第1頁（共1頁）2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之拋物線（2025年12月）一．選擇題（共8小題）1．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若FP→=3FQ→，則|A．83 B．52 C．3 D2．若點(diǎn)P到點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線x+5＝0的距離小1，則P點(diǎn)的軌跡方程是（）A．y2＝﹣16x B．y2＝﹣32x C．y2＝16x D．y2＝32x3．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與雙曲線x22-yA．﹣2 B．2 C．﹣4 D．44．如圖，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，過拋物線上一點(diǎn)A（3，y）作準(zhǔn)線l的垂線，垂直為B，若△ABF為等邊三角形，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．y2=12x B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝5．若拋物線y2=4mxA．-12 B．12 C．﹣2 6．已知點(diǎn)A（2，0），拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|：|MN|＝（）A．2：5 B．1：2 C．1：5 D．1：37．已知雙曲線C1：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，若拋物線C2：x2＝2py（p＞0A．x2=833y B．x2=1633y C．x2＝88．已知傾斜角為π6的直線過拋物線y2＝2px（p＞0）焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，則pA．12 B．1 C．2 D．二．多選題（共4小題）（多選）9．已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，以該拋物線上三點(diǎn)A，B，C為切點(diǎn)的切線分別是l1，l2，l3，直線l1，l2相交于點(diǎn)D，l3與l1，l2分別相交于點(diǎn)P，Q．記A，B，D的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，則（）A．DA→?DB→=0 B．x1+x2C．|AF|?|BF|＝|DF|2 D．|AP|?|CQ|＝|PC|?|PD|（多選）10．已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0） B．若A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，則OA→C．若直線OA與OB的斜率之積為-14，則直線AB過點(diǎn)D．若|AB|＝6，則AB的中點(diǎn)到x軸距離的最小值為2（多選）11．已知拋物線C：y2＝4x，焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)的直線l與拋物線C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則下列說法一定正確的是（）A．|AB|的最小值為2 B．線段AB為直徑的圓與直線x＝﹣1相切 C．x1x2為定值 D．過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，則|CD|2＝4|AF||BF|（多選）12．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)D，直線m過D且交C于不同的A，B兩點(diǎn)，B在線段AD上，點(diǎn)P為A在l上的射影．線段PF交y軸于點(diǎn)E，下列命題正確的是（）A．對于任意直線m，均有AE⊥PF B．不存在直線m，滿足BF→C．對于任意直線m，直線AE與拋物線C相切 D．存在直線m，使|AF|+|BF|＝2|DF|三．填空題（共4小題）13．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，1），B（0，4），則點(diǎn)P滿足λ=12的阿波羅尼斯圓的方程為．已知點(diǎn)C（﹣2，4），Q為拋物線E：y2＝8x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線x＝﹣2上的射影為H，M為（x+2）2+y2＝4上動(dòng)點(diǎn)，則12|MC|+|QH|+|QM|的最小值為14．已知拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，焦點(diǎn)為F，A、B、C為該拋物線上不同的三點(diǎn)，|FA|→、|FB|→、|FC|→成等差數(shù)列，且點(diǎn)B在x軸下方，若FA15．以拋物線y2＝2px（p＞0）焦點(diǎn)F為圓心，p為半徑作圓交y軸于A，B兩點(diǎn)，連接FA交拋物線于點(diǎn)D（D在線段FA上），延長FA交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|AD|＝m，且m∈[1，2]，則|FD|?|CD|的最大值為．16．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在n時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為米．四．解答題（共4小題）17．如圖，設(shè)拋物線方程為x2＝2py（p＞0），M為直線y＝﹣2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B．（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣2p）時(shí)，|AB|=4（Ⅲ）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D在拋物線x2＝2py（p＞0）上，其中，點(diǎn)C滿足OC→=OA→+18．設(shè)λ＞0，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)B在拋物線y＝x2上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q滿足，BQ→=λQA→經(jīng)過點(diǎn)Q與x軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)P滿足QM→=19．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0），過點(diǎn)（2，0）的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA→（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣2，0），直線MA，MB的斜率分別k1，k2，求證：1k20．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)M（1，﹣3）、N（5，1），若點(diǎn)C滿足OC→=tOM→+（1﹣t）ON→（t∈R），點(diǎn)C的軌跡與拋物線：y2＝4x（Ⅰ）求證：OA→⊥OB（Ⅱ）在x軸上是否存在一點(diǎn)P（m，0）（m∈R），使得過P點(diǎn)的直線交拋物線于D、E兩點(diǎn)，并以該弦DE為直徑的圓都過原點(diǎn)．若存在，請求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由．

