第6講拋體運(yùn)動(dòng)模型

林圜最囪

【模型一平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律】

類(lèi)型1:平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律及重要結(jié)論

類(lèi)型2：類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)

類(lèi)型3：多體平拋問(wèn)題及相遇與臨界問(wèn)題

【模型二有約束的平拋模型】

類(lèi)型1：斜面類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)模型

類(lèi)型2：豎直面及水平面約束下的平拋模型

類(lèi)型3：半圓形約束下的平拋模型

【模型三斜拋運(yùn)動(dòng)】

詢莫型;翁建

將物體以一定的初速度沿與豎直方向成一定角度的方向拋出，物體只在重力作用下的運(yùn)動(dòng),稱為拋

體運(yùn)動(dòng)模型。拋體運(yùn)動(dòng)模型可有效考查勻速與勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律、矢量的運(yùn)算以及動(dòng)能勢(shì)能、機(jī)

械能等能量問(wèn)題，也可通過(guò)與障礙物的結(jié)合形成臨界極值問(wèn)題來(lái)考查分析推理等能力，是物理學(xué)中的一

個(gè)基礎(chǔ)性的模型，多年來(lái)一直是高考中一個(gè)常考模型。

【模型一平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律】

類(lèi)型L平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律及重要結(jié)論

定義以一定的初速度沿水平方向拋出的物體只在重力作用下的運(yùn)動(dòng)。

性質(zhì)平拋運(yùn)動(dòng)是加速度為g的勻加速曲線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線。

平抽運(yùn)動(dòng)

(1)v#0,沿水平方向；(2)只受重力作用。

的條件

研究方法平拋運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)。

以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)，水立方向(初速度如方向)為X軸，豎直向下方向?yàn)?，軸，建立平面直角坐

標(biāo)系，則：

ZJ______B_

基本規(guī)律

水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度以=1，0，位移

豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，運(yùn)度b=gr,位移尸上尸

2

合速度v=^/v?+vy,方向與水平方向夾角為a,則tana=￡d

合位移s=.f十.,方向與水平方向的夾角為"tan6=：=券

(1)飛行時(shí)間：由尸、舊知，時(shí)間取決于下落高度力，與初速度用無(wú)關(guān)。

(2)水平射程：僧，即水平射程由初速度小和下落高度〃共同決定，與其他因素

無(wú)關(guān)。

(3)落地速度：i，=、￡+W=qv§+2g力，以a表示落地速度與x軸正方向間的夾角，有l(wèi)ana=

匕=4翦，所以落地速度只與初速度四和下落高度力有關(guān)。

VrVO

(4)平拋物體運(yùn)動(dòng)中的速度變化：水平方向分速度深持義產(chǎn)物，豎直方向，加速度恒為速度

重要結(jié)論

”尸⑶,從拋出點(diǎn)看，每隔加時(shí)間的速度的矢量關(guān)系如圖所示。這一矢量關(guān)系有兩個(gè)特點(diǎn)：

r|\viAp

①任意時(shí)刻V的速度水平分量均等于初速度V0：

②任意相等時(shí)間間隔4內(nèi)的速度改變量均豎直向下，且△V=AUy招加。

(1)做平拋(或類(lèi)平拋)運(yùn)動(dòng)的物體任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線一定通過(guò)此時(shí)水平位移

兩個(gè)推論

的中點(diǎn)，如下圖所示。

0JB

（2）做平拋（或類(lèi)平拋）運(yùn)動(dòng)的物體在任一時(shí)刻，設(shè)其速度方向與水平方向的夾用為a,位移

與水平方向的夾角為仇貝ijlana=2lan。。。

平拋運(yùn)動(dòng)的分解方法與技巧

---------------、?？迹貉剀壍阑蚱淝芯€方向入射

則用基本公式----------------------------—―

SL：x=①/分解速度

y=:g產(chǎn)②已知速度《聯(lián)立：%①

二“痣無(wú)思路!?或其夾角6%=gt②

，產(chǎn)gtA）求解J拋運(yùn);tanO=也③求解

------------#題思路._______________:

