山西西安博愛國際學校2026屆高三上數學期末綜合測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．2．已知，滿足約束條件，則的最大值為A． B． C． D．3．設M是邊BC上任意一點，N為AM的中點，若，則的值為()A．1 B． C． D．4．如圖，四面體中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小為，若四面體的頂點都在球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．5．已知F是雙曲線（k為常數）的一個焦點，則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．26．已知平面向量，，，則實數x的值等于（）A．6 B．1 C． D．7．已知全集，則集合的子集個數為（）A． B． C． D．8．若（），，則（）A．0或2 B．0 C．1或2 D．19．從裝有除顏色外完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取5次，設摸得白球數為，已知，則A． B． C． D．10．已知復數是正實數，則實數的值為()A． B． C． D．11．設，，分別是中，，所對邊的邊長，則直線與的位置關系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直12．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象上所有點的（）A．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位長度B．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位長度C．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度D．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．己知函數，若關于的不等式對任意的恒成立，則實數的取值范圍是______.14．古代“五行”學認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”將五種不同屬性的物質任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質不相鄰，則這樣的排列方法有_________種.(用數字作答)15．在中，角的平分線交于，，，則面積的最大值為__________．16．正四棱柱中，，.若是側面內的動點，且，則與平面所成角的正切值的最大值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為(為參數)．在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓的方程為.(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程；(2)若點坐標為，圓與直線交于兩點，求的值．18．（12分）已知函數（1）若恒成立，求實數的取值范圍；（2）若方程有兩個不同實根，，證明：．19．（12分）2018年9月，臺風“山竹”在我國多個省市登陸，造成直接經濟損失達52億元.某青年志愿者組織調查了某地區(qū)的50個農戶在該次臺風中造成的直接經濟損失，將收集的數據分成五組：，，，，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試根據頻率分布直方圖估計該地區(qū)每個農戶的平均損失（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）臺風后該青年志愿者與當地政府向社會發(fā)出倡議，為該地區(qū)的農戶捐款幫扶，現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000元的農戶中隨機抽取2戶進行重點幫扶，設抽出損失超過8000元的農戶數為，求的分布列和數學期望.20．（12分）某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數x與燒開一壺水所用時間y的一組數據，且作了一定的數據處理（如表），得到了散點圖（如圖）.表中，.（1）根據散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數x的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據判斷結果和表中數據，建立y關于x的回歸方程；（3）若旋轉的弧度數x與單位時間內煤氣輸出量t成正比，那么x為多少時，燒開一壺水最省煤氣？附：對于一組數據，，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.21．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面，為的中點.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.22．（10分）已知數列中，a1=1，其前n項和為，且滿足．（1）求數列的通項公式；（2）記，若數列為遞增數列，求λ的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得，,繞AB所在直線旋轉一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,圓錐的側面展開圖是扇形根據扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據“斜二測畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選:【點睛】本題考查斜二測畫法的應用及組合體的表面積求法,難度較易.2、D【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，利用數形結合即可得到結論．【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，等價于，作直線，向上平移，易知當直線經過點時最大，所以，故選D．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．3、B【解析】

設，通過，再利用向量的加減運算可得，結合條件即可得解.【詳解】設，則有.又，所以，有.故選B.【點睛】本題考查了向量共線及向量運算知識，利用向量共線及向量運算知識，用基底向量向量來表示所求向量，利用平面向量表示法唯一來解決問題.4、B【解析】

分別取、的中點、，連接、、，利用二面角的定義轉化二面角的平面角為，然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，在中計算出，再利用勾股定理計算出，即可得出球的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案．【詳解】如下圖所示，分別取、的中點、，連接、、，由于是以為直角等腰直角三角形，為的中點，，，且、分別為、的中點，所以，，所以，，所以二面角的平面角為，，則，且，所以，，，是以為直角的等腰直角三角形，所以，的外心為點，同理可知，的外心為點，分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，則點在平面內，如下圖所示，由圖形可知，，在中，，，所以，，所以，球的半徑為，因此，球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關鍵在于找出球心的位置，同時考查了計算能力，屬于中等題．5、D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標準形式,進而根據雙曲線的性質求解即可.【詳解】當時,等式不是雙曲線的方程；當時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【點睛】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎題.6、A【解析】

根據向量平行的坐標表示即可求解.【詳解】，，，，即，故選：A【點睛】本題主要考查了向量平行的坐標運算，屬于容易題.7、C【解析】

先求B.再求，求得則子集個數可求【詳解】由題=,則集合,故其子集個數為故選C【點睛】此題考查了交、并、補集的混合運算及子集個數，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵，是基礎題8、A【解析】

利用復數的模的運算列方程，解方程求得的值.【詳解】由于（），，所以，解得或.故選：A【點睛】本小題主要考查復數模的運算，屬于基礎題.9、B【解析】

由題意知，，由，知，由此能求出．【詳解】由題意知，，，解得，，．故選：B．【點睛】本題考查離散型隨機變量的方差的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意二項分布的靈活運用．10、C【解析】