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之拋物線（2025年12月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案ACDDACDB二．多選題（共4小題）題號9101112答案BCDBCDBCDAC一．選擇題（共8小題）1．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若FP→=3FQ→，則|A．83 B．52 C．3 D【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)弦及焦半徑．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】A【分析】設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為M，過Q向準(zhǔn)線l作垂線，垂足為N，由FP→=3FQ→，可得|NQ||MF|=23，又|【解答】解：設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為M，過Q向準(zhǔn)線l作垂線，垂足為N，∵FP→=3∴|NQ||MF|=23，又|MF|＝∴|NQ|=8∵|NQ|＝|QF|，∴|QF|=8故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量的共線，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．2．若點(diǎn)P到點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線x+5＝0的距離小1，則P點(diǎn)的軌跡方程是（）A．y2＝﹣16x B．y2＝﹣32x C．y2＝16x D．y2＝32x【考點(diǎn)】拋物線的定義．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】C【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)P到直線x＝﹣4的距離等于它到點(diǎn)（4，0）的距離．由拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，不難得到P點(diǎn)的軌跡方程．【解答】解：∵點(diǎn)P到點(diǎn)（4，0）的距離比它到直線x+5＝0的距離少1，∴將直線x+5＝0右移1個(gè)單位，得直線x+4＝0，即x＝﹣4，可得點(diǎn)P到直線x＝﹣4的距離等于它到點(diǎn)（4，0）的距離．根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)（4，0）為焦點(diǎn)，以直線x＝﹣4為準(zhǔn)線的拋物線．設(shè)拋物線方程為y2＝2px，可得p2=4，得2p＝∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x，即為P點(diǎn)的軌跡方程．故選：C．【點(diǎn)評】本題給出動(dòng)點(diǎn)P到定直線的距離比到定點(diǎn)的距離大1，求點(diǎn)P的軌跡方程，著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程和動(dòng)點(diǎn)軌跡求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．3．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與雙曲線x22-yA．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】D【分析】求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出p的值．【解答】解：雙曲線x22-y22即拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)為（2，0），∴p2=∴p＝4．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線、拋物線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．如圖，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，過拋物線上一點(diǎn)A（3，y）作準(zhǔn)線l的垂線，垂直為B，若△ABF為等邊三角形，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．y2=12x B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)建模；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的基本概念與正三角形的性質(zhì)，利用解直角三角形算出|BF|＝2p，由AB⊥y軸，可得3+p2=2p【解答】解：設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)C∵AB⊥l，l⊥x軸，∴AB∥x軸，可得∠BFC＝∠ABF＝60°，Rt△BCF中，|CF|＝|BF|cos60°＝p，解得|BF|＝2p，由AB⊥y軸，可得3+p2=∴p＝2，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝4x．故選：D．【點(diǎn)評】本題給出拋物線中的正三角形滿足的條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查了拋物線的基本概念、正三角形的性質(zhì)與解直角三角形等知識，屬于中檔題．5．若拋物線y2=4mxA．-12 B．12 C．﹣2 【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的幾何特征．