專題09二次函數(shù)中的等腰三角形、直角三角形存

在性問題的三類綜合題型

目錄

典例詳解

類型一、二次函數(shù)中的等腰三角形存在性問題

類型二、二次函數(shù)中的直角三角形存在性問題

類型三、二次函數(shù)中的等腰直角三角形存在性問題

壓軸專練

怎類型一、二次函數(shù)中的等腰三角形存在性問題

例1.如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)），=/+隊+。的圖象與x軸相交于點A（l,0）和點8（3,0）,與），軸相交于點C.

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式和線段BC的長；

（2）在拋物線對稱軸上找一點P,使△P8C為等腰三角形？直接寫出點尸的坐標(biāo).

【答案】⑴>=--44+3：BC=3近;

⑵P（2,±g）或（2,2）或（2,3±加）.

【分析】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對

稱的性質(zhì)等知識，運用分類討論思想是解題的美鍵.

（1）代入A（1,O）和8（3,0）,解方程組即可；令x=（）,求出點C的坐標(biāo)，利用兩點間距離公式求解即可;

（2）當(dāng)△P8C為等腰三角形時分三種情況進(jìn)行討論：①CP=CB；③分別求解即

可.

l+Z?+c=0

【詳解】（I）解：把A（l,0）和8（3,0）代入y=f+bx+c?可得

9+38+c=0

b=-4

解得：

c-3

，二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=--4x+3；

令拋物線x=0,則y=3,

???C(0,3),

???BC=J(3_01+(0-3)2=3y/2；

(2)存在.

理由：Vy=x2-4x+3=(x-2)2-l,

，設(shè)P（2,m）,

VC（0,3）,B（3,0）,

???PB2=（2-3）2+（〃LOY=\+m2,PC2=（2-0）2+（m-3丫=4+（〃?-3丫,

,:BC=342,△P8C為等腰三角形，

???當(dāng)8尸=5。時,l+m2=18,

解得：〃,=土JF7,此時叩，士J萬卜

當(dāng)P8=PC時，1+機2=4+（加—3『，

解得〃?=2,此時產(chǎn)（2,2）；

當(dāng)CP=CB時，18=4+（,?-3）2,

解得：m=3±JIZ，此時尸（2,3士河）；

綜上所述，42,±g）或（2,2）或（2,3士，可.

【變式I】如圖，拋物線廣。*-4+攵經(jīng)過點4。/），且頂點8的坐標(biāo)為（1,2）,對稱軸與x軸交于點C

(1)求此拋物線的解析式.

(2)在第一象限內(nèi)的拋物線上找點P,使△ACP是以AC為底的等腰三角形，請求出此時點。的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線的解析式為y=-f+2x+l

(2)點P的坐標(biāo)為'+￡,*J)

【分析】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識點主要有運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、等腰三角形

的性質(zhì)以及平面內(nèi)兩點間的距離公式.

(1)由拋物線)，=。(x-力)。k的頂點坐標(biāo)是(1,2)知：/2=1,%=2,則y=a(x—iy+2.再把40,1)代入

此解析式求解即可；

⑵連接以、PC則%=PC,設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,-x2+2x+1),則根據(jù)平面內(nèi)兩點間的距離公式可得PA2,

PC?的值，令二者相等求解即可.

【詳解】(1)解：??,拋物線)，=。(“-力)2+2的頂點〃的坐標(biāo)為(L2),

/.>=^(x-l)2+2.

??,拋物線經(jīng)過點A(0,l),

,-.?(0-1)2+2=1,

???拋彳勿線的角吊析式為y=-(A-1)2-2=-X2+2X+1.

(2)解:如圖，連接BA、PC.

設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,-r+2x+1).

4(0,1),C(LO),

/.PA2=x2+(-x2+2A+1-1)~=x2+(x2-2xJ",

PC2=(X-1)2+(-X2+2X+1)\

PA=PC,

PA2=PC2，

x2+(x2-2x)2=(x-1)2+(-x2+2x4-1)'.

整理，得

解得司=￥，4=萼(舍去).

當(dāng)‘=匕@時，_/+2工+1=上￡,

22

點尸的坐標(biāo)為(上￡，上速.

【變式1-2】如圖，拋物線產(chǎn)加+加+3("0)與x軸交于A8兩點，與)，軸交于點c.已知點A的坐標(biāo)是

(-1,0),拋物線的對稱軸是直線x=l.