推論法已知位移分解位移

或其夾角即：%=%t①

-①速度-反向延長(zhǎng)線過(guò)位移中點(diǎn)y=；渭②

?tana=2tanG4

【典例1】（2025?浙江?高考真題）如圖所示，在水平桌面I：放置?斜面，在桌邊水平放置一塊高度可調(diào)的木

板。讓鋼球從斜面上同一位置靜止?jié)L卜，越過(guò)桌邊后做平拋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)木板離臬面的豎直距離為力時(shí)，鋼球

x,則（）

復(fù)寫(xiě)紙

A.鋼球平拋初速度為x%B.鋼球在空中飛吁時(shí)間為戶

vg7g

C.增大爪鋼球撞擊木板的速度方向不變D.減小從鋼球落點(diǎn)離桌邊的水平距離不變

AB.根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知，鋼球在空中飛行時(shí)間為片號(hào)

鋼球平拋初速度為均=尸式器，A錯(cuò)誤，B正確；

C.鋼球撞擊木板時(shí)速度方向與水平方向的夾角滿足tan%^=^

voi'o

可知，增大/?,鋼球撞擊木板的速度方向與水平方向的夾角變大，C錯(cuò)誤；

D.根據(jù)尸可知，減小山鋼球落點(diǎn)離桌邊的水平距離X減小，D錯(cuò)誤。

【變式1-1］（2024?海南?高考真題）在跨越河流表演中，一人騎車(chē)以25m/s的速度水平?jīng)_出平臺(tái)，恰好跨過(guò)

河流落在河對(duì)岸平臺(tái)上，已知河流寬度25m,不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s2,則兩平臺(tái)的高度差〃為（）

A.0.5mB.5mC.10mD.20m

【變式1-2］（2024.浙江.高考真題）如圖所示，小明取山泉水時(shí)發(fā)現(xiàn)水平細(xì)水管到水平地面的距離為水桶高

的兩倍，在地面上平移水桶，水恰好從桶口中心無(wú)阻擋地落到桶底邊沿4。已知桶高為爪直徑為。，則水

離開(kāi)出水口的速度大小為（）

A-B.幕

C.呼器D.@1）嘯

【變式?3］（2024.北京.高考真題）如圖所示，水平放置的排水管滿口排水，管口的橫截面積為S,管口離

水池水面的高度為力，水在水池中的落點(diǎn)與管□的水平距離為乩假定水在空中做平拋運(yùn)動(dòng)，已知重力加速

度為g，力遠(yuǎn)大于管口內(nèi)徑。求：

（1）水從管口到水面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間f；

（2）水從管口排出時(shí)的速度大小、，0：

（3）管口單位時(shí)間內(nèi)流出水的體積Q。

類(lèi)型2：類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)

有些物體的運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)很相似，也是在與初速度方向垂直的恒定外力作用下運(yùn)動(dòng)，其軌

模型概述

跡與平拋運(yùn)動(dòng)相似，我們把這種運(yùn)動(dòng)稱為類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，這樣的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)稱作“類(lèi)平拋”模型。

類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)（I）受力特點(diǎn)：物體所受合力為恒力，且與初速度的方向垂直。

的特點(diǎn)（2）運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：在初速度vo方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在合力方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)

動(dòng)，加速度

（1）常規(guī)分解法：將類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于初速度方向（即

沿合力方向）的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩分運(yùn)動(dòng)彼此獨(dú)立，互不影響，且與合運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性。

解題方法

（2）特殊分解法：對(duì)于有些問(wèn)題，可以過(guò)拋出點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將加速度分解為公、

初速度即分解為也、方，然后分別在x、y方向列方程求解。

【典例2】（2025?云南麗江?三模）如圖，傾角8=30。的斜面體放在水平面上，斜面4BCZ）為邊長(zhǎng)為力的正

方形，在斜面左上角A點(diǎn)沿4B方向水平拋出一個(gè)小球，小球做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)果恰好落在斜面體的右下角

C點(diǎn)。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，則小球水平拋出的初速度大小為（）

小球從A點(diǎn)開(kāi)始做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，沿斜面向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律推得加速度為

a=gsin〃

有L=；g?sin0

沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，位移

聯(lián)立解得血=年

【變式2-1］（2024.廣西.模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，一小球從空中某處以大小為打方向與豎直方向成60。斜向上