【專題】計(jì)算題．【答案】A【分析】先確定拋物線與橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線y2=4mx【解答】解：拋物線y2=橢圓x27+y23=1，∵a2＝∴c2＝a2﹣b2＝4，∴橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）∵拋物線y2=4∴1∴m=故選：A．【點(diǎn)評】本題重點(diǎn)考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出相應(yīng)拋物線與橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．6．已知點(diǎn)A（2，0），拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|：|MN|＝（）A．2：5 B．1：2 C．1：5 D．1：3【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】計(jì)算題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】C【分析】求出拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而得到AF的斜率k=-12．過M作MP⊥l于P，根據(jù)拋物線物定義得|FM|＝|PM|．Rt△MPN中，根據(jù)tan∠MNP=12，從而得到|PN|＝2|PM|，進(jìn)而算出|MN|=5|PM|，由此即可得到|FM【解答】解：∵拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F（0，1），點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0）∴拋物線的準(zhǔn)線方程為l：y＝﹣1，直線AF的斜率為k=0-1過M作MP⊥l于P，根據(jù)拋物線物定義得|FM|＝|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP＝﹣k=1∴|PM||PN|=12，可得|PN|＝2|PM|，得|MN|因此，|PM||MN|=15，可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|故選：C．【點(diǎn)評】本題給出拋物線方程和射線FA，求線段的比值．著重考查了直線的斜率、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．7．已知雙曲線C1：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，若拋物線C2：x2＝2py（p＞0A．x2=833y B．x2=1633y C．x2＝8【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線；雙曲線的幾何特征；點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】D【分析】利用雙曲線的離心率推出a，b的關(guān)系，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，通過點(diǎn)到直線的距離求出p，即可得到拋物線的方程．【解答】解：雙曲線C1：x2a2所以ca=2，即：a2+b拋物線C2：x2=2py(p＞0)的焦點(diǎn)（0，所以2=|p2b|(1a拋物線C2的方程為x2＝16y．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，雙曲線的簡單性質(zhì)，考查計(jì)算能力．8．已知傾斜角為π6的直線過拋物線y2＝2px（p＞0）焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，則pA．12 B．1 C．2 D．【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，解方程可得所求值．【解答】解：傾斜角為π6的直線過拋物線y2＝2px（p＞0）焦點(diǎn)（P2，可設(shè)直線方程為y=33（x聯(lián)立拋物線方程y2＝2px可得13x2-73px設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝7p，由拋物線的定義可得|AB|＝x1+x2+p＝8p＝8，解得p＝1．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，以該拋物線上三點(diǎn)A，B，C為切點(diǎn)的切線分別是l1，l2，l3，直線l1，l2相交于點(diǎn)D，l3與l1，l2分別相交于點(diǎn)P，Q．記A，B，D的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，則（）A．DA→?DB→=0 B．x1+x2C．|AF|?|BF|＝|DF|2 D．|AP|?|CQ|＝|PC|?|PD|【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線；直線與拋物線的綜合．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】利用導(dǎo)函數(shù)和斜率的關(guān)系表示出切線方程可求出D的坐標(biāo)可判斷B，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷A，并根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式運(yùn)算求解即可判斷C，D．【解答】解：A，B，D的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，則可設(shè)A(x1，x1由拋物線x2＝4y，可得y=14x2，求導(dǎo)得y'=12所以l1：y-同理可得l2直線l1，l2方程聯(lián)立y=12x1x-14x12y=12x2D（x1+x則DA→?DB→=(|DF|2=(x1+x2)24+（x1x24-1P（x1+x02，x1x|AP|=(|CQ|=(|PC|=(|PD|=(∴|AP|?|CQ|＝|PC|?|PD|，D正確，故選：BCD．【點(diǎn)評】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的綜合，向量的數(shù)量積運(yùn)算，兩點(diǎn)間的距離公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．（多選）10．已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0） B．若A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，則OA→C．