(1)求拋物線的解析式；

⑵第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點P，使.8CP的面積最大，求點P的坐標(biāo)和.8CQ面積的最大值;

⑶對稱軸與X軸交于點N,在對稱軸上找一點M,使MNC是以CN為腰的等腰三角形，求點M的坐標(biāo).

【答案】⑴y=*+2x+3

(2)[D]；面積最大值為名

U4；8

⑶點M的坐標(biāo)為(1,-加)，(1,而)，(1,6)

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，熟

練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，合理作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵.

(1)用待定系數(shù)法即可求解；

(2)如圖，過點尸作PE/)，軸交8Cr點E,先用含加的解析式表示出

sQ=；PE(XB_XO)=；(-nr+3w)x3=-|^n-|^

4-—，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解;

8

(3)分①當(dāng)CV=MN=J歷時，②當(dāng)CN=O3/歷時，兩種種情況討論，即可求解:

【詳解】(1)解：???拋物線的對稱軸是直線x=l,

?.,----b-=1,

2a

:?b=-26?,

將人(一1,0)代入丁=?2+笈+3(々工0)得〃一〃+3=0@,

由①②得.a=—\,h=2,

:.拋物線的解析式為y=-2+2x+3；

(2)解：令y=°得0=-爐+24+3,

**,X|=3,再=-1,

???3(3,0),

令#=()得，=3,

???C(0,3),

設(shè)直線BC的解析式為y=依+4化工0),

3左+4=0k=-\

‘0+4=3解方程得心3

???直線BC的解析式為y=-工+3,

如圖，過點P作PEy軸交8C于點￡,

設(shè)P點坐標(biāo)為（〃?,一〃產(chǎn)+2m+3）,則E（m,-nt4-3）,（0<m<3）,

:.PE=-ftf+2m+3-（-m+3）=-/n2+3m,

,,S*/,=；尸￡（4-與）=；（一/+3m）x3=_?+?，

???當(dāng)，〃=39時，Ss~有最大值，最大值為27?，

2o

v=-nr+2m+3=-f—+2x—+3=—?

'⑴24

???此時尸點坐標(biāo)為（I，野

（3）解：???對稱軸與x軸交于點N,

/.ON=1.

??,C（0,3）,

???。。=3,

?'CN=y]ON2+OC2=A/12+32=V10?、

①當(dāng)CN=MN=J16時，

如圖所示有例/（1,而），

②當(dāng)CN=CMa=Jib時，過點C作c/，加3",

,:CN=CM、,CF±MyN,

：,M3N=2FN=3+3=6,

，加3(1,6),

綜上所述：點M的坐標(biāo)為(I,N/10),(1,6),

覆類型二、二次函數(shù)中的直角三角形存在性問題

1.解題思路：先確定拋物線與坐標(biāo)軸交點等定點（如A、B）,設(shè)拋物線上動點P（xj）,分NA=90。、ZB=90

。、NP=9（r三類討論直角頂點。

2.解題技巧：用勾股定理（附斗P"=A"等）或斜率乘積為/（垂直）列方程，借拋物線表達(dá)式消），，結(jié)合x

范圍驗根。

3.解題方法：代數(shù)法為主，列坐標(biāo)方程求解：輔以幾何法（過4、8作垂線交拋物線得P）,結(jié)合圖形驗證

直角合理性。

例2.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線），=&+2仆_34與x軸交FA、8兩點（點A在點8的左側(cè)），與,，軸

交千點C,該拋物線過點（-2,-3）.

（2）皿圖I,連接AC,拋物線的對稱軸上是否存在點M,使△ACM是直角三角形？若存在，求出M的坐標(biāo):

若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=/+2x-3,A(-3,0),8(1,0)；

（2）存在,

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)

用.

（I）把（-2,-3）代入y=aP+2欠-3”可得,故拋物線的解析式為），=爐+24-3,令y=。解得工=一3或

x=l,從而A（—3,0）10,0）；

（2）求出。（0,-3）,拋物線的對稱軸為直線x=—l,設(shè)“（-L"）,可得AC?=18,八/=4+加,

?！?1+（而+3廣，分三種情況，用勾股定理列方程可解得答案.

