩人中至少有一人的成績在本次測試中合格的概率.解：（1）設(shè)“甲在第一輪測試中成績合格”，“甲在第二輪測試中的成績合格”，“乙在第一輪測試中的成績合格”，“乙在第二輪測試中的成績合格”，則“甲同學(xué)在本次測試中成績合格”，，“乙同學(xué)本次測試中成績合格”，.因?yàn)椋约淄瑢W(xué)在本次測試中成績合格的概率更大.（2）設(shè)“甲在本次測試中成績合格”，“乙在本次測試中成績合格”，則，“甲?乙兩人中至少有一人在本次測試中合格”，19.動(dòng)點(diǎn)到直線與直線的距離之積為，記