福建省永安一中2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F2的直線l交C與A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為，則C的方程為（）A. B.C. D.2．若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或3．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A B.C. D.4．函數(shù)的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.65．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對(duì)這一定義歐幾里得沒(méi)有給出證明.經(jīng)過(guò)了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B.C. D.6．已知點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.7．等比數(shù)列滿足，，則（）A.11 B.C.9 D.8．函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是A. B.C. D.9．設(shè)斜率為2的直線l過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則拋物線方程為（）A. B.C. D.10．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B.C. D.11．已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知直線l與圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若AB的中點(diǎn)為M，則的最大值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a＝________.14．已知空間向量，，若，則______.15．觀察式子：，，，由此歸納，可猜測(cè)一般性的結(jié)論為_(kāi)_____.16．等軸（實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)相等）雙曲線的離心率_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在①，；②，；③，.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中.問(wèn)題：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)E在橢圓C上，且，，.（1）求橢圓C的方程：（2）直線l過(guò)點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)A，B，且點(diǎn)P恰為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程.19．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)，不等式在上恒成立，求的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓C上，且滿足（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．證明：總存在一個(gè)確定的圓與直線l相切，并求該圓的方程21．（12分）已知圓D經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.（1）求圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l：與圓D交于M、N兩點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度.22．（10分）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列.（1）求和；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)橢圓的定義可得△AF1B的周長(zhǎng)為4a，由題意求出a，結(jié)合離心率計(jì)算即可求出c，再求出b即可.【詳解】由橢圓的定義知，△AF1B的周長(zhǎng)為，又△AF1B的周長(zhǎng)為4，則，，，，，所以方程為，故選：A.2、D【解析】根據(jù)曲線方程的特征，發(fā)現(xiàn)曲線表示在軸上方的圖象，畫(huà)出圖形，根據(jù)圖形上直線的三個(gè)特殊位置，當(dāng)已知直線位于直線位置時(shí)，把已知直線的解析式代入橢圓方程中，消去得到關(guān)于的一元二次方程，由題意可知根的判別式等于0即可求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的的值；當(dāng)已知直線位于直線及直線的位置時(shí)，分別求出對(duì)應(yīng)的的值，寫(xiě)出滿足題意得的范圍，綜上，得到所有滿足題意得的取值范圍【詳解】根據(jù)曲線，得到，解得：；，畫(huà)出曲線的圖象，為橢圓在軸上邊的一部分，如圖所示：當(dāng)直線在直線的位置時(shí)，直線與橢圓相切，故只有一個(gè)交點(diǎn)，把直線代入橢圓方程得：，得到，即，化簡(jiǎn)得：，解得或(舍去)，則時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線在直線位置時(shí)，直線與曲線剛好有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)直線在直線位置時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，則當(dāng)時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上，滿足題意得的范圍是或故選：D3、D【解析】根據(jù)，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：D4、D【解析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性求最小值【詳解】由，得，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：D5、C【解析】對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)可得雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，又由，可得，故選：C.6、A【解析】由兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的斜率，利用，結(jié)合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】設(shè)直線AB的傾斜角為，因?yàn)椋灾本€AB的斜率，即，因?yàn)?，所?故選：A7、B【解析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由數(shù)列是等比數(shù)列，得：，故選：B8、D【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間9、B【解析】根據(jù)拋物線的方程寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的方程、點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為：，令，解得，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為：，因?yàn)槊娣e為4，所以有，即，，因此拋物線的方程為.