【詳解】（1）解：把（一2,—3）代入），=勿2+2辦一3。得：

-3=4，/—4〃一%，

解得：a=l,

???拋物線的解析式為：y=/+2x-3,

在y=/+2x-3中，令，，=。得：0=產(chǎn)+2工一3,

解得：x=-3或％=1,

:.A（—3,0）,3（1,0）；

（2）解：拋物線的對稱軸上存在點使八4。必是直角三角形，理由如下:

y-x2I2x3中，令x=0,得產(chǎn)一3,

.?.C（0,-3）,

/.）=x2+2x-3=（x+l）'-4,

???拋物線的對稱軸為直線x=-l,

設(shè)M（-lM）,

A（-3,0）,

AC2=18.AM1=4+7/r,CM2=l+（/?H-3）',

①當(dāng)AC為斜邊時，4+>+1+（5+3『=18,

解得：m=+=———\/17,

22

...八｛1,一?|+問或\1,一|_折），

②當(dāng)A"為斜邊時，4+>=1+（〃?+3）2+18,

解得：tn=-4,

③當(dāng)CW為斜邊時，18+4+機2=1+（〃?+3）2,

解得：m=2,

綜上所述，M的坐標(biāo)為（_1,_?+如）或（_1,一|一如）或（T,T）或（7,2）.

【變式2-1】如圖，拋物線y=I+bx+c交x軸于A（-2,0）,8（5,0）兩點，交可軸于點C,連接8C,AC.

⑴求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在點P,使BCP為直隹三角形?若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=Y-3x-H)

321343

（2）存在，點P的坐標(biāo)為色引，仃-萬卜U〔5旬

【分析】（1）把A,B兩點坐標(biāo)代入拋物線的解析式，構(gòu)建方程組求出兒。的值即可；

（2）分三種情形：當(dāng)為斜邊時，當(dāng)3戶為斜邊時，當(dāng)C尸為斜邊時，再利用勾股定理分別求解即可.

【詳解】（1）解；將點4（一2,0）,3（5,0）的坐標(biāo)分別代入y=/+法+°,

,4—=0,

得、]25+5Hc=0,

b=-3,

c=-l09

???該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=丁-3x-10.

（2）解：存在.理由如下：

由拋物線的函數(shù)表達(dá)式知，拋物線的對稱軸為直線式=白，

Vy=x2-3x-l0,

當(dāng)工=0時，y=-10,

???C（0,-10）,

,設(shè)點尸（?.

由點C,B,P的坐標(biāo)，得

5C2=52+102=125,8尸=（5-1）+m2,

C尸二（0-3）+（-10-w）2=^+（w+10）2.

當(dāng)8C為斜邊時，（？）+///2+-+（/?+10）2=125,

整理得：4/W2+40W-2I=0?

121

解得小石或一子

21

~2

、2

o2

當(dāng)BP為斜邊時,-+(/n+10y+125=|^-+nf，

解得---，

4

(343、

工點P6，F(xiàn))；

當(dāng)C尸為斜邊時，(T)+〃?2+125=\+(〃7+10)2,

解得〃?=;

4

，點p(M，

綜上所述，點P的坐標(biāo)為圉3曲野(鴻｝目)

【點睛】本題考查了求解二次函數(shù)的解析式，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法等知識，解題的關(guān)鍵

是掌握待定系數(shù)法，學(xué)會用分類討論的思想思考問題.

【變式2-2］如圖，已知拋物線經(jīng)過點A(-3,0),8(1,0),頂點為p,與〉軸交于點C(0,-3),且與直線y=x+3

交于點。.

備用圖

⑴求拋物線的解析式及頂點P的坐標(biāo)；

(2)求△AP。的面積；

(3)若點M為拋物線上的一個動點，是否存在以AO為直角邊的直角三角形AOW?若存在，請求出點M的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=/+2x—3,頂點P的坐標(biāo)為(—LT)；

(2)15；

⑶存在滿足條件的M點,其坐標(biāo)為(0,-3)或(-5,12).

【分析】本題考查了兩點間的距離，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何

圖形的應(yīng)用，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

(I)利用待定系數(shù)法求解析式即可；

(2)聯(lián)立「二求出。(2,5),則與-4=2-(-3)=5,過頂點P(-1,T)作>軸的平行線與直線

A。交于點Q，求出。(T2),所以PQ=2-(Y)=6,然后由5八叨=；、〃。、(芍-4)即可求降

(3)設(shè)M(/%,nr+2m-3),則AD1=50,AM2=(/zr+2m)'-5m~-6/w+18?

DM2=(w2+2//?)'-15m2-36,??+68,然后分①當(dāng)AM2+AD2=Q”和②當(dāng)DM2+AD2=兩種情況,

再解方程即可.

