2026年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之銳角三角函數(shù)

一,選擇題（共10小題）

1.如圖，在RSA8C中，ZC=90°,48=13,BC=12,則下列三角函數(shù)表示正確的是（）

B.cosA=正C.taii4=^2D.tanB=可

2.△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1）,AQ_L4C于O,下列四個(gè)選項(xiàng)中，錯(cuò)誤的

是（）

A.sina=cosaC.sinp=cospD.(ana=I

3.若銳角a滿足cosaV乎且tana<V5,則a的范圍是（）

A.300<a<45°B.45°<a<60°C.60°<a<90°D.30°<a<60°

4.在RIAABC中，AC=8,BC=6,則cos4的值等于（）

3yf744夕4,、2位

A.-B.—C.一或一D.一或----

545457

5.在RIAABC中，ZC=90°,BC=5,AC=12,則sinB的值是（）

512512

A.-B.-C.-D.一

1251313

6.在RSABC中，ZC=90°,若斜邊AB是直角邊8c的3倍，則lanB的值是（）

1&l

A."B.3C.—D.2V2

34

7.如圖，在5x4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)

上，則sin/BAC的值為（）

A

4334

A.-B.-C.一D.

3455

DE2

8.如圖,△ABC中,CDLAB,BE工AC,—=-?則siM的值為()

BCo

c.叵3

A.-B.D.

5525

9.如圖，A、B、。三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ABC燒著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACg，Whang

的值為（）

10.如圖所示，△48C的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則taM的值為（）

C.2D.2企

二.填空題（共5小題）

II.網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,△A8C每個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的交點(diǎn)處，則sinA

12.已知在△ABC中，48=AC=8,ZBAC=30°,將AABC繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)3落在原△A5C的點(diǎn)C處,

此時(shí)點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，延長(zhǎng)線段AD,交原△ABC的邊HC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,那么線段DE的長(zhǎng)等

于.

13.如圖，在半徑為3的0O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E,連接AC,BD,若AC=2,則lanD

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線OA過(guò)點(diǎn)(2,1),則tana的值是

於1

15.AABC中，NA、N8都是銳角，若sin4=^,cos8=當(dāng)則NC=.

三,解答題(共5小題)

16.計(jì)算：V84-(-)1-4cos45°-(V3—TT)°.

2

17.如圖，在RS/WC中，N4C8=90。，4C=4c=3,點(diǎn)。在邊AC上，且4Q=2C。，DERAIL垂足

為點(diǎn)、E,聯(lián)結(jié)CE,求：

(I)線段BE的長(zhǎng)；

(2)NECB的余切值.

18.如圖，將含30。角的直角三角板ABC(ZA=30°)繞其直角頂點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角(0。＜。＜90。),

得到RtaAEC,AC與A8父于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作DE〃AB父C9于點(diǎn)E,連接8E.易知，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程

中，ABDE為直角三角形.設(shè)3c=1,AD=x,△3QE的面積為S.

(1)當(dāng)a=30。時(shí)，求x的值.

(2)求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(3)以點(diǎn)￡為圓心，8E為半徑作OE,當(dāng)S=/S^ABC時(shí)，判斷OE與AC的位置關(guān)系，并求相應(yīng)的tana

值.

19.如圖，己知四邊形43CQ中，ZABC=90°,ZADC=90°,AB=6,8=4,BC的延長(zhǎng)線與A。的延

長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

(I)若N4=60。，求8c的長(zhǎng)；

(2)若sinA=3，求A。的長(zhǎng).

(注意：本題中的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果均保留根號(hào))

20.如圖，建筑物A8后有一座假山，其坡度為i=l：6，山坡上E點(diǎn)處有一涼亭，測(cè)得假山坡腳C與建

筑物水平距離BC=25米，與涼亭距離CE=20米，某人從建筑物頂端測(cè)得E點(diǎn)的俯角為45。，求建筑

物A〃的高.(注：坡度，.是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比)

Y

n

n

n

nD

n1=1：J3/

n

n

F

F水平地面

2026年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之銳角三角函數(shù)（2025年10月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案ACBCDDDBBA

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，在RSABC中，ZC=90°,4B=13,8c=12,則下列三角函數(shù)表示正確的是（）

A.sinA=B.cosA=C.taii4=Dn.tannB=可12

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【答案】A

【分析】先利用勾股定理求出AC的長(zhǎng),然后根據(jù)銳角三角區(qū)數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)分別進(jìn)行L算，再利用

排除法求解即可.