若直線OA與OB的斜率之積為-14，則直線AB過點(diǎn)D．若|AB|＝6，則AB的中點(diǎn)到x軸距離的最小值為2【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】綜合題；方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】根據(jù)拋物線的定義可判斷A，對于B，設(shè)直線AB的方程為y＝kx+1，根據(jù)韋達(dá)定理和向量的運(yùn)算即可判斷，對于CD，設(shè)直線AB的方程為y＝kx+m，根據(jù)直線的斜率，弦長公式，點(diǎn)到直線的距離，即可判斷．【解答】解：拋物線x2＝4y中的p＝2，則焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1），故A錯(cuò)誤，設(shè)直線AB的方程為y＝kx+1，聯(lián)立方程可得x2=4yy=kx+1，消y可得x2﹣4kx﹣4∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，∴y1y2＝k2x1x2+k（x1+x2）+1＝1，∴OA→?OB→=x1x2+y1y2＝﹣4+1＝﹣3設(shè)直線AB的方程為y＝kx+m，聯(lián)立方程可得x2=4yy=kx+m，消y可得x2﹣4kx﹣4m∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4m，∴y1y2＝k2x1x2+k（x1+x2）+m2＝﹣4k2m+4mk2+m2＝m2，∵直線OA與OB的斜率之積為-1∴y1x1即m2解得m＝1，∴直線AB的方程為y＝kx+1，即直線過點(diǎn)F；故C正確，∵|AB|=1+k2?(x∴4（1+k2）（k2+m）＝9，∴m=94(1+k∵y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝4k2+2m，∴AB的中點(diǎn)到x軸距離d＝2k2+m＝2k2+94(1+k2)-k2＝k2+94(1+k2)=k2+1+94(1+k2故AB的中點(diǎn)到x軸距離的最小值為2，故D正確．綜上所述：結(jié)論正確的是BCD．故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題．（多選）11．已知拋物線C：y2＝4x，焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)的直線l與拋物線C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則下列說法一定正確的是（）A．|AB|的最小值為2 B．線段AB為直徑的圓與直線x＝﹣1相切 C．x1x2為定值 D．過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，則|CD|2＝4|AF||BF|【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)弦及焦半徑．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，由直線AB垂直于x軸，可判斷A；設(shè)出AB的方程為x＝my+1，代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，以及弦長|AB|，可判斷B；由A，B的坐標(biāo)滿足拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可判斷C；運(yùn)用拋物線的定義和直角三角形的勾股定理，即可判斷D．【解答】解：拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，直線AB經(jīng)過F，當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，|AB|取得最小值4，故A錯(cuò)誤；設(shè)AB的方程為x＝my+1，代入拋物線C：y2＝4x可得y2﹣4my﹣4＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，而y12＝4x1，y22＝4x2，所以x1x2=(y1yx1+x2=y124則弦長|AB|＝x1+x2+2＝4m2+4，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，M到準(zhǔn)線的距離為x1+x22+1＝2+2m所以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，故B正確；設(shè)A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為C，D，|AF|＝a，|BF|＝b，可得|AC|＝a，|BD|＝b，設(shè)BE⊥AC，垂足為E，可得|AE|＝a﹣b，而|CD|2＝|AB|2﹣|AE|2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝4|AF|?|BF|，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，考查方程思想和數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．（多選）12．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)D，直線m過D且交C于不同的A，B兩點(diǎn)，B在線段AD上，點(diǎn)P為A在l上的射影．線段PF交y軸于點(diǎn)E，下列命題正確的是（）A．對于任意直線m，均有AE⊥PF B．不存在直線m，滿足BF→C．對于任意直線m，直線AE與拋物線C相切 D．存在直線m，使|AF|+|BF|＝2|DF|【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】A選項(xiàng)由E為線段PF的中點(diǎn)以及拋物線定義即可判斷；B選項(xiàng)由BF→=2EB→及拋物線方程求出A，B坐標(biāo)，再說明D，B，A三點(diǎn)共線，即存在直線m即可，C選項(xiàng)設(shè)A（x1，y1），表示出直線AE，聯(lián)立拋物線，利用Δ＝0即可判斷，D選項(xiàng)設(shè)出直線m，聯(lián)立拋物線得到y(tǒng)1y2＝4，通過焦半徑公式結(jié)合基本不等式得|AF|+|BF【解答】解：對于A：如圖1：由拋物線知O為DF的中點(diǎn)，l∥y軸，所以E為線段PF的中點(diǎn)，由拋物線的定義知|AP|＝|AF|，所以AE⊥PF，故A正確；B選項(xiàng)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），x1＞x2，F(xiàn)（1，0），P（﹣1，y1），E為線段PF的中點(diǎn)，則E（0，y1BF→=（1﹣x2，﹣y2），EB→=（x2，y2-y12），由BF→=2EB→，得1-又y12＝4x1，y22＝4x2，故B（13，233），A（3，23），D（﹣1可得kDA=233+1=32，kDB=2C選項(xiàng)：由題意知，E為線段PF的中點(diǎn)，從而設(shè)A（x1，y1），則E（0，y1直線AE的方程：y=y12x1（x+x1），與拋物線方程yy=y12x1（y24+x1），由y12＝4x1，代入左式整理得y1y2﹣2y12∴Δ＝4y14﹣4y1y13＝0，所以直線AE與拋物線C相切，故C正確；對于D：設(shè)AB的方程my＝x+1，聯(lián)立my=x+1y2=4x，則y2＝4（my﹣1），∴y1+y2＝4m，y1y2由|AF|+|BF|＝|BH|+|AP|＝2+y124+y224=2+14[（y1+y2）2而|DF|＝2，由m（4﹣y22）＝4y2，得Δ＝16m2﹣16＞0，解得：m2＞1，故4m2＞4＝2|DF|，故D錯(cuò)誤；故選：AC．