將復數化成標準形式，由題意可得實部大于零，虛部等于零，即可得到答案.【詳解】因為為正實數，所以且，解得.故選：C【點睛】本題考查復數的基本定義，屬基礎題.11、C【解析】試題分析：由已知直線的斜率為，直線的斜率為，又由正弦定理得，故，兩直線垂直考點：直線與直線的位置關系12、C【解析】

根據三角函數圖像的變換與參數之間的關系，即可容易求得.【詳解】為得到，將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），故可得；再將向左平移個單位長度，故可得.故選：C.【點睛】本題考查三角函數圖像的平移，涉及誘導公式的使用，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先判斷出函數為定義在上的奇函數，且在定義域上單調遞增，由此不等式對任意的恒成立，可轉化為在上恒成立，進而建立不等式組，解出即可得到答案．【詳解】解：函數的定義域為，且，函數為奇函數，當時，函數，顯然此時函數為增函數，函數為定義在上的增函數，不等式即為，在上恒成立，，解得．故答案為．【點睛】本題考查函數單調性及奇偶性的綜合運用，考查不等式的恒成立問題，屬于常規(guī)題目．14、1．【解析】試題分析：由題意，可看作五個位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設排上的是金，則第二步只能從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故總的排列方法種數有5×2×1×1×1=1．考點：排列、組合及簡單計數問題．點評：本題考查排列排列組合及簡單計數問題，解答本題關鍵是理解題設中的限制條件及“五行”學說的背景，利用分步原理正確計數，本題較抽象，計數時要考慮周詳．15、15【解析】

由角平分線定理得,利用余弦定理和三角形面積公式，借助三角恒等變化求出面積的最大值.【詳解】畫出圖形：因為，，由角平分線定理得,設，則由余弦定理得：即當且僅當，即時取等號所以面積的最大值為15故答案為：15【點睛】此題考查解三角形面積的最值問題，通過三角恒等變形后利用均值不等式處理，屬于一般性題目.16、2.【解析】

如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設點，由得，證明為與平面所成角，令，用三角函數表示出，求解三角函數的最大值得到結果.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設點，則，，又，得即；又平面，為與平面所成角，令，當時，最大，即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為：2【點睛】本題主要考查了立體幾何中的動點問題，考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題，一般是建立空間直角坐標，在動點坐標內引入參數，將最值問題轉化為函數的最值問題求解，考查了學生的運算求解能力和直觀想象能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】試題分析：（1）由加減消元得直線的普通方程,由得圓的直角坐標方程；（2）把直線l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，由直線參數方程幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根據韋達定理可得結果試題解析：解：（Ⅰ）由得直線l的普通方程為x+y﹣3﹣=0又由得ρ2=2ρsinθ，化為直角坐標方程為x2+（y﹣）2=5；（Ⅱ）把直線l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0設t1，t2是上述方程的兩實數根，所以t1+t2=3又直線l過點P，A、B兩點對應的參數分別為t1，t2，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．18、（1）（2）詳見解析【解析】

（1）將原不等式轉化為，構造函數，求得的最大值即可；

（2）首先通過求導判斷的單調區(qū)間，考查兩根的取值范圍，再構造函數，將問題轉化為證明，探究在區(qū)間內的最大值即可得證．【詳解】解：（1）由，即，即，令，則只需，，令，得，在上單調遞增，在上單調遞減，，的取值范圍是；（2）證明：不妨設，當時，單調遞增，當時，單調遞減，，當時，，，要證，即證，由在上單調遞增，只需證明，由，只需證明，令，，只需證明，易知，由，故，，從而在上單調遞增，由，故當時，，故，證畢．【點睛】本題考查利用導數研究函數單調性，最值等，關鍵是要對問題進行轉化，比如把恒成立問題轉化為最值問題，把根的個數問題轉化為圖像的交點個數，進而轉化為證明不等式的問題，屬難題．19、（1）3360元；（2）見解析【解析】

（1）根據頻率分布直方圖計算每個農戶的平均損失；（2）根據頻率分布直方圖計算隨機變量X的可能取值，再求X的分布列和數學期望值．【詳解】（1）記每個農戶的平均損失為元，則；（2）由頻率分布直方圖，可得損失超過1000元的農戶共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（戶），損失超過8000元的農戶共有0.00003×2000×50＝3（戶），隨機抽取2戶，則X的可能取值為0，1，2；計算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列為；X012P數學期望為E（X）＝0×+1×+2×＝．【點睛】本題考查了頻率分布直方圖與離散型隨機變量的分布列與數學期望計算問題，屬于中檔題．20、（1）更適宜（2）（3）x為2時，燒開一壺水最省煤氣【解析】

（1）根據散點圖是否按直線型分布作答；（2）根據回歸系數公式得出y關于的線性回歸方程，再得出y關于x的回歸方程；（3）利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件.【詳解】（1）更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數x的回歸方程類型.（2）由公式可得：，，所以所求回歸方程為.（3）設，則煤氣用量，當