【解答】解：VZACB=90°,4B=13,BC=12,

???AC=yjAB2-BC2=V132-122=5,

BC12

、故本選項(xiàng)正確;

Asin/l=AB=13,

AC5

、故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

BcosA=ABF

BC12

、taii4=故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

CAC=T,

AC5

D、〃故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

tan=BC=TT

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理的應(yīng)用，熟記在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊

比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊是解題的關(guān)腱.

2.△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1）,AO_L8C于。，下列四個(gè)選項(xiàng)中，錯(cuò)誤的

是（)

A.sina=cosaB.tanC=2C.sin0=cos0D.tana=1

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【答案】C

【分析】觀察圖形可知，△AQB是等腰直角三角形，BD=AD=2,AB=2近,AQ=2,CD=1,AC=店,

利用銳角三角函數(shù)一一計(jì)算即可判斷.

【解答】解：觀察圖象可知，AADB是等腰直角三角形，BD=AD=2,AB=2yf2,AD=2,CQ=I,

AC=V5,

/.sina=cosa=苧，故A正確，

tanC=器=2，故8正確，

（ana=l,故。正確，

...QCO底Q_2店

?sinp==亍-,cosp=5.

sin0#cos0,故C錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用.等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.

3.若銳角a滿足cosaV*且tanaV、倍，則a的范圍是（）

A.300<a<45°B.45°<a<60°C.60°<a<90°D.30°<a<60°

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的增減性.

【專題】應(yīng)用題.

【答案】B

【分析】先由特殊角的三角函數(shù)值及余弦函數(shù)隨銳角的增大而減小，得出45。<。<90。；再由特殊角的

三角函數(shù)值及正切函數(shù)隨銳角的增大而增大，得出0VaV60。；從而得出45。<。<60。.

【解答】解：??F是銳角，

cosa>0>

??g

?cosaV-2"，

.*.0<cosaV孝,

又???cos900=0,cos450=寸，

.?.45°<a<9()0；

Va是銳角，

tana>0,

Vtana<V3,

/.0<tana<V3,

又???1@110°=0,tan6O°=V5,

0<a<60°；

故45。<。<60°.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦函數(shù)、正切函數(shù)的增減性與特殊角的余弦函數(shù)、正切函數(shù)值，熟記特殊角

的三角函數(shù)值和了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵.

4.在RtAABC中，AC=8,BC=6,則cosA的值等于()

3V74T近42^7

A.-B.——C.一或——D.一或----

545457

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用.

【答案】C

【分析】因?yàn)樵}沒(méi)有說(shuō)明哪個(gè)角是直角，所以要分情況討論：①為斜邊，②AC為斜邊，根據(jù)勾股

定理求得4B的值，然后根據(jù)余弦的定義即可求解.

【解答】解：當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：

①當(dāng)A8為斜邊，ZC=90°,

???AC=8,BC=6,

?,.A8=7AC?+3c2=V824-62=10.

.AAC84

??COSA=^=T0=5;

②當(dāng)AC為斜邊，ZB=90%

由勾股定理得：AB=VAC2-BC2=V82-62=2V7,

..AB24747

..cos/l=_=_=-

4、/7

綜上所述，cosA的值等于二或一.

54

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦函數(shù)的定義，理解定義是關(guān)鍵，并注意分類討論.

5.在RSABC中，ZC=90°,BC=5,AC=\2,則sinB的值是()

512512

A.一D.—C.—D.—

1251313

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】。

【分析】直接利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)得出答案.

【解答】解：如圖所示：

VZC=90°,4C=5,AC=I2,

：,AB=V52+122=13,

..AC12

??澗8D=而=討

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確掌握邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵.

6.在Rt△人BC中，NC=90。，若斜邊人4是直角邊的3倍，則tanB的值是()

1cY

A.-B.3D-2&

34

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理.