【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的定義和性質(zhì)，考查向量問題，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想，是難題．三．填空題（共4小題）13．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，1），B（0，4），則點(diǎn)P滿足λ=12的阿波羅尼斯圓的方程為x2+y2＝4．已知點(diǎn)C（﹣2，4），Q為拋物線E：y2＝8x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線x＝﹣2上的射影為H，M為（x+2）2+y2＝4上動(dòng)點(diǎn)，則12|MC|+|QH|+|QM|的最小值為17【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】綜合題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；定義法；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用直譯法直接求出P點(diǎn)的軌跡．（2）先利用阿氏圓的定義將12|MC|轉(zhuǎn)化為M點(diǎn)到另一個(gè)定點(diǎn)的距離，然后結(jié)合拋物線的定義容易求得12|MC|+|QH|+|【解答】解：設(shè)P（x，y），由題意可得：PAPB=12，即x2+(y-1)2x做出圖象如右：設(shè)圓（x+2）2+y2＝4是動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到C（﹣2，4）與到定點(diǎn)D（﹣2，m）的距離比為2的阿氏圓．所以(x+2)2則m﹣1＝0，所以m＝1，故D（﹣2，1），∴12|MC|=|MD|，結(jié)合拋物線定義|QH|＝|QF∴12|MC|+|QH|+|QM＝|MD|+|QM|+|QF|≥|FD|（當(dāng)且僅當(dāng)D，M，Q，F(xiàn)四點(diǎn)共線，且Q，M在D，F(xiàn)此時(shí)|FD|=(-2-2故12|MC|+|QH|+|QM|的最小值為17故答案為：x2+y2＝4，17．【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的定義及幾何性質(zhì)，同時(shí)考查了阿氏圓定義的應(yīng)用．還考查了學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想、方程思想等思想方法解題的能力．難度較大．14．已知拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，焦點(diǎn)為F，A、B、C為該拋物線上不同的三點(diǎn)，|FA|→、|FB|→、|FC|→成等差數(shù)列，且點(diǎn)B在x軸下方，若FA→+FB→+FC→【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程求出p，設(shè)A，B，C的坐標(biāo)，根據(jù)|FA|→，|FB|→，|FC|→成等差數(shù)列，且點(diǎn)B在x軸下方，若FA→+FB→+FC→=0，求出x1+【解答】解：拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-p2=-1，∴即拋物線方程為y2＝4x，F(xiàn)（1，0）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），∵|FA→|，|FB→|，|FC∴|FA→|+|FC→|＝2|FB即x1+1+x3+1＝2（x2+1），即x1+x3＝2x2，∵FA→∴（x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1，y1+y2+y3）＝0，∴x1+x2+x3＝3，y1+y2+y3＝0，則x1+x3＝2，x2＝1，由y22＝4x2＝4，則y2＝﹣2或2（舍），則y1+y3＝2，則AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x1+x32，yAC的斜率k=y1則直線AC的方程為y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0，故答案為：2x﹣y﹣1＝0【點(diǎn)評】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，根據(jù)條件求出直線AB的斜率和AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．15．以拋物線y2＝2px（p＞0）焦點(diǎn)F為圓心，p為半徑作圓交y軸于A，B兩點(diǎn)，連接FA交拋物線于點(diǎn)D（D在線段FA上），延長FA交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|AD|＝m，且m∈[1，2]，則|FD|?|CD|的最大值為32．【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意得到以F為圓心，P為半徑的圓的方程，再令A(yù)為y軸正半軸上的點(diǎn)，從而求出A點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線AF的方程，分別與拋物線的準(zhǔn)線方程、拋物線方程聯(lián)立求出C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可用p表示出|FD|?|CD|，再由|AD|＝m，且m∈[1，2]，求出p的范圍，即可得出結(jié)果．