拋出，小球受到水平向右、大小為尸=學(xué)的水平風(fēng)力，若小球落地時(shí)速率為2〃重力加速度為g,則小球在

空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（）

A.FB.1C.學(xué)D.生

2gg2gg

【變式2-2]“風(fēng)洞”實(shí)驗(yàn)是飛行器研制工作中的重要過(guò)程。一質(zhì)量為〃?的小球在光滑的水平面上以初速度

山（沿x軸正方向）穿過(guò)一段風(fēng)帶，經(jīng)過(guò)風(fēng)帶時(shí)風(fēng)會(huì)給小球一個(gè)沿水平方向且與V。方向垂直（沿y軸正方向）

的恒力作用，風(fēng)帶在0人/區(qū)域，其他區(qū)域無(wú)風(fēng)。小球穿過(guò)風(fēng)帶過(guò)程的運(yùn)動(dòng)軌跡及穿過(guò)風(fēng)帶后的速度方向如

圖所示，已知小球在穿過(guò)風(fēng)帶過(guò)程中沿），軸正方向運(yùn)動(dòng)的位移為g下列說(shuō)法正確的是（）

B.小球穿過(guò)風(fēng)帶過(guò)程中的加速度大小為。

C.小球穿過(guò)風(fēng)帶時(shí)所受合力的大小為苧

D.小球穿過(guò)風(fēng)帶后的速度大小為2%

【變式2-3]如圖所示，一物體在某液體中運(yùn)動(dòng)時(shí)只受到重力G和恒定的浮力廠的作用，且G|G。如果物

體從M點(diǎn)以水平初速度均開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，最后落在N點(diǎn)，間的豎直高度為/?,”與右壁水平間距為L(zhǎng),重力

A.從M運(yùn)動(dòng)到N的時(shí)間為出

B.”與N之間的水平距離”作

C.若增大初速度看,物體將撞擊右壁，且初速度越大，物體撞擊壁速度越大

D.若力足夠大，當(dāng)初速度”=靜時(shí)，物體撞擊壁時(shí)速度最小

類(lèi)型3：多體平拋問(wèn)題及相遇與臨界問(wèn)題

1.定義：多體平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是指多個(gè)物體在同一豎直平面內(nèi)平拋時(shí)涉及的問(wèn)題。

2.三類(lèi)常見(jiàn)的多體平拋運(yùn)動(dòng)

三類(lèi)常見(jiàn)多體平拋

________________________A_________

同一高度（或同一點(diǎn)）||不同高度同時(shí)研同一點(diǎn)先后拋出

同時(shí)拋出

1

始終處于同一高度高度差始終與原來(lái)一致高度差隨時(shí)間均勻增大

［兩間］（兩間］（兩間］

I者距JI者距JI者［距J

取決于水平分運(yùn)動(dòng)取決于水平分運(yùn)動(dòng)'取決于水平分運(yùn)動(dòng)

.和豎直高度差，、和豎直分運(yùn)動(dòng)

3.平拋運(yùn)動(dòng)中相遇問(wèn)題

拋體相遇問(wèn)題要比運(yùn)動(dòng)學(xué)中的追及相遇問(wèn)題復(fù)雜，因?yàn)樗辉偈且恢本€運(yùn)動(dòng)，通常是采用分解方法分

別對(duì)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方向獨(dú)立分析，再根據(jù)時(shí)間相等進(jìn)行解答。也可以巧取參考系，使問(wèn)題更加簡(jiǎn)單。

兩條平拋運(yùn)動(dòng)軌跡的相交處是兩物體的可能相遇處，兩物體要在此處相遇，必須同時(shí)到達(dá)此處。

4.平拋運(yùn)動(dòng)中的臨界問(wèn)題

（1）在體育運(yùn)動(dòng)中，像乒乓球、排球、網(wǎng)球等都有中間網(wǎng)及邊界問(wèn)題，要求球既能過(guò)網(wǎng)，又不出邊界，

某物理量（尤其是球速）往往要有一定的范圍限制，在這類(lèi)問(wèn)題口，確定臨界狀態(tài)，畫(huà)好臨界軌跡，是解決

問(wèn)版的關(guān)鍵點(diǎn).