【答案】。

【分析】設(shè)8C=x,則A8=3x,由勾股定理求出AC,根據(jù)三角函數(shù)的概念求出tan8.

【解答】解：設(shè)8C=x,則A8=3x,

由勾股定理得，AC=2Vlx,

tanB=臺(tái)號(hào)=2企，

故選:D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是銳角三角函數(shù)的概念和勾股定理的應(yīng)用，應(yīng)用勾股定理求出直角三角形的邊長(zhǎng)、

正確理解銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在5x4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,AABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)

上，則sin/BAC的值為（）

【考點(diǎn)】解直角三角形.

【號(hào)題】解直角三角形及其應(yīng)用.

【答案】。

【分析】過(guò)C作于0,首先根據(jù)勾股定理求出AC,然后在Rt△4C。中即可求出sinN8AC的

值.

【解答】解：如圖，過(guò)C作CQ_LA/e于。，則4QC=90。，

：.AC=yjAD2+CD2=V32+42=5.

rn4

，sinNBAC=^=去

故選:D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

DE2

8.如圖，△ABC中，CO_L48,BELAC,—=一,則sinA的值為（）

BC5

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；幾何直觀.

【答案】B

【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解.

【解答】解：CDLAB,BE_LAC則易證△ABEs△AC。,

.ADAC

'AE-AB

又二NA=NA,

:.XAEDsXABC,

ADDE2

??--,

ACBC5

設(shè)AQ=2a,則AC=5a,

根據(jù)勾股定理得到CD=際a

因而sin4=市;=—.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】求三角函數(shù)值的問(wèn)題一般要轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊的比的問(wèn)題，本題注意到AAEOs△48c

是解決木題的關(guān)鍵.

9.如圖，4、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處,若將△ABC燒著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACB,則lang

的值為（）

【考點(diǎn)】銳知三角函數(shù)的定義：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】壓軸題.

【答案】B

【分析】過(guò)。點(diǎn)作CQJ_4從垂足為Q，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：把求tan夕的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為在

RtABCD中求lanB.

【解答】解：過(guò)C點(diǎn)作CDLW,垂足為。.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，

rn1

-

在RIABCD中，tan?=器=3

?ItanB'=tan8=a.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)角相等；三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法.

10.如圖所示，△48C的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanA的值為（）

1

A.-B.返C.2D.2或

22

【考點(diǎn)】解直角三角形.

【專題】等腰三角形與直角二角形；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；模型思想；應(yīng)用意識(shí).

【答案】4

【分析】根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，由勾股定理可求A。、BD,再根據(jù)三角函數(shù)的意義可求出tanA的

值.

【解答】解：如圖，連接8。，由網(wǎng)格的特點(diǎn)可得，BDLAC,

AD=V22+22=2V2,BD=Vl2+I2=&,

..BD&1

.?3必=而=汲=2,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的邊角關(guān)系，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問(wèn)題的前提，利用網(wǎng)格構(gòu)

造直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

3

II.網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,AAAC每個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的交點(diǎn)處，則4^=：

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；三角形的面積；勾股定理.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)各邊長(zhǎng)得知△48C為等腰三角形，作出BC、A8邊的高4。及CE,根據(jù)面積相等求出CE,

根據(jù)正弦是角的對(duì)邊比斜邊，可得答案.

【解答】解：如圖，作AQ_L8C于。，CE上AB于E,

由勾股定理得A8=AC=2遙，BC=2V2,A￡>=3或,

可以得知△ABC是等腰三角形,

11

由面積相等可得，-BC*AD=

272x3726點(diǎn)

即CE=

2店5,

6店Q

CE_飛__3

sirt4=k2后■一甲

3

故答案為：-

?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰

邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊.

12.已知在△AAC中，AS=AC=8,Z￡4C=3()c,將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)6落在原△的點(diǎn)。處，

此時(shí)點(diǎn)C落在點(diǎn)。處，延長(zhǎng)線段AD,交原△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，那么線段DE的長(zhǎng)等于

473-4.

【考點(diǎn)】解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】作CH_LAE于從根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)用和定理可計(jì)算出NACB=|(180°-ABAC)

=75。，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AQ=A3=8,NC4Q=NZMC=3O。，則利用三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出

=45。，接著在RSAC”中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得C”=yC=4,AH=MH=4?

