第8節(jié)二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.了解伯努利試驗,掌握二項分布及其數(shù)字特征,并能解決簡單的實際問題.2.了解超幾何分布,理解超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系,并能解決簡單的實際問題.3.了解正態(tài)分布的意義,理解正態(tài)曲線的性質(zhì),會用正態(tài)分布解決實際問題.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.兩點分布兩點分布X01P1-pp我們稱X服從

或0—1分布.一般地,如果隨機變量X服從兩點分布,那么E(X)=

,D(X)=

.對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗,用A表示“成功”,表示“失敗”,定義X=如果P(A)=p,則P()=1-p,那么X的分布列如表所示.pp(1-p)2.二項分布(1)n重伯努利試驗①我們把只包含

個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.②我們將一個伯努利試驗

進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.顯然,n重伯努利試驗具有如下共同特征:同一個伯努利試驗重復(fù)做n次;各次試驗的結(jié)果

.獨立地重復(fù)相互獨立兩(2)二項分布一般地,在n重伯努利試驗中,設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=

,k=0,1,2,…,n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量X服從二項分布,記作

.(3)二項分布的均值與方差如果X～B(n,p),那么E(X)=

,D(X)=

.X～B(n,p)npnp(1-p)(1)兩點分布是二項分布的特殊情況.(2)二項分布是放回抽樣問題(獨立重復(fù)).3.超幾何分布(1)超幾何分布一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為P(X=k)=

,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.(2)超幾何分布的均值次品率次品率np(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征:①考察對象分兩類;②已知各類對象的個數(shù);③從中抽取若干個個體,考查某類個體數(shù)X的概率分布.(2)“二項分布”與“超幾何分布”的區(qū)別:放回抽取問題對應(yīng)二項分布,不放回抽取問題對應(yīng)超幾何分布,當(dāng)總體容量很大時,超幾何分布可近似為二項分布來處理.(3)在實際應(yīng)用中,往往出現(xiàn)數(shù)量“較大”“很大”“非常大”等字眼,這表明試驗可視為n重伯努利試驗,進而判定是否服從二項分布.大量問題中的隨機變量不是離散型的,它們的取值往往充滿某個

甚至

,但取一點的概率為

,我們稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機變量.區(qū)間整個實軸0對任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為

,簡稱正態(tài)曲線.4.正態(tài)分布(1)連續(xù)型隨機變量正態(tài)密度曲線②若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機變量X服從

分布,記為

.特別地,當(dāng)

,

時,稱隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.③若X～N(μ,σ2),則如圖所示,X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域

的面積,而P(a≤X≤b)為圖中區(qū)域

的面積.正態(tài)X～N(μ,σ2)μ=0σ=1AB(3)正態(tài)曲線的特點①曲線是單峰的,它關(guān)于直線

對稱;②曲線在x=μ處達到峰值③當(dāng)|x|無限增大時,曲線無限接近x軸;x=μ④當(dāng)σ取固定值時,正態(tài)曲線的位置由μ確定,且隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖所示.當(dāng)μ取定值時,因為正態(tài)曲線的峰值與σ成反比,而且對任意的σ>0,正態(tài)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1.因此,當(dāng)σ較小時,峰值高,正態(tài)曲線“

”,表示隨機變量X的分布比較

;當(dāng)σ較大時,峰值低,正態(tài)曲線“

”,表示隨機變量X的分布比較

,如圖所示.瘦高集中矮胖分散(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ,σ2),則E(X)=

,D(X)=

.(5)正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內(nèi)的概率P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.μσ2在實際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3σ原則.對于X～N(μ,σ2),由x=μ是正態(tài)曲線的對稱軸知(1)對任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a).(2)P(X<x0)=1-P(X≥x0).(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)兩點分布是二項分布當(dāng)n=1時的特殊情形.(

)(2)12道四選一的單選題,隨機猜結(jié)果,猜對答案的題目數(shù)X～B(12,0.25).(

)(3)從4名男生和3名女生中選出4人,其中女生的人數(shù)X服從超幾何分布.(

)(4)當(dāng)μ取定值時,正態(tài)曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“矮胖”.(

)√√√×2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,則P(X>2.5)=

.