（2）分析平拋運(yùn)動(dòng)中的臨界問(wèn)題時(shí)一股運(yùn)用極限分析的方法，即把要求的物理量設(shè)定為極大或極小，讓

臨界問(wèn)題突現(xiàn)出來(lái)，找到產(chǎn)生臨界的條件.

息睡崩靖

【典例3】（2025?江西?高考真題）如圖所示，人形機(jī)器人陪伴小孩玩接球游戲。機(jī)器人在高度為“的固定

點(diǎn)以速率%水平向右拋球，小孩以速率也水平向左勻速運(yùn)動(dòng)，接球時(shí)手掌離地面高度為人當(dāng)小孩與機(jī)器人

水平距離為/時(shí)，機(jī)器人將小球拋出。忽略空氣阻力，重力加速度為g。若小孩能接到球，則h為（)

若小孩能接到球，則有〃-h=；g/2,/=V1/+y2/

聯(lián)立解得片=/嬴?也

yl2（〃?h）

【變式3-1］（2022?廣東?高考真題）如圖所示，在豎直平面內(nèi)，截面為三角形的小積木懸掛在離地足夠高處,

一玩具槍的槍口與小積木上尸點(diǎn)等高且相距為L(zhǎng)當(dāng)玩具子彈以水平速度口從槍口向尸點(diǎn)射出時(shí)，小積木恰

好由靜止釋放，子彈從射出至擊中枳木所用時(shí)間為不計(jì)空氣阻力.下列關(guān)于子彈的說(shuō)法正確的是（〉

A.將擊中。點(diǎn)，，大于4B.將擊中P點(diǎn)，I等于L

VV

C.將擊中P點(diǎn)上方，，大于！D.將擊中P點(diǎn)下方，，等于自

VV

【變式3-2］（2017?江蘇?高考真題）如圖所示，A、B兩小球從相同高度同時(shí)水平拋出，經(jīng)過(guò)時(shí)間/在空中

相遇，若兩球的拋出速度都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則兩球從拋出到相遇經(jīng)過(guò)的時(shí)間為（）

AB

A.lB.當(dāng)C.：D.-

224

【變式3-3］（2025?湖北襄陽(yáng)?三模）如圖所示，將小球甲、乙先后水平拋出，小球甲、乙將會(huì)在空中的尸

點(diǎn)相遇，相遇時(shí)兩小球的速度方向相互垂直，已知小球甲的拋出點(diǎn)到水平地面的高度%比小球乙的拋出點(diǎn)到

水平地面的高度h2大，小球甲、乙的拋出點(diǎn)水平距離為L(zhǎng)=25m,小球甲、乙拋出時(shí)的速度大小均為％=l（）m/s。

取重力加速度大小g=10m/s2,不計(jì)空氣阻力，小球可看成質(zhì)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

日

-fO*、

P

A.小球甲、乙在相遇前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之和為1.25s

B.小球甲、乙在相遇時(shí)速度偏轉(zhuǎn)角相同

C.小球甲在相遇前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/|=0.5s

D.小球甲、乙拋出點(diǎn)的高度差A(yù)h=lg.75m

【模型二有約束的平拋模型】

類(lèi)型L斜面類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)模型

1.模型特點(diǎn)

平拋運(yùn)動(dòng)與斜面結(jié)合的問(wèn)題，一般是研究物體從斜面頂端平拋或者往斜面上拋的過(guò)程，解決這類(lèi)問(wèn)題

一般仍是在水平和豎直方向上分解。求解的關(guān)鍵在于深刻理解通過(guò)與斜面的關(guān)聯(lián)而給出的隱含條件。

2.模型分析

模型分類(lèi)解題思路方法總結(jié)