故選：B.10、B【解析】根據(jù)雙曲線的方程，求得，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，所以，且雙曲線的焦點(diǎn)再軸上，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B.11、B【解析】先分析充分性：假設(shè)特殊等比數(shù)列即可判斷；再分析充分性，由條件得恒成立，再對(duì)和進(jìn)行分類討論即可判斷.【詳解】先分析充分性：在等比數(shù)列中，，所以假設(shè)，，所以，等比數(shù)列為遞減數(shù)列，故充分性不成立；分析必要性：若等比數(shù)列的公比為，且是遞增數(shù)列，所以恒成立，即恒成立，當(dāng)，時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不恒成立，當(dāng)，時(shí)，不恒成立，所以能使恒成立的只有：，和，，易知此時(shí)成立，所以必要性成立.故選：B.12、A【解析】設(shè)，，則、，由點(diǎn)在圓上可得，再由向量垂直的坐標(biāo)表示可得，進(jìn)而可得M的軌跡為圓，即可求的最大值.【詳解】設(shè)，中點(diǎn)，則，，又，，則，所以，又，則，而，，所以，即，綜上，，整理得，即為M的軌跡方程，所以在圓心為，半徑為的圓上，則.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由點(diǎn)圓位置、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的軌跡方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝414、2【解析】依據(jù)向量垂直充要條件列方程，解之即可解決.【詳解】空間向量，，由，可知，即，解之得故答案為：215、【解析】根據(jù)規(guī)律，不等式的左邊是個(gè)自然數(shù)倒數(shù)的平方的和，右邊分母是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，分子是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由此可得結(jié)論【詳解】解：觀察可以發(fā)現(xiàn)，第個(gè)不等式左端有項(xiàng)，分子為1，分母依次為，，，，；右端分母為，分子成等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，因此第個(gè)不等式（）故答案為：（）16、【解析】由題意可知，，由，化簡(jiǎn)可求離心率.【詳解】由題意可知，，兩邊同時(shí)平方，得，即，，所以離心率，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）選①，利用化已知等式為，得是等差數(shù)列，公差，求出其通項(xiàng)公式后，再由求得通項(xiàng)公式，注意；選②，由可變形已知條件得是等差數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式；選③，已知式兩邊同除以，得出，以下同選①；（2）由錯(cuò)位相減法求和【小問(wèn)1詳解】選①，由得，，所以，即，所以是等差數(shù)列，公差，又，，，所以，，時(shí)，也適合所以；選②，由得，所以等差數(shù)列，公差為，又，所以；選③，由得，以下同選①，【小問(wèn)2詳解】由（1），，，兩式相減得，所以18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義可求出，由結(jié)合勾股定理可求出，最后根據(jù)的關(guān)系求出，即可求出橢圓方程；（2）分直線的斜率存在或不存在兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程與橢圓聯(lián)立，利用中點(diǎn)的關(guān)系求出即可.【小問(wèn)1詳解】∵點(diǎn)E在橢圓C上，∴，即.在中，，∴橢圓的半焦距.∵，∴橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，若直線的斜率不存在，顯然不符合題意.從而可設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，將直線的方程代入橢圓的方程，得，則.∵P為線段AB的中點(diǎn)，∴，解得.故直線的方程為，即（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意）.19、（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）【解析】（1）求導(dǎo)可得，分析正負(fù)即得解；（2）轉(zhuǎn)化在上恒成立為，分析函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為f(1)≤1f(-1)≤1，求解即可【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，令，解得，，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：↘極小值↗極大值↘極小值↗所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，【小問(wèn)2詳解】由條件可知，從而恒成立當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者為使對(duì)任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(1)≤1f(-1)≤1即在上恒成立所以，因此滿足條件的的取值范圍是20、（1）；（2）理由見(jiàn)解析，圓的方程為.【解析】(1)根據(jù)給定條件可得，結(jié)合勾股定理、橢圓定義求出a，b得解.(2)聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，利用給定條件求出k，m的關(guān)系，再求出原點(diǎn)O到直線l的距離即可推理作答.【小問(wèn)1詳解】因，則，點(diǎn)在橢圓C上，則橢圓C的半焦距,，，因此，，解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.【小問(wèn)2詳解】由消去y并整理得：，依題意，，設(shè)，，因，則，于是得，此時(shí)，，則原點(diǎn)O到直線l的距離，所以，存在以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓與直線l相切，此圓的方程為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及動(dòng)直線與圓錐曲線相交滿足某個(gè)條件問(wèn)題，可設(shè)直線方程為，再與圓錐曲線方程聯(lián)立結(jié)合已知條件探求k，m的關(guān)系，然后推理求解.21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法即可得出答案；（2）利用圓的弦長(zhǎng)公式即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)圓D的標(biāo)