0.14解析:因為X～N(2,σ2),所以P(X>2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.3.在含有3件次品的10件產(chǎn)品中,任取4件,X表示取到的次品的個數(shù),則P(X=1)=

.解析:由題意得,P(X=1)=4.若隨機變量X～B(6,p),且E(X)=2,則P(X=3)=

.解析:因為隨機變量X～B(6,p),且E(X)=2,02提升·關(guān)鍵能力類分考點,落實四翼[例1](多選題)某城鎮(zhèn)小汽車的普及率為75%,即平均每100個家庭有75個家庭擁有小汽車,若從該城鎮(zhèn)中任意選出5個家庭,則下列結(jié)論成立的是(

)A.這5個家庭均有小汽車的概率為B.這5個家庭中,恰有3個家庭擁有小汽車的概率為C.這5個家庭平均有3.75個家庭擁有小汽車D.這5個家庭中,4個家庭以上(含4個家庭)擁有小汽車的概率為√√考點一n重伯努利試驗與二項分布角度一n重伯努利試驗√在求n重伯努利試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時,首先要確定好n和k的值,再準(zhǔn)確利用公式求概率.角度二二項分布[例2]在一個袋子里有大小一樣的5個小球,其中有3個紅球和2個白球.(1)若有放回地每次從中摸出1個球,連摸3次,設(shè)摸到紅球的次數(shù)為X,求隨機變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差;故X的分布列為(2)若每次任意取出1個球,記錄顏色后放回袋中,直到取到兩次紅球就停止,設(shè)取球的次數(shù)為Y,求Y=4的概率.(1)判斷某隨機變量是否服從二項分布的關(guān)鍵點①在每一次試驗中,事件發(fā)生的概率相同.②各次試驗中的事件是相互獨立的.③在每一次試驗中,試驗的結(jié)果只有兩個,即發(fā)生與不發(fā)生.④確定二項分布中的兩個參數(shù)n和p,即試驗進行的次數(shù)和每次試驗中事件發(fā)生的概率.(2)求隨機變量X的期望與方差時,如果X～B(n,p),則用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大減少計算量.[針對訓(xùn)練](1)(角度一)(多選題)某同學(xué)投籃1次,投中的概率是0.8,他連續(xù)投籃4次,且他每次投籃互不影響,則下列四個選項中,正確的是(

)A.他第3次投中的概率是0.8B.他恰投中3次的概率是0.83×0.2C.他至少投中1次的概率是1-0.24D.他恰好有連續(xù)2次投中的概率為3×0.83×0.2√√(1)解析:投籃1次,投中的概率為0.8,所以第3次投中的概率為0.8,故A正確;恰投中3次的概率為×0.83×0.2=4×0.83×0.2,故B錯誤;至少投中1次對立事件為4次都沒有投中,所以至少投中1次的概率為1-×0.24=1-0.24,故C正確;恰好有連續(xù)2次投中的概率為3×0.82×0.22,故D錯誤.故選AC.(2)(角度二)(2024·河北唐山模擬)勞動課程已成為中小學(xué)的一門獨立課程,某校為了貫徹落實教育部要求,調(diào)查了在校高中生一周參加勞動的時長,所得結(jié)果統(tǒng)計如圖所示.①求a的值;(2)解:①(0.004+0.006+0.012+a+0.006+0.002)×25=1,解得a=0.01.②估計該校學(xué)生一周參加勞動的平均時長(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);解:②該校學(xué)生一周參加勞動的平均時長的估計值為12.5×0.1+37.5×0.15+62.5×0.3+87.5×0.25+112.5×0.15+137.5×0.05=71.25(min).③以頻率估計概率,若在該市所有學(xué)生中隨機抽取4人,記一周的勞動時長在[0,50)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望E(X).故X的分布列為考點二超幾何分布角度一超幾何分布及概率計算[例3](2024·山東淄博模擬)袋中有6個大小相同的黑球,編號為1,2,3,4,5,6,還有4個同樣大小的白球,編號為7,8,9,10,現(xiàn)從中任取4個球,則下列結(jié)論正確的是(