分解速度：

①分解速度；

至左打到斜1fi上尸

lg/,②在撞擊斜面的時(shí)刻，速度方向與水平方向的夾角與斜面的傾角互

八VoV0

的。二百誦余。

故一溫e

①分解位移；

②以不同的初速度拋出小球，只要落到斜面時(shí)速度的方向都平行或

者速度方向與斜面的夾角都相等；

③速度與斜面平行時(shí)，而離斜面最遠(yuǎn)，滿足以下四個(gè)特點(diǎn)：

Vgt

分解位移：A、由tan<9=』=工，即可求出距離斜面最遠(yuǎn)的時(shí)間。

打％

x=vor,

B、該時(shí)刻是全運(yùn)動(dòng)過(guò)程的中間時(shí)刻。

尸家，

C、該時(shí)刻之前與該時(shí)刻之后豎直方向上的位移之比為1:3。

而tan0=',D、利用分解加速度和分解速度即可以求出距離斜面的最遠(yuǎn)距離：

1

51一「si/。

聯(lián)立得尸2卜婀。

2g?2gcos。

S

以最小位移落在斜面

上，分解位移：以最小位移落在斜面上時(shí)，合位移與斜面垂直，此時(shí)合位移與豎直

tan^=-^-方向的夾角與斜面夾角相等。

12

理

分解運(yùn)動(dòng)：豎直方向上的位移等于斜面上下落的h和沿著斜面下降的

2

—gt=/?+v0/tan0y=vortan0。

)沿斜面軌道入射類(lèi)，分

解速度：沿軌道或者沿軌道的切線方向入射類(lèi)的模型一般是先分解速度。

gi=v0tan0

脛?lì)}11aB

【典例4]（2025?四川遂寧?一模）如圖所示，在一個(gè)傾角37。的長(zhǎng)斜面底端。點(diǎn)正上方h=1.7m的尸點(diǎn)處將一

小球以速度小水平拋出，恰好垂直擊中斜面上的。點(diǎn)，取sin37c=0.6,重力加速度的大小g^Om/s?。下列說(shuō)

法正確的是（）

A.小球的初速度h=4m/s

B.。點(diǎn)離。點(diǎn)的距離|QO|=1.2m

C.保持力不變，將小球以2收的速度水平拋出，則擊中斜面的位置到。點(diǎn)的距離等于2|。0|

D.若拋出點(diǎn)高度變?yōu)?〃，欲使小球仍能垂直擊中斜面，小球的初速度應(yīng)調(diào)整為近為

A.如圖甲所示

小球垂直擊中斜面時(shí)，速度的偏向角為53。，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的推論可知，速度偏向角的正切值

由53。=2匚旦=2口牛

Xum37。

可得尸於h=0.9m

因?yàn)閍后=L2m

小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間片，平=0.4s

初速度”=^=3m/s,故A錯(cuò)誤；

B.幾何關(guān)系可知|0O|=—、=L5m,故B錯(cuò)誤;

C.保持拋出點(diǎn)高度不變，初速度大小變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍?，如圖乙所示

若無(wú)斜面，則小球應(yīng)擊中。點(diǎn)，實(shí)際擊中點(diǎn)為軌跡與斜面的交點(diǎn)，顯然離底端。的距離小于2IQOI，故C錯(cuò)

誤；

D.若拋出點(diǎn)高度變?yōu)?/?,根據(jù)小球垂直擊中斜面的規(guī)律知y'=（x2h=L8m

根據(jù)A項(xiàng)的分析，可得x'=2.4m

小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間/=J呼=0.4gs

則小球平拋運(yùn)動(dòng)初速度%=，=3V5m/s=V^o，故D正確。

【變式4-1］（2025?安徽?模擬預(yù)測(cè)1種定點(diǎn)投拋的游戲可簡(jiǎn)化為如圖所示的模型，斜面AB的傾角為g37。，

A、8兩點(diǎn)分別是斜面的最底端和頂端，洞口處于斜面上的P點(diǎn)：0點(diǎn)在A點(diǎn)的正上方，A、B、0、P四點(diǎn)