【詳解】(1)解：???拋物線經(jīng)過點A(-3,0),5(1,0),

???設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3(<-i),

把點。(0,-3)代入，得-3=。(0+3)(0-1),

解得。=1,

???拋物線的解析式為y=(x+3)(xT),即y=x2+2x-3,

*/V=X2+2X-3=(A:+1)2-4,

，頂點P的坐標(biāo)為(TT)；

“、叱號/)'="2+2工一3

(2)解：聯(lián)“彳-,

V=x+3

解得：x=2＜或＜x=-3

y=5y=0

???0(2,5),

VA(—3,0),

/.xD-xA=2-(-3)=5,

如圖i，

D

A

0'B

P

ffll

過頂點P(-I,T)作y軸的平行線與直線人。交于點Q,

???e(-i,2),

PQ=2_(f=6,

,?SA=；XPQX(%—4)=JX6X5=15；

(3)解：存在，理由如下，

VA(-3,0),仇2,5),點M為拋物線上的?個動點,

:.設(shè)M(〃?,nr+2〃L3),

22

:.AD=(-3-2)+(0-5)2=50,

AM2=(—3—/n)~+^0—(m2+2m—3)]=(/〃+3y+(〃，+2小—3)—5m2—6m+18>

DM2=(2-〃i)~+15-(w2+2m-31=(/?-2)'++2，〃一8)"=，〃/+2/n)"-15/n2-36/"+68,

由于以AO為直角邊的直角三角形4W,

①當(dāng)AM2+AQ2=OA/2,

("J+2〃?)—5〃/—6m+18+50=(nr+2叫—1Snr—36m+68,

整理得：10〃/+30〃2=0，即加2+3m=0，

解得：〃?=0或〃?=一3(舍去)，

in2+2m-3=-3，

???點〃(0,-3)；

②當(dāng)。小+4力2=只”,

(〃/+2m)-15m~-36/〃+68+50=(nr+2m)-5m2-6m+18,

整理得：10加2+30，〃一100=。，即＞+3M-10=0，

解得：〃?=-5或〃?=2(舍去)，

:.W2+2W-3=(-5)2+2X(-5)-3=12,

???點M(-5,12),

綜上可知：點M的坐標(biāo)為(0,-3)或(-5,12).

,類型三、二次函數(shù)中的等腰直角三角形存在性問題

1.解題思路：確定拋物線定點（如A、B）,設(shè)動點兒分NA、/B、N”為直角頂點三類，每類需滿足

“直角”+“兩直角邊相等二

2.解題技巧：用坐標(biāo)表邊長，結(jié)合勾股定理（直角）與距離相等（等腰）列方程，借拋物線消戶利用斜

率（垂直時積為T）簡化計算，結(jié)合圖形限x范闈。

3.解題方法：代數(shù)法聯(lián)立直角與等腰方程求解；幾何法構(gòu)造全等（如過P作橫縱垂線，使直角邊等長），

驗證交點合理性。

例3.如圖，拋物線），=-/+ZUTC?經(jīng)過A（7,0）,8（4,0）兩點，與丁軸相交于點C,連接3C,點尸為線段

8c上方拋物線上一動點（不與點&C重合），過點尸作4軸的垂線/,交8c于點G,交x軸于點￡.

⑴求拋物線的函數(shù)解析式；

⑵過點。作C/J_直線/,尸為垂足，當(dāng)點P運動到何處時，以P,C,r為頂點的三角形是等腰直角三角

形？并求出此時點P的坐標(biāo).

【答案】⑴拋物線的解析式為），=-W+3x+4；

(2)P(2,6).

【分析】本題考查了待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，等腰直角二角形的性質(zhì)，解一元一次方程，掌握

知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

（1）把A（T,O）,8（4,0）兩點代入），=-/+版+c即可求解；

（2）由直線/,則NPFC=90。，b〃x軸，又P,C,廣為頂點的三角形是等腰直角三角形，則有

CF=PF,設(shè)夕（，,一產(chǎn)+3，+4）,則b=/,PF=|-/2+3/|,然后分①當(dāng)尸在尸上方時和②當(dāng)P在尸卜方時

兩種情況分析，然后解方程并檢驗即可.