所以。”=4。?4"=8?4舊，然后在RsCEH中利用NE=45。得到E”=CH=4,于是可得QE=EH

-DH=4痘-4.

【解答】解：作于凡如圖，

??SB=AC=8,

??.N8=N4C3=2(180。-ZfiAC)=1(180。-30。)=75°,

:△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在原AABC的點(diǎn)。處，此時(shí)點(diǎn)C落在點(diǎn)。處，

???AO=A8=8,ZCAD=ZBAC=30°,

?/ZACB=ZCAD+ZE,

.?.ZE=750-30o=45°,

在RsAC”中，???/CA”=30。，

???C〃=%C=4,AH=V3CH=4x/3,

???QH=AQ-A”=8-46，

在R(ACE“中，,/ZE=45°,

:?EH=CH=A,

：,DE=EH-DH=4-(8-46)=4次一4.

故答案為4百-4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角

形.也考查了等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

13.如圖,在半徑為3的。。中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E,連接AC,BD,若AC=2,則tan。=」衣—.

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】連接8c可得A人?!。?，由勾股定理求得8C的長(zhǎng)，進(jìn)而rtltan￡>=taM=^可得答案.

【解答】解：如圖，連接AC,

???A4是。。的直徑,

???乙46=90°,

??"B=6,AC=2,

:?BC=\/AB2-AC2=V62-22=4VI

又???NO=NA,

.*.tanD=tarL4=第==2A/2.

故答案為：2&.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的定義、圓周角定理、解直角三角形，連接8c構(gòu)造直角三角形是解題的

關(guān)鍵.

1

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線0A過(guò)點(diǎn)（2,1）,則tana的值是

~2~

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)正切函數(shù)是對(duì)邊比鄰邊，可得答案.

BC1

tana=0C=2

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)，在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊,

正切為對(duì)邊比鄰邊.

A1

15."BC中，NA、NB都是銳角，若siri4=^,cosB=則NC=60。.

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值；三角形內(nèi)角和定理.

【專題】計(jì)算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出NA、N8的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NC即可作

出判斷.

【解答】解：?/△/WC中，NA、都是銳角sinA=坐，8sB=1

???NA=NB=60°.

:.ZC=180°-ZA-ZB=180°-60°-60°=60°.

故答案為：60°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值及三角形內(nèi)角和定理，比較簡(jiǎn)單.

三,解答題（共5小題）

]

16.計(jì)算：V§+（―）1-4cos45°-（V3—TT）

2

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值：零指數(shù)暴；負(fù)整數(shù)指數(shù)暴.

【專題】存在型.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)、負(fù)整數(shù)指數(shù)靠、特殊角的三角函數(shù)俏及零指數(shù)帚把原式化簡(jiǎn)，再根據(jù)

實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：原式=2企+2-4x*-1,

=2V2+2-2x/2-1,

=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型.解決此類題目的關(guān)鍵是熟記

特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)基、零指數(shù)第及二次根式等考點(diǎn)的運(yùn)算.

17.如圖，在RSA8C中，N4C8=90。，AC=BC=3,點(diǎn)。在邊AC上，且人。=2CO,DELAB,垂足

為點(diǎn)、E,聯(lián)結(jié)CE,求：

（1）線段BE?的長(zhǎng)；

（2）NEC8的余切值.

【考點(diǎn)】解直角三角形；勾股定理.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出NA=NB=45。，由勾股定理求出A8=3VL求出NAOE=

NA=45。，由三角函數(shù)得出AE=VL即可得出的長(zhǎng)；

（2）過(guò)點(diǎn)月作EH_L8C,垂足為點(diǎn)從由三角函數(shù)求出EH=8”=8E?cos45。=2,得出C”=l,在Rt△CHE

中，由三角函數(shù)求出cot/ECB=需二；即可.