在同一豎直面內(nèi)。第一次小球以3m/s的水平速度從。點(diǎn)拋出，正好落入洞中的P點(diǎn)，OP的連線正好與斜面

垂直；第二次小球以另一水平速度也從0點(diǎn)拋出，小球正好與斜面在Q點(diǎn)垂直相碰。不計(jì)空氣阻力，重力

加速度大小取^=10ni/s2,4137。=0.6.下列說(shuō)法正確的是（）

A.小球從。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間是0.4s

B.。點(diǎn)在P點(diǎn)的下方

C.第二次小球水平拋出的速度小于3m/s

D.O、A兩點(diǎn)的高度差為5m

【變式4-2］（2025?河南?二模）如圖所示，某運(yùn)動(dòng)員在跳臺(tái)滑雪比賽訓(xùn)練時(shí)，從跳臺(tái)邊緣距離斜面頂端一定

高度的。點(diǎn)以不同的速度水平滑出，一段時(shí)間后落到斜面上。忽略空氣阻力，下列說(shuō)法正確的是（）

A.運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度變化量與所用時(shí)間的比值不變

B.運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與初速度成正比

C.運(yùn)動(dòng)員落在斜面時(shí)的速度方向都相同

D.運(yùn)動(dòng)員落在斜面時(shí)的速度與滑出的速度成正比

【變式4-3］（多選）（2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）跳臺(tái)滑雪是一種勇敢者的滑雪運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)員穿專(zhuān)用滑雪板，

在滑雪道上獲得一定速度后從跳臺(tái)抬出，在空中￡行一段距離后著陸?，F(xiàn)有某運(yùn)動(dòng)員從跳臺(tái)〃處沿水平方

向飛出，在斜坡〃處著陸，如圖所示。測(cè)得,心間的距離為40m,斜坡與水平方向的夾角為30。，不計(jì)空氣

B.運(yùn)動(dòng)員從〃處開(kāi)始到在空中離坡面的最大距離時(shí)的飛行時(shí)間為is

C.運(yùn)動(dòng)員在空中離坡面的最大距離為

D.運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到離坡面最遠(yuǎn)處時(shí)的速度大小為20m/s

類(lèi)型2：豎直面及水平面約束下的平拋模型

本模型中的障礙主要是對(duì)水平或豎直位移形成限制，以及所能形成的臨界狀態(tài)情景。

甲乙

圖甲中豎直位移一定，對(duì)水平位移可形成最大值與最小值的限制;

圖乙中水平位移一定，使飛行時(shí)間受到初速度的限制；

圖丙中豎直隙礙高度一定，對(duì)越過(guò)障礙的初速度、拋出點(diǎn)的高度形成限制；

圖丁中對(duì)水平位移、豎直位移均可形成限制：速度較小時(shí)豎直位移一定，速度較大時(shí)水平位移一定。

速題S崩j

【典例5】（2024?浙江?三模）如圖所示，網(wǎng)球發(fā)球機(jī)在距離墻L處將網(wǎng)球以不同的水平速度射出打到豎直墻

上。已知墻上的。點(diǎn)與網(wǎng)球出射點(diǎn)等高，小8兩點(diǎn)分別為兩個(gè)擊中點(diǎn)，O力量反擊中八點(diǎn)的網(wǎng)球水平射出

時(shí)的速度為％，空氣阻力忽略不計(jì)，網(wǎng)球可看作質(zhì)點(diǎn)。下列說(shuō)法正確的是（）

A.擊中B點(diǎn)的網(wǎng)球水平射出時(shí)的速度為2%

B.擊中4點(diǎn)的網(wǎng)球水平射出時(shí)的速度為口，0

C.要使原來(lái)?yè)糁蠥點(diǎn)的網(wǎng)球能擊中8點(diǎn)，網(wǎng)球發(fā)球機(jī)應(yīng)沿OP方向后退￡心

D.要使原來(lái)?yè)糁?點(diǎn)的網(wǎng)球能擊中人點(diǎn)，網(wǎng)球發(fā)球機(jī)應(yīng)沿0P方向前進(jìn)（l-W）L

AB.網(wǎng)球在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)

為=濟(jì)匕

y舄g玲

因04=48,所以

力=戊。

又

得擊中4點(diǎn)的網(wǎng)球水平射出時(shí)的速度為

V2

'>=YVO

AB錯(cuò)誤；

C.要使原來(lái)?yè)糁蠥點(diǎn)的網(wǎng)球能擊中B點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間變長(zhǎng)為原來(lái)的加倍，所以水平距離也應(yīng)變?yōu)榧颖?，?/p>