【詳解】⑴解：???拋物線經(jīng)過4（7,0）,以4,0）兩點,

-l-b+c=O

—16+4/>+c=0

b=3

解得：<〃

c=4

:,拋物線的解析式為y=-丁+34+4；

（2）解：???C/J_直線/,

AZPFC=90°,C產(chǎn)〃x軸，

VP,C,尸為頂點的三角形是等腰直角三角形，

:?CF=PF,

由拋物線的解析式為y=*+3x+4得，當(dāng)x=0時，尸4,

???C（0,4）,

/.0C=EF=4,

設(shè)P（7,—產(chǎn)+3/+4）,則C/=/,/>F=|-r+3z+4-4|=|-r+3r|,

工①當(dāng)尸在尸上方時，，=一尸+33

解得：，=0或/=2,

???P（0,4）此時與C重合,舍去；或夕（2,6）,

②當(dāng)〃在產(chǎn)下方時，t=t2-5t,

解得：/=0或1=4,

???P（O,4）,此時與C重合，舍去；或尸（4,0）,此時與8重合，舍去；

綜上可得：*2,6）.

【變式3-1】如圖，將拋物線丁=/向右平移。（。>0）個單位得到新拋物線，新拋物線的頂點為A,與y軸

交于點8,且VAO8為等腰直角三角形.

（1）求。的值；

（2）在新拋物線上是否存在一點C,使VA3C為等腰直角三角形？若存在，請求出點。的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

【答案】（1）1

（2）在圖中的拋物線上存在點C,使VA8c為等腰直角三角形，點。的坐標(biāo)為（2,1）

【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵是：（1）找出關(guān)于。的一元二次方程；（2）找出點。的位置.本題屬于中檔題，難度不大，解決

該題時，巧妙的利用了拋物線的對稱性來尋找點C的位置.

（1）根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后的拋物線的解析式，分別求出點4,3的坐標(biāo)，根據(jù)VA08為等腰直角三

角形即可得出關(guān)于。的一元二次方程，解方程即可求出。值；

（2）作點B關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點C連接BC.交拋物線的對稱軸于點。，根據(jù)等腰直角三角形的

判定定理找出V4BC為等腰直角三角形，由拋物線的對稱性結(jié)合點B的坐標(biāo)即可得出點C的坐標(biāo).

【詳解】（1）解：???將拋物線y=一向右平移個單位得到新拋物線，

???新拋物線的解析式為），=（x-a）:，

，新拋物線的頂點為（凡0），

?，?OA-a,

當(dāng)x=0時，y=a2,

???點4的坐標(biāo)為（0,6）,即08=/,

,:VAO6為等腰直角三角形，

：.OA=OB,

=/,解得:4=1或0（舍去）,

的值為1;

（2）解：存在，理由如下：

如圖，作點8關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點C,連接BC,交拋物線的對稱軸于點Q,則N8D4=NCD4=90。,

Z（MD=90°,/BAD=/CAD,

工^OAB=45°,

AZaW=ZC4Z）=45°,

AACD.△AHO為等腰直角三角形，

??.ZA^C=ZACB=45°,

???Z/MC=90°,

:.VA8C是等腰直角三角形，

由（1）得點8的坐標(biāo)為（0,1）,龍稱軸為直線x=l,

???點C的坐標(biāo)為（2J）,

故在圖中的拋物線上存在點C,使VA8C為等腰直角三角形，點。的坐標(biāo)為（2,1）.

【變式3-2]如圖，已知拋物線y=a/+]r+4的對稱軸是直線x=3,與x軸相交于A,6兩點（點4在點

A的右側(cè)），與V軸交于點C.

（1）求線段/18的長：

（2）若點M是拋物線上8,。兩點之間的一個動點（不與點8,C重合），設(shè)點M的橫坐標(biāo)為相，過點歷作

M/V〃y軸，交直線8c于點N.

（i）當(dāng)線段MN的長有最大值時，求點M的坐標(biāo)；

（ii）過點M作。M_LMN交拋物線于點。，是否存在點M使.OMN為等腰直角三角形？若存在，求出加

的值；若不存在，說明理由.

【答案】（1）10

（2）（i）（4,6）；（ii）26或8-2曲.

【分析】本題為二次函數(shù)綜合運用題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì).

（1）由待定系數(shù)法求出拋物線表達(dá)式，進(jìn)而求解；

（2）（I）由題意知點用的坐標(biāo)為（九-；疝+/〃+4，點N的坐標(biāo)為卜?+4,即可求解；

（II）由NDWN=90。得到當(dāng)=時，aOMN為等腰直角三角形，再根據(jù)點M在對稱軸右側(cè)或左側(cè)

分恃況討論，分別畫出圖形求解即可.

【詳解】（1）解：??,拋物線的對稱軸是直線工=3,

3

.?「2=3，

2a

解得。=-!，

4

拋物線的解析式為y=-41x2+79+4.