【解答】解：（1）???AD=2CZ）,4。=3,

：.AD=2,

???在RSABC中，ZACB=90°tAC=BC=3,

:.NA=NB=45。,AB=7AC?+BC2=V32+32=3歷

DE.LAB,

，ZAED=90°,NADE=NA=45。，

：.AE=AD>cosA50=2x%=72,

:?BE=AB-AE=3>j2-V2=2&，

即線段BE的長(zhǎng)為2a；

（2）過(guò)點(diǎn)E作E”_L8C,垂足為點(diǎn)”，如圖所示：

;在RS中，/EHB=90。,NB=45°,

EH=BH=5E*cos45°=2^2x*=2,

，：BC=3,

：.CH=\,

在RtaC/7E中，cotZECB=^=1,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)：熟練掌握等腰直角

三角形的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線求出CH是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵.

18.如圖，將含30。角的直角三角板A/3c（NA=30。）繞其直角頂點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角（0。＜。＜90。），

得到RS4夕C,4c與4B交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)D作DE〃AE交CB吁點(diǎn)、E,連接8E.易知，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程

中，ABDE為直角三角形.設(shè)8C=1,AD=x,△BDE的面積為S.

（1）當(dāng)a=30。時(shí)，求x的值.

（2）求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（3）以點(diǎn)E為圓心，BE為半徑作OE,當(dāng)S=[SAABC時(shí)，判斷0E與A9的位置關(guān)系，并求相應(yīng)的tana

值.

B

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式；勾股定理；直線與圓的位置關(guān)系；旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定，NA=Na=30。，得出x=l：

（2）由直角三角形的性質(zhì)，AB=2,AC=yf3,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求得△AQCsaBCE,根據(jù)比例關(guān)系式，求

出S與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)5=,5-8c時(shí)，求得x的值，判斷OE和OE的長(zhǎng)度大小，確定OE與/VC的位置關(guān)系，再求tana

值.

【解答】解：（1）???NA=a=30。

又,:NAC8=90。，

/.ZABC=ZBCD=60°.

：.AD=BD=BC=\.

?\x=1；

(2)?；NDBE=90。,ZABC=60°,

???ZA=ZCBE=30°.

：.AC=V3BC=A/3,AB=2BC=2.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=AfC,BC=BC

ZACD=NBCE,

XADCs4BEC,

ADAC

??,

BEBC

BE=苧x.

二BD=2-x,

/.s=X(2-x)=-等X.(0<x<2)

(3)*.*5=^5'AABC

.732工區(qū)43

.?一豆、+至"百

/.4.V2-8x+3=O,

._1_3

**xi-2,^2—2,

①當(dāng)x=3時(shí)，BD=2-1=1,BE=xI=^.

：?DE=7BD2+BE2=iVH.

o

*：DE//A'B\

/.ZEDC=NA=NA=3O。.

AEC=3DE=|V21ABE,

LO

，此時(shí)0E與4c相離.

過(guò)。作_LAC于凡則DF=2%=J,A尸=J5OF=卓.

I1

??.￡加”=皆=看（12分）

31

nD-2-nF

②當(dāng)"o-2-2-o

ADE=y/BD2+BE2=1,

???EC=%E=2〈BE,

???此時(shí)OE與AC相交.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定以及直線與圓

的位置關(guān)系的確定，是一道綜合性較強(qiáng)的題目，難度大.

19.如圖，已知四邊形A8C。中，ZABC=90°,NADC=90。，A8=6,CD=4,BC的延長(zhǎng)線與A。的延

長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

（1）若NA=60。，求8c的長(zhǎng)；

4

（2）若sirh4=耳，求A。的長(zhǎng).

（注意：本題中的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果均保留根號(hào)）

【專題】探究型.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）要求的長(zhǎng)，只要求出BE和CE的長(zhǎng)即可，由題意可以得到8E和CE的長(zhǎng)，本題得以

解決；

（2）要求AD的長(zhǎng)，只要求出AE和。石的長(zhǎng)即可，根據(jù)題意可以得到AE、OE的長(zhǎng)，本題得以解決.