【解答】解：由題意可得拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（p2，0），準(zhǔn)線方程為x=所以以F為圓心，p為半徑的圓的方程為(x-p2)2+因?yàn)锳，B兩點(diǎn)為圓(x-p2)2+y2＝p2與y由x＝0得，A（0，3p所以直線AF的斜率為kAF=-3p2p2=-3由y=-3x+3p2x=-p由y=-3x+3p2y所以|FD|=p6+p2=2p|AD|=(p又|AD|＝m，且m∈[1，2]，所以13p∈[1，2]，即p∈[3，6]因此|FD|?|CD|=89p2≤32，當(dāng)且僅當(dāng)p＝故答案為：32．【點(diǎn)評】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，通常需要聯(lián)立直線與拋物線方程等求解，是中檔題．16．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在n時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為26米．【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先建立直角坐標(biāo)系，將A點(diǎn)代入拋物線方程求得m，得到拋物線方程，再把y＝﹣3代入拋物線方程求得x0進(jìn)而得到答案．【解答】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝my，將A（2，﹣2）代入x2＝my，得m＝﹣2∴x2＝﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=6故水面寬為26m．故答案為：26．【點(diǎn)評】本題主要考查拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生利用拋物線解決實(shí)際問題的能力．四．解答題（共4小題）17．如圖，設(shè)拋物線方程為x2＝2py（p＞0），M為直線y＝﹣2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B．（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣2p）時(shí)，|AB|=4（Ⅲ）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D在拋物線x2＝2py（p＞0）上，其中，點(diǎn)C滿足OC→=OA→+【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合．【專題】綜合題；壓軸題；探究型．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意先設(shè)出A，B和M的坐標(biāo)，對拋物線方程求導(dǎo)，進(jìn)而表示出AM，BM的斜率，則直線AM和BM的直線方程可得，聯(lián)立后整理求得2x0＝x1+x2．推斷出A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，x0＝2代入拋物線方程整理推斷出x1，x2是方程x2﹣4x﹣4p2＝0的兩根，利用韋達(dá)定理求得x1+x2的值，表示出直線AB的方程，利用弦長公式求得|AB|，進(jìn)而求得p，則拋物線的方程可得．（Ⅲ）設(shè)出D點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出C的坐標(biāo)，則CD的中點(diǎn)的坐標(biāo)可得，代入直線AB的方程，把D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的方程，求得x3，然后討論x0＝0和x0≠0時(shí)，兩種情況，分析出答案．【解答】解：（Ⅰ）證明：由題意設(shè)A(x由x2＝2py得y=x22p所以kMA=x因此直線MA的方程為y+2p=x直線MB的方程為y+2p=x所以x122p+2p=x由①、②得x1因此x0=x1+x22，即2x所以A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)x0＝2時(shí)，將其代入①、②并整理得：x12﹣4x1﹣4p2＝0，x22﹣4x2﹣4p2＝0，所以x1，x2是方程x2﹣4x﹣4p2＝0的兩根，因此x1+x2＝4，x1x2＝﹣4p2，又kAB所以kAB由弦長公式得|AB|=又|AB|=4所以p＝1或p＝2，因此所求拋物線方程為x2＝2y或x2＝4y．（Ⅲ）解：設(shè)D（x3，y3），由題意得C（x1+x2，y1+y2），則CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為Q(x設(shè)直線AB的方程為y-由點(diǎn)Q在直線AB上，并注意到點(diǎn)(x1+代入得y3若D（x3，y3）在拋物線上，則x32＝2py3＝2x0x3，因此x3＝0或x3＝2x0．即D（0，0）或D(2（1）當(dāng)x0＝0時(shí)，則x1+x2＝2x0＝0，此時(shí)，點(diǎn)M（0，﹣2p）適合題意．（2）當(dāng)x0≠0，對于D（0，0），此時(shí)C(2x0又kAB=x0p所以kAB即x12+x22＝﹣4p2，矛盾．對于D(2x0，2x0又kAB所以直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，所以x0≠0時(shí)，不存在符合題意的M點(diǎn)．綜上所述，僅存在一點(diǎn)M（0，﹣2p）適合題意．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系的綜合問題．考查了學(xué)生分析推理和分類討論思想的運(yùn)用．18．設(shè)λ＞0，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)B在拋物線y＝x2上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q滿足，BQ→=λQA→經(jīng)過點(diǎn)Q與x軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)P滿足QM→=【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線；軌跡方程．【專題】綜合題；壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)公式求出向量的坐標(biāo)，代入已知條件中的向量關(guān)系得到各點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系；表示出B點(diǎn)的坐標(biāo)；將B的坐標(biāo)代入拋物線方程求出p的軌跡方程．