)①取出的最大號碼X服從超幾何分布;②取出的黑球個數(shù)Y服從超幾何分布;③取出2個白球的概率為;④若取出1個黑球記2分,取出1個白球記1分,則總得分最大的概率為.A.①② B.②④ C.③④ D.①③④√解析:對于①,根據(jù)超幾何分布的定義,要把總體分為兩類,再依次選取,由此可知取出的最大號碼X不符合超幾何分布的定義,無法用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率,故①錯誤;對于②,取出的黑球個數(shù)Y符合超幾何分布的定義,將黑球視作第一類,白球視作第二類,可以用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率,故②正確;角度二超幾何分布的分布列[例4](2024·安徽宿州模擬)為了統(tǒng)計某市智算中心的算力,現(xiàn)從全市n個大型機房和6個小型機房中隨機抽取若干機房進行算力分析,若一次抽取2個機房,全是小型機房的概率為.(1)求n的值;(2)若一次抽取3個機房,假設(shè)抽取的小型機房的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(2)X的所有可能取值為0,1,2,3.則隨機變量X的分布列為則X的數(shù)學(xué)期望(1)求超幾何分布的分布列的步驟第一步,驗證隨機變量服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n的值;第二步,根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.(2)超幾何分布在計算出均值后,可以用進行驗證.[針對訓(xùn)練]√(2)(角度二)據(jù)調(diào)查,目前對于已經(jīng)近視的高中學(xué)生,有兩種佩戴眼鏡的選擇,一種是佩戴傳統(tǒng)的框架眼鏡;另一種是佩戴角膜塑形鏡.某市從該地區(qū)高中學(xué)生中隨機抽取容量為100的樣本,其中因近視佩戴眼鏡的有24人(其中佩戴角膜塑形鏡的有8人,其中2名是男生,6名是女生).①若從樣本中選一名學(xué)生,已知這名高中生戴眼鏡,那么,其戴的是角膜塑形鏡的概率是多大?②從這8名戴角膜塑形鏡的學(xué)生中,選出3個人,求其中男生人數(shù)X的分布列及期望.解:②依題意,佩戴角膜塑形鏡的有8人,其中2名是男生,6名是女生,故從中抽3人,男生人數(shù)X的所有可能取值為0,1,2,所以男生人數(shù)X的分布列為考點三正態(tài)分布角度一正態(tài)分布的理解與有關(guān)概率計算[例5](1)(2024·河北衡水模擬)若隨機變量X～N(μ,σ2)(σ>0),則有如下結(jié)論:P(|X-μ|≤σ)≈0.6827,P(|X-μ|≤2σ)≈0.9545,P(|X-μ|≤3σ)≈0.9973,高三(1)班有40名同學(xué),一次數(shù)學(xué)考試的成績服從正態(tài)分布,平均分為120,方差為100,理論上在130分以上的人數(shù)約為(

)A.19 B.12 C.6 D.5√解析:(1)由題意知該班數(shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布N(120,102),又P(|X-μ|≤σ)≈0.6827,所以P(|X-120|≤10)≈0.6827,根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性知,理論上在130分以上的概率約為×(1-0.6827)=0.15865,所以理論上在130分以上的人數(shù)約為0.15865×40≈6.故選C.(2)(2024·福建寧德模擬)某地生產(chǎn)紅茶已有多年,選用本地兩個不同品種的茶青生產(chǎn)紅茶.根據(jù)其種植經(jīng)驗,在正常環(huán)境下,甲、乙兩個品種的茶青每500g的紅茶產(chǎn)量(單位:g)分別為X,Y,且X～N(μ1,),Y～N(μ2,),其密度曲線如圖所示,則以下結(jié)論錯誤的是(