42

13

2

令）=0,f#~x+1,r+4=0,解得再=-2,X2=8,

二.A（—2,0）,8（8,0）,

/.A8=8-(-2)=10；

i3

（2）解：（i）由（1）知拋物線的解析式為），=-712+1工+4

I3

令x=0,y=--x2+-x+4=4,

/.C(0,4).

設(shè)直線BC的解析式為y二丘+匕小工0）,

將8（8,0）,C（0,4）代入，得

k=~-

解得2,

b=4

???直線BC的解析式為y=-gx+4,

由題意知點M的坐標(biāo)為‘〃，-+點N的坐標(biāo)為,幾一5加+4）

2

1，6

二.AIN=-■-w2+-m+4-\一■-z?2+4——m~+2m=一：(,“_4y+4,

42I24

當(dāng)6=4時，線段MN的長有最大值,

止匕時一+—/zz+4=-—x42+—x4+4=6,

4242

.??點M的坐標(biāo)為（4,6）；

(ii)DM工MN,

:.NDMN=%)°,

即當(dāng)ZW=MN時，.為等腰宜角三角形.

①如圖1,點用在對稱軸右側(cè).

DM工MN,MN〃y軸,拋物線的對稱軸是直線x=3，點加的橫坐標(biāo)為機，

:.DM=2(m-3).

由（i）知MN=-J機2+2機，

4

/.2(m-3)=+2m,

解得〃1=2指或加=—26（不合題意，舍去）,

/.m=2瓜

②如圖2,點M在對稱軸左側(cè).

DM工MN,MN〃丁軸,拋物線的對稱軸是直線文=3，點加的橫坐標(biāo)為加,

:.DM=2（3-ni）.

由（i）知MN=—nr+2m,

4

2（3-m）=+2m,

解得/〃=8-2函或，〃=8+2布（不合題意，舍去）,

/.//'=8—2\/10?

二存在，帆的值為2遙或8-2加.

壓軸專練

一、解答題

1.如圖，已知拋物線），=-1+灰+。的圖像與x軸相交于人（一3,0）、8（1,0）兩點，頂點為C,對稱軸與x軸

交千點M,點。在線段CM上（不與C、M重合），過點。作x勃的平行線交對稱軸左側(cè)的拋物線于點E.

（1）求拋物線的解析式及頂點C的坐標(biāo)：

（2）若CEM是以CM為底的等腰三角形，直接寫出點E的坐標(biāo).

【答案】⑴y=*-2x+3；（-1,4）

⑵網(wǎng)-1-五2）

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握二次函數(shù)的性質(zhì).

（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=T,得出M（-LO）,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出6="。，從而得出

。（一1,2）,把y=2代入），=-f-2-3得：2=—f—2X+3,求出x=—1+應(yīng)或％=-1一及，即可得出點￡

的坐標(biāo).

【詳解】（1）解：???拋物線經(jīng)過點A和點B,

*-9-3Z>+c=0

?,-l+Z?+c=O

b=-2

解得:

c=3'

，拋物線的表達(dá)式為：尸r2-2*+3,

"i/=----亡=-1時，3,=-（-1）--2x（-］）+3=4,

???頂點C的坐標(biāo)為（一1,4）；

（2）解：???拋物線的對稱軸為直線x=T,

.?.M（TO）,

???ED〃x軸，

，ED工CM,

??二CEM是以CM為底的等腰三角形，

CD=MD,

???D（T,2）,

把y=2代入），=-丁-2才+3得：2=-x2-2x+3,

解得：工=-1+J2或x=-l-\/2,

???點E在拋物線對稱軸的左側(cè)，

:.￡（-1-72,2）.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系工。￥中，拋物線y=-Y+法+2經(jīng)過點A（2,0）

?x

（1）求拋物線解析式；

（2）若點P（〃?,〃）為拋物線A8部分上一動點（可與A,H兩點重合），過點。作9_1_工軸交直線AB于點M,

交X軸于點N.連接OW,當(dāng)J。8M為等腰三角形時，直接寫出機的值.

【答案】(1)丁=*+1+2

(2)fn=1或〃】=&或機=2

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)先求出直線48的解析式為》=一1+2,8(0,2),由兩點之間距離公式求得。夕、BM?、OM2,然后

分情況討論等腰三角形的腰相等并分別計算即可.

【詳解】(1)解：???拋物線經(jīng)過點4(2,0),

???將點A(2,0)代入,得0—+勸+2,解得8=1,

拋物線的解析式為y=-x2+x+2-.