DC

【解答】解：（1）VZA=60°,NA8E=90。，A5=6,tanA二器,

，NE=30。，BE=tan60°*6=6V3,

rn

又???NCOE=90。，CD=4,sinE二步，NE=30。，

4

ACE=y=8,

2

:,BC=BE-CE=66一8；

4RF

（2））VZABF=90°,AB=6,sinA=g=器，

，設(shè)BE=4x,則AE=5x,得A8=3x,

???3x=6,得x=2,

???BE=8,AE=10,

.「AB6CD4

??tanE=而一百=詼=礪，

解得，。E二學(xué)，

：.AD=AE-DE=1。-竽=爭(zhēng)

即AD的長(zhǎng)是

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用銳角三角函

數(shù)進(jìn)行解答.

20.如圖，建筑物A8后有一座假山，其坡度為i=l：V3,山坡上E點(diǎn)處有一涼亭，測(cè)得假山坡腳C與建

筑物水平距離4c=25米，與涼亭距離CE=20米，某人從建筑物頂端測(cè)得E點(diǎn)的俯角為45。，求建筑

物八〃的高.(注：坡度/是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比)

月

「

n

n

n

nD

n

n

n

—g

F水平地面

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問(wèn)題；解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角問(wèn)題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】首先過(guò)點(diǎn)七作于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)、E作EN-LAB干點(diǎn)、N,再利用坡度的定義以及勾股定理得

出石尸、PC的長(zhǎng)，求出人8的長(zhǎng)即可.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作ERLBC于點(diǎn)凡過(guò)點(diǎn)E作ENLAB于點(diǎn)N,

???建筑物人8后有一座假山，其坡度為i=l：V3,

???設(shè)EF=x,則“'=V5x,

???CE=20米，

???7+(V3x)2=400,

解得：x=1(),

則FC=\()\[3m,

?:BC=25m,:.BF=NE=(25+I0V3)m

：,AB=AN+BN=NE+EF=W+25+\0V3=(35+1073)in

答：建筑物AB的高為(35+10V3)m.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，要求學(xué)生借助坡角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三

角函數(shù)解直角三角形，難度適中.

考點(diǎn)卡片

1.零指數(shù)募

零指數(shù)暴：『=1（〃加）

由小丑嚴(yán)=1,可推出『=1（爾0）

注意：O°ri.

2.負(fù)整數(shù)指數(shù)塞

負(fù)整數(shù)指數(shù)暴：不〃=焉（。和，p為正整數(shù)）

注意：①存0；

②計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)幕時(shí)，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)基的意義計(jì)算，避免出現(xiàn)（-3）-2=（-3）X（-2）的

錯(cuò)誤.

③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

④在混合運(yùn)算中，始終要注意運(yùn)算的順序.

3.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

I、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到,，

軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時(shí)，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?/p>

號(hào).

2、有圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時(shí)，過(guò)已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長(zhǎng)，是解決這類問(wèn)

題的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去解決問(wèn)題.

4.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式

根據(jù)實(shí)際問(wèn)遨確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題.需要注意的是

實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來(lái)確定.

①描點(diǎn)猜想問(wèn)題需要?jiǎng)邮植僮鳎@類問(wèn)題需要真正的去描點(diǎn)，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，

再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問(wèn)題.

②函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合問(wèn)題，有些是以函數(shù)知識(shí)為背景考查幾何相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；

有生題目是以幾何知識(shí)為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)建立量與量的等式.

5.三角形的面積

（1）三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即SA=*X底x高.

（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

6.三角形內(nèi)角和定理

（I）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大

于0。且小于180。.

（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是18（）。.

（3）三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角.在轉(zhuǎn)化中借助平

行線.

（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩己知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法

求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

7.等腰三角形的性質(zhì)

（I）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

（3）在①等腰：②底邊上的高：③底邊上的中線：④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)

元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

8.勾股定理

（I）勾股定理：在任何一個(gè)直先三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是小b,斜邊長(zhǎng)為C,那么/+廬=。2.

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式a2+〃2=c、2的變形有：〃一后二■廬，b_&及c_，a2+Y2.

（4）由于。2+廬=。2>。2,所以同理c>〃，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

9.直線與圓的位置關(guān)系

（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：

①相離：一條直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn).

②相切：一條直線和圓只有?一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫

切點(diǎn).

③相交：i條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線.

(2)判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)。。的半徑為心圓心。到直線/的距離為止

①直線/和OO相交

②直線/和。0相切=d=r

③直線I和O。相離=〃＞「.

10.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

(I)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

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