)A.Y的數(shù)據(jù)較X更集中B.P(X≤c)<P(Y≤c)C.甲品種茶青每500g的紅茶產(chǎn)量超過μ2的概率大于D.P(X>c)+P(Y≤c)=1√解析:(2)對于A,Y的密度曲線更“瘦高”,即數(shù)據(jù)更集中,正確;對于B,因為直線x=c,直線x=μ2,x軸與Y的密度曲線圍成的面積S1>直線x=c,直線x=μ1,x軸與X的密度曲線圍成的面積S2,所以P(X≤c)<P(Y≤c),正確;所以P(X>c)+P(Y≤c)=1+S1-S2>1,錯誤.故選D.(1)正態(tài)曲線在已知區(qū)間上的概率求解問題,可利用正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱的特征,結(jié)合正態(tài)曲線及正態(tài)曲線的性質(zhì)如P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)=P(X>μ+a)等求解.(2)利用正態(tài)分布結(jié)合樣本總體估計樣本落在某一區(qū)間的頻數(shù)時,首先應(yīng)計算出樣本落在該區(qū)間的頻(概)率,再根據(jù)頻(概)率的意義求解,此類問題要注意3σ原則的應(yīng)用.角度二正態(tài)分布的應(yīng)用[例6](2024·廣東汕頭模擬)某商場在五一假期期間開展了一項有獎闖關(guān)活動,并對每一關(guān)根據(jù)難度進行賦分,競猜活動共五關(guān),規(guī)定:上一關(guān)不通過則不進入下一關(guān),每關(guān)第一次未通過時會有再挑戰(zhàn)一次的機會,兩次均未通過,則闖關(guān)失敗,且各關(guān)能否通過相互獨立,已知甲、乙、丙三人都參加了該項闖關(guān)活動.(1)若甲第一關(guān)通過的概率為,第二關(guān)通過的概率為,求甲可以進入第三關(guān)的概率;(2)已知該闖關(guān)活動累計得分服從正態(tài)分布,且滿分為450分,現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎勵.①假設(shè)該闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為171分,351分以上共有57人,已知甲的得分為270分,問:甲能否獲得獎勵?請說明理由;解:(2)設(shè)此次闖關(guān)活動的分?jǐn)?shù)X～N(μ,σ2).①由題意可知μ=171,②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分,而乙告訴丙:“這次闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為201分,351分以上共有57人”,請結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?附:若隨機變量X～N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解:②假設(shè)乙所說為真,則μ=201,所以X>μ+3σ為小概率事件,即丙的分?jǐn)?shù)為430分是小概率事件,可認(rèn)為其一般不可能發(fā)生,但卻又發(fā)生了,所以可認(rèn)為乙所說為假.利用正態(tài)分布求解實際問題,首先應(yīng)根據(jù)題目特征計算隨機變量的均值與方差,進而計算標(biāo)準(zhǔn)差,將問題轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布問題,結(jié)合正態(tài)分布的有關(guān)性質(zhì)求解.計算時要注意計算結(jié)果的準(zhǔn)確性(若已知題目中告訴相應(yīng)的數(shù)據(jù),則在計算中應(yīng)出現(xiàn)并利用相應(yīng)的數(shù)據(jù)).[針對訓(xùn)練](1)(角度一)(2024·江蘇南京模擬)某種品牌手機的電池使用壽命X(單位:年)服從正態(tài)分布N(4,σ2)(σ>0),且使用壽命多于2年的概率為0.9,則該品牌手機電池至少使用6年的概率為(

)A.0.9 B.0.7 C.0.3 D.0.1√(2)(角度二)(2024·江蘇揚州模擬)隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展,各種購物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道.在鳳梨銷售旺季,某鳳梨基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況,各購物群銷