(2)解：設(shè)直線48的解析式為y="+2,

》等點4(2,0/弋入，得0=2%+2,

解得A=—I?

???直線AB的解析式為)，=-X+2.

??,點M在直線上，且點Pgn),

:.點M的坐標(biāo)為(〃?,一機+2).

將％二()代入y=+x+2,則y=2,

???8(0,2),

：?OB=2,

???BM2=(0『+(-m+2-2『=2m2,

OM2=nf+(-/n+2)2=2nr-4m+4.

當(dāng)cO8W為等腰三角形時，

(i)若BM=OM,貝1」4河2=0“，

即Im2=2m~-4m+4?解得m=1.

(ii)若BM=O8,則8A/2=O82,

即2tn2=4，解得m=0或m=-\/2(舍去).

(iii)若OM=O3,則OA/2=OB2,

即2?一4〃?+4=4,解得，〃=2或機=0(舍去).

綜上所述，/〃=1或m=應(yīng)或〃?=2.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點之間距離公式、等腰三角形的性質(zhì)、

解一元二次方程等知識，解題的美鍵是靈活運用相關(guān)知識綜合解決問題.

3.如圖，拋物線)，=a/+bx+5與x軸交于A,B兩點,與丁軸交于點C,AB=4.拋物線的對稱軸x=3與

經(jīng)過點A的直線丁=丘-1交于點。，與x軸交于點E

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(2)若在拋物線上存在點使得AADM,是以A。為直角邊的直角三角形，求出所有點M的坐標(biāo)

【答案】⑴>-6x+5

(2)(4,-3)或(0,5)或(5,0)

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解方程組，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)

知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意求出A(l,0),8(5,0),用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可

(2)先求出直線A。的解析式y(tǒng)=x-l,分兩種情況討論當(dāng)ND4M=90。時，當(dāng)乙">M=90。時，分別求出

點M的坐標(biāo)即可.

【詳解】(1)解：拋物線的對稱軸尤=3,A8=4,

.?.4(1,0),3(5,0)，

a+b+5=0

將A(l,0),8(5,0)代入y=ar+bx+5得<

25a+5b+5=0

a=1

解得

b=-6

?.?拋物線的表達(dá)式為y=f—6x+5；

(2)解：將4(1,0)代入丫=履一1得〃一1=0,

;.k=T,

.??直線4。的解析式為

,,拋物線對稱軸x=3與％軸交于點￡,

一.當(dāng)x=3時，y=x-1=3-1=2,

0(3,2),

設(shè)例(X,)，)，則AQ2=(3_1)2+22=8,AM2=(X-I)2+/,DA/2=(x-3)2+(y-2)\

當(dāng)NZMM=90。時，由AZ^+AM'O”，

8+(x-l)2+y2=(x-3)2+(y-2)2,

HPy=-x+\,

=31x=\x=4

解方程組1得"或，

=x2-6x+5)'=-3

???點M的坐標(biāo)為(4,-3)；

當(dāng)乙4￡＞用=90。時，AD~+DM2=AM2^

/.8+(x-3)2+(y-2)2=(x-1)2+/,

即V=-JV+5,

y=-x+5(x=5x=0

解方程組’，人〈得，?；颉矗?

y=x-6x+5(y=0[y=5

???點”的坐標(biāo)為(0,5)或(5,0),

綜上所述，點M的坐標(biāo)為(4,-3)或(0,5)或(5,0).

4.如圖1,拋物線)，=以2+〃x—3經(jīng)過點A(-3,0)和點8(1,0),與丁軸交于點C,P是拋物線上一動點.

⑴求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(39、

(2)當(dāng)點P的坐標(biāo)為時，求的面積.

(3)如圖2,連接BC,當(dāng)△08c是以8c為直角邊的直角三角形時，求點尸的坐標(biāo).

【答案】⑴y=f+2x-3；

81

⑵…5^=—;

cO

,人，一_、，(1013)「強720人

⑶W的坐標(biāo)為(一不，引或跟二-y±.

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求函數(shù)解析式，三角形面積公式等知識，掌握相關(guān)知識是解

題的關(guān)鍵.

(1)直接利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)求出直線R1的解析式，得到GC的長，再利用三角形面積公式即可求解：

(3)分兩種情況：①點8為直角頂點，②點C為直角頂點，分別求解即可.