【解答】解：由QM→=λMP→知Q，M，P三點(diǎn)在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè)P（x，y），Q（x，y0），M（xx2﹣y0＝λ（y﹣x2）即y0＝（1+λ）x2﹣λy①再設(shè)B（x1，y1）由BQ→=λ將①代入②式得x又點(diǎn)B在拋物線y＝x2將③代入得（1+λ）2x2﹣λ（1+λ）y﹣λ＝（（1+λ）x﹣λ）2整理得2λ（1+λ）x﹣λ（1+λ）y﹣λ（1+λ）＝0因?yàn)棣耍?所以2x﹣y﹣1＝0故所求的點(diǎn)P的軌跡方程：y＝2x﹣1【點(diǎn)評】本題考查題中的向量關(guān)系提供點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系、求軌跡方程的重要方法：相關(guān)點(diǎn)法，即求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，將相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)代入其滿足的方程，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．19．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0），過點(diǎn)（2，0）的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA→（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣2，0），直線MA，MB的斜率分別k1，k2，求證：1k【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】（Ⅰ）拋物線C的方程為y2＝x；（Ⅱ）證明：∵M(jìn)坐標(biāo)為（﹣2，0），∴1=y由（Ⅰ）可得y1+y2＝m，y1y2＝﹣2，∴1k【分析】（Ⅰ）設(shè)l方程為x＝my+2，與拋物線方程聯(lián)立，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及向量數(shù)量積列式求解p，則拋物線方程可求；（Ⅱ）利用直線的斜率公式及根與系數(shù)的關(guān)系證明．【解答】（Ⅰ）解：設(shè)l方程為x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+2y2=2px∴y1+y2＝2pm，y1y2＝﹣4p．∴OA→∴p=∴拋物線C的方程為y2＝x；（Ⅱ）證明：∵M(jìn)坐標(biāo)為（﹣2，0），∴1=y由（Ⅰ）可得y1+y2＝m，y1y2＝﹣2，∴1k【點(diǎn)評】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．20．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)M（1，﹣3）、N（5，1），若點(diǎn)C滿足OC→=tOM→+（1﹣t）ON→（t∈R），點(diǎn)C的軌跡與拋物線：y2＝4x（Ⅰ）求證：OA→⊥OB（Ⅱ）在x軸上是否存在一點(diǎn)P（m，0）（m∈R），使得過P點(diǎn)的直線交拋物線于D、E兩點(diǎn)，并以該弦DE為直徑的圓都過原點(diǎn)．若存在，請求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【答案】（Ⅰ）證明：由OC→=tOM→+（1﹣t）ON→（t∈R），知點(diǎn)C故點(diǎn)C的軌跡方程是：即y＝x﹣4．由得x2﹣12x+16＝0．∴x1x2＝16，x1+x2＝12∴y1y2＝（x1﹣4）（x2﹣4）＝x1x2﹣4（x1+x2）+16＝﹣16∴x1x2+y1y2＝0故OA→⊥OB（Ⅱ）存在；m＝4；y2＝2x﹣8．【分析】（1）欲證兩向量垂直，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，就是證明它們的數(shù)量積為0，將直線與拋物線的方程組成方程組，利用設(shè)而不求的方法求解；（2）對于存在性問題，可設(shè)假設(shè)存在，本題中將垂直關(guān)系合理轉(zhuǎn)化，找出m的一個(gè)相等關(guān)系，從而解出了m的值，即說明存在．【解答】解：（Ⅰ）解：由OC→=tOM→+（1﹣t）ON→（t∈R），知點(diǎn)C故點(diǎn)C的軌跡方程是：即y＝x﹣4．由得x2﹣12x+16＝0．∴x1x2＝16，x1+x2＝12，∴y1y2＝（x1﹣4）（x2﹣4）＝x1x2﹣4（x1+x2）+16＝﹣16，∴x1x2+y1y2＝0，故OA→⊥OB（Ⅱ）解：由題意知：弦所在的直線的斜率不為零．故設(shè)弦所在的直線方程為：x＝ky+m，代入y2＝4x得y2﹣4ky﹣4m＝0，∴y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4m．若以弦DE為直徑的圓都過原點(diǎn)，則OD⊥OE，∴x1x2+y1y2＝0．即y124×y224+y1y2=當(dāng)m＝0時(shí)，P即為原點(diǎn)O重合，這與過P點(diǎn)的直線交拋物線于D、E兩點(diǎn)，并以該弦DE為直徑的圓都過原點(diǎn)矛盾，所以m≠0．∴存在點(diǎn)P（4，0），使得過P點(diǎn)任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過原點(diǎn)．設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M（x，y）則x=x1+xx1+x2＝ky1+4+ky2+4＝k（y1+y2）+8＝4k2+8，∴弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為：消去k得：y2＝2x﹣8．∴圓心的軌跡方程為y2＝2x﹣8．【點(diǎn)評】對于存在判斷型問題，解題的策略一般為先假設(shè)存在，然后轉(zhuǎn)化為“封閉型”問題求解判斷，若不出現(xiàn)矛盾，則肯定存在；若出現(xiàn)矛盾，則否定存在．這是一種最常用也是最基本的方法．本題根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合焦點(diǎn)三角形，引出矛盾，從而問題得解．解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解．