網(wǎng)球發(fā)球機(jī)應(yīng)向后退（a-1）乙C錯(cuò)誤；

D.要使原來(lái)?yè)糁?點(diǎn)的網(wǎng)球能擊中A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間變短為原來(lái)的手倍，所以水平距離也應(yīng)變?yōu)槿毡?，即網(wǎng)

球發(fā)球機(jī)應(yīng)向前進(jìn)（1-E）乙故D正確。

【變式5-1］（2025?河北滄州?二模）在巴黎奧運(yùn)會(huì)網(wǎng)球女子單打決賽中，中國(guó)選手鄭欽文奪得金牌，創(chuàng)造了

新的歷史。如圖所示，某次在網(wǎng)前截?fù)糁?，若鄭欽文在球網(wǎng)正上方距地面h處的m點(diǎn)將球沿垂直球網(wǎng)的方向

擊出，球剛好落在底線上N點(diǎn)。已知底線到網(wǎng)的水平距離為s,重力加速度大小為g,不計(jì)空氣阻力，下列有

關(guān)說(shuō)法正確的是（）

A.網(wǎng)球擊出后球的運(yùn)動(dòng)是加速度和速度都不斷增大的曲線運(yùn)動(dòng)

B.網(wǎng)球從M點(diǎn)擊出至落在底線上N點(diǎn)所用時(shí)間為生

C.網(wǎng)球從M點(diǎn)擊出至落在底線上N點(diǎn)位移的大小等于s

D.網(wǎng)球做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移由拋出時(shí)的高度和初速度的大小共同決定

【變式5-2］（多選）（2025?廣東汕頭?三模）飛鏢扎氣球是一種民間娛樂(lè)游戲項(xiàng)目，其示意圖如圖中所示，

靶面豎直固定，。點(diǎn)為鏢靶中心，OP水平、OQ豎直，靶面圖如圖乙所示。若每次都在空中同一位置“點(diǎn)水

平射出飛鏢，且"、O、0三點(diǎn)在同一豎直平面，忽略空氣阻力。關(guān)于分別射中靶面0、P、0三點(diǎn)的飛鏢，

下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

Q

甲乙

A.射中O點(diǎn)的飛鏢射出時(shí)的速度最小

B.射中P點(diǎn)的飛鏢射出時(shí)的速度最小

C.射中0點(diǎn)的飛鏢空中飛行時(shí)間最長(zhǎng)

D.射中。、P兩點(diǎn)的飛鏢空中飛行時(shí)間相等

【變式5-3］（2024?北京大興?三模）中國(guó)的面食文化博大精深，種類(lèi)繁多，其中“山西刀削面”堪稱天下一絕，

傳統(tǒng)的操作手法是一手托面一手拿刀，直接將面削到開(kāi)水鍋里。如圖所示，小面片剛被削離時(shí)距開(kāi)水鍋的

高度為L(zhǎng)，與鍋沿的水平距離為心鍋的半徑也為L(zhǎng),若將削出的小面片的運(yùn)動(dòng)視為平拋運(yùn)動(dòng)，且小面片都

落入鍋中，重力加速度為g,則下列關(guān)于所有小面片的描述正確的是（）

A.空中相鄰兩個(gè)面片飛行過(guò)程中水平距離可能逐漸變大

B.掉落位置不相同的小面片，從拋出到落水前瞬間速度的變化量不同

C.落入鍋中時(shí)，最大速度是最小速度的3倍

D.若初速度為%,則^I

類(lèi)型3：半圓形約束下的平拋模型

平拋運(yùn)動(dòng)與圓形障礙模型中物體拋出點(diǎn)位置不同限制關(guān)系不同，有對(duì)■位移與球面半徑之間形成限制關(guān)