【詳解】(1)解：把點A(-3,0)和點8(1,0)代入)，=爾+公-3,得：

9J-3Z?-3=0

a+Z?-3=0'

4=1

解得：%、，

h=2

???拋物線的表達(dá)式為：y=/+2x-3；

(2)解：設(shè)附交)，軸于點G,如圖：

當(dāng)x=0時，產(chǎn)-3,

???C（0,-3）,

,0C=3,

設(shè)直線Q4的解析式為：y=kx+ht

把A（TU）,嗚制代人得：

-3k+b=0

。,9，

—k+b=~

[24

k=-

解得：:，

b=-

2

???直線24的解析式為：）'=白+|,

3

當(dāng)x=0時，y=p

3

??.0G=-,

2

39

二GC=OG+OC=-+3=-,

22

???csPAC_=cS+「S=-GCOA+-GCx_=1-x-9x3_+1-x-9x-3_=8—i；

CACPGC22p22Z2zo

（3）解：???△P8C是以BC為直角邊的直角三角形，

???分兩種情況：①點3為直角頂點，②點C為直角頂點，

①過點B作BRJLBC交拋物線于點耳，交》軸于點E，連接RC,如圖:

??,BR工BC,

：.NCSE=90°,

'：ZBOE=ZCOB=90°,

/.^EBO+ZBEO=ZEBO+ZCBO=90°,

：?￡BE0=4CB0,

:.BEO^CBO,

.OEOB....OE1

..=,111J=-,

OBOC13

OE=—

設(shè)直線BE的解析式為：y=kx+b,

把8(1,0),40,，代入得：

A+8=0

b=g，

k=--

解得：，

b=-

3

；?直線的的解析式為：)'=-9-：，

y=x2+2x-3

聯(lián)立得:11，

y=——x+—

3x=1

解得：12或A（舍去），

、一”丁=0

②過點C作交拋物線于點鳥，連接鳥B,如圖:

設(shè)直線Cg的解析式為：y=-Lx+ht

把點。（0,-3）代入得：b=-3,

???直線。鳥的解析式為：y=~x-3,

[y=x2+2x-3

聯(lián)立得：\1.，

卜=一『3

7

X=~3[x=0

解得：：八或a（舍去），

20y=-3

V=-----i

I-9

回?fù)舭?/p>

…-,X-.1（1013〉,/720、

綜上，點P的必標(biāo)為?一~—或|一示一方?

5.綜合與探究

如圖，拋物線y=f-3x-4.與x軸交于A,8兩點（點A在點3的左側(cè)），與y軸交于點C,連接BC.若點

P在線段BC上運動（點尸不與點B,C重合），過點尸作x軸的垂線，交拋物線于點E,交x軸于點尸.設(shè)

點、P的橫坐標(biāo)為m.

yk

備用圖

(1)求點4,B,C的坐標(biāo)，并直接寫出直線8C的函數(shù)解析式.

(2)在點P的運動過程中，是否存在相使得△CPE為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出，〃的值：若不存

在，請說明理由.

【答案】⑴A(-l,。),4(4,U),C(0,-4),y=x-4

⑵存在，腳的值為3或2

【分析】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求一次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的

性質(zhì)等知識：

(1)令丁=0,求出x的值，得點A,3的坐標(biāo)，令x=(),得y的值，可得點C坐標(biāo)，再設(shè)直線的解析式為

y=kx-4t把8(4,0)代入并求出k的值即可；

(2)分NPCE=90。和NCEP=90。兩種情況利用勾股定理列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)1=0時,X2-3X-4=0,

解得x=4或x=-1,

/.A(-l,0),8(4,0),

當(dāng)x=0時，y=-4,

???C(O,-4),

設(shè)直線BC的解析式為y="-4,

將點8(4,0)代入可得軟-4=0,

解得：k=l,

???直線BC的解析式為y=x-4：

（2）解：存在，〃使得△CPE為等腰直角三角形，理由如卜:

■:點、P的橫坐標(biāo)為m,且0<"?<4,

:.點、P的坐標(biāo)為(〃Z,〃L4),

F(0),E(m,nr-3/n-4),

:.PE'=[〃?一4一-3772-4)=(-7722+4/7?),

CE~=[-4一(M—3m-4)]+(加一0)~=(3〃?-in1)+m~,

PC'=(〃L0)~+1=2m'；

?：OB=OC=4,408=90°,

???/OBP=/OCP=45°,

，“PE=45。；

當(dāng)/PCE=90。時，則NPEC=NCPE=45。，

???PC=CE,