考點(diǎn)卡片1．點(diǎn)到直線的距離公式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】﹣點(diǎn)到直線距離：點(diǎn)（x0，y0）到直線Ax+By+C＝0的距離為：d=|A【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算距離：1．代入直線方程：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程．2．計(jì)算絕對值：計(jì)算Ax0+By0+C的絕對值．3．計(jì)算模：計(jì)算法向量的模A24．求解距離：將絕對值與模相除，即得距離．【命題方向】﹣距離計(jì)算：考查點(diǎn)到直線的距離計(jì)算，可能涉及多種坐標(biāo)系變換或應(yīng)用．2．橢圓的幾何特征【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)：橢圓與對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)．頂點(diǎn)坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比ca叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e=ca，且0＜e②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個(gè)橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．3．拋物線的定義【知識點(diǎn)的認(rèn)識】拋物線是指平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡．他有許多表示方法，比如參數(shù)表示，標(biāo)準(zhǔn)方程表示等等．它在幾何光學(xué)和力學(xué)中有重要的用處．拋物線也是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平行于某條母線的平面相截而得的曲線．拋物線在合適的坐標(biāo)變換下，也可看成二次函數(shù)圖象．標(biāo)準(zhǔn)方程①y2＝2px，當(dāng)p＞0時(shí)，為右開口的拋物線；當(dāng)p＜0時(shí)，為左開口拋物線；②x2＝2py，當(dāng)p＞0時(shí)，為開口向上的拋物線，當(dāng)p＜0時(shí)，為開口向下的拋物線．性質(zhì)我們以y2＝2px（p＞0）為例：①焦點(diǎn)為（p2，0）；②準(zhǔn)線方程為：x=-p2；③離心率為e＝1．④通徑為2p（過焦點(diǎn)并垂直于【解題方法點(diǎn)撥】例1：點(diǎn)P是拋物線y2＝x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0），則|PQ|的最小值為解：∵點(diǎn)P是拋物線y2＝x上的動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)P（x，x），∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0），∴|PQ|==x=(x-∴當(dāng)x=52，即P（|PQ|取最小值112故答案為：112這個(gè)例題其實(shí)是一個(gè)求最值的問題，一般的解題思路就是把他轉(zhuǎn)化為求一個(gè)未知數(shù)的最值，需要注意的是一定要明確這個(gè)未知數(shù)的定義域，后面的工作就是求函數(shù)的最值了．例2：已知點(diǎn)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)（0，3）的距離與點(diǎn)P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值是．解：如圖所示，設(shè)此拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線l：x＝﹣1．過點(diǎn)P作PM⊥l，垂足為M．則|PM|＝|PF|．設(shè)Q（0，3），因此當(dāng)F、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|=3即|PM|+|PQ|的最小值為10．故答案為：10．這是個(gè)經(jīng)典的例題，解題的關(guān)鍵是用到了拋物線的定義：到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，然后再根據(jù)幾何里面的兩點(diǎn)之間線段最短的特征求出p點(diǎn)．這個(gè)題很有參考價(jià)值，我希望看了這個(gè)例題的同學(xué)能把這個(gè)題記下了，并拓展到橢圓和雙曲線上面去．【命題方向】拋物線是初中高中階段重要的一個(gè)知識點(diǎn)，高中主要是增加了焦點(diǎn)、準(zhǔn)線還有定義，這也提示我們這將是它的一個(gè)重點(diǎn)，所以在學(xué)習(xí)的時(shí)候要多多理會(huì)它的含義，并能夠靈活運(yùn)用．4．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點(diǎn)的認(rèn)識】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的四種種形式：（1）y2＝2px，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（p2，0），（p（2）x2＝2py，焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，p2），（p四種形式相同點(diǎn)：形狀、大小相同；四種形式不同點(diǎn)：位置不同；焦點(diǎn)坐標(biāo)不同．下面以兩種形式做簡單的介紹：標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p＞0），焦點(diǎn)在x軸上x2＝2py（p＞0），焦點(diǎn)在y軸上圖形頂點(diǎn)（0，0）（0，0）對稱軸x軸焦點(diǎn)在x軸長上y軸焦點(diǎn)在y軸長上焦點(diǎn)（p2，0（0，p2焦距無無離心率e＝1e＝1準(zhǔn)線x=y=5．拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線【知識點(diǎn)的認(rèn)識】拋物線的簡單性質(zhì)：6．直線與拋物線的綜合【知識點(diǎn)的認(rèn)識】直線與拋物線的位置判斷：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與拋物線相交?Δ＞0；直線與拋物線相切?Δ＝0；直線與拋物線相離?Δ＜0；【解題方法點(diǎn)撥】研究直線與拋物線的位置關(guān)系，一般是將直線與拋物線的方程聯(lián)立消元，轉(zhuǎn)化為形如一元二次方程的形式，注意討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0．若該方程為二次方程，則依據(jù)根的判別式或根與系數(shù)的關(guān)系求解，同時(shí)應(yīng)注意“設(shè)而不求”和“整體代入”方法的應(yīng)用．直線y＝kx+b與拋物線y2＝2px（p＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于方程組y2（1）若k≠0，則當(dāng)Δ＞0時(shí)，直線和拋物線相交，有兩個(gè)公共