系的，如圖甲、乙、丙、丁所示，可分解位移處理，如在圖甲中也有對(duì)速度方向限制

的，如圖戊、己所示，可分解速度處理。

若物體從球面沿水平直徑拋出，隨拋出速度的增大，飛行時(shí)間先增大后減小、水平位移一直增大，落

到球面上時(shí)速度方向不可能垂直于球面。

【典例6】（2017?浙江?高考真題）圖中給出某一通關(guān)游戲的示意圖，安裝在軌道AB上可上下移動(dòng)的彈射器，

能水平射出速度大小可調(diào)節(jié)的彈丸，彈丸射出口在B點(diǎn)的正上方，豎直面內(nèi)的半圓弧BCD的半徑為R=2.0m,

直徑BD水平且與軌道AB處在同一豎直平面內(nèi)，小孔P和圓心0連線與水平方向夾角為37。，游戲要求彈

丸垂直于P點(diǎn)圓弧切線方向射入個(gè)孔P就能進(jìn)入下?關(guān).為了能通關(guān)，彈射器離B點(diǎn)的高度和彈丸射出的初

速度分別是（不計(jì)空氣阻力）

A.0.15m,4y/3m/sB.1.50m,4y/3m/sC.0.15m,2y/6m/sD.1.50〃?,2巫〃?/s

由題意可知彈丸從p點(diǎn)射出時(shí)的速度方向就是半徑OP的方向.即與水平方向成37度夾角，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律

知：

匕間口=上=國(guó)

塔vo

h+Esin37：=；g?

H+Rcos37=v0/

解得：射0=46〃?/$

h=0.15w

【變式6-1］（2024?山東濟(jì)南?二模）如圖所示，帥為豎直平面內(nèi)的半圓環(huán)“c〃的水平直徑，c為環(huán)上最低點(diǎn),

環(huán)半徑為七將一個(gè)小球從。點(diǎn)以初速度％沿"方向拋出，設(shè)重力加速度為g,不計(jì)空氣阻力，則以下說(shuō)法正

確的是（）

A.小球的初速度為越大，碰到圓環(huán)時(shí)的豎直分位移越大

B.當(dāng)小球的初速度為=早時(shí)，碰到圓環(huán)時(shí)的豎直分速度最大

C.若切取合適的值，小球能垂直撞擊圓環(huán)

D.%取值不同時(shí)，小球落在圓環(huán)上的速度方向和水平方向之間的夾角可以相同

【變式6-2］（2024?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，半球面半徑為R,4點(diǎn)與球心。等高，小球兩次從A點(diǎn)以不

同的速率沿40方向拋出，下落相同高度兒分別撞擊到球面上8點(diǎn)和。點(diǎn)，速度偏轉(zhuǎn)角分別為a和夕，不計(jì)

B.兩次運(yùn)動(dòng)速度變化△匕8

C.在C點(diǎn)的速度方向可能與球面垂直D.

mnr#tnn/fn

【變式67］（2019?湖南衡陽(yáng)?三模）如圖所示，地面上固定有一半徑為R的半圓形凹槽，。為圓心、為

水平直徑，現(xiàn)將小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A處以初速度刃水平拋出后恰好落到D點(diǎn)，若將該小球從4處以初

速度也水平拋出后恰好落到C點(diǎn)，C、。兩點(diǎn)等高，OC與水平方向的夾角夕=60。，不計(jì)空氣阻力，則下列

A.v/：V2=1：4

B.小球落到C點(diǎn)時(shí)，速度方向可能與該處凹槽切面垂直

C.小球落在凹槽上時(shí)，其兩次的重力的瞬時(shí)功率不同

D.小球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到落到凹槽上的過(guò)程中，兩次的速度變億量相同

【變式6-4］（2018?四川綿陽(yáng)?一模）如圖所示，豎直放置、半徑為R的半圓軌道直徑邊在水平地面上，O

為圓心，A、B在軌道上，A是軌道最左端，OB與水平面夾角為60。.在A點(diǎn)正上方P處將可視為質(zhì)點(diǎn)的

小球水平拋出，小球過(guò)B點(diǎn)且與半圓軌道相切，重力加速度為g,小球拋出時(shí)的初速度為

A.病B.用

C.D.號(hào)

【模型三斜拋運(yùn)動(dòng)】

重要結(jié)論:

(1)運(yùn)動(dòng)軌跡取決于初速度何。的大小與方向，與共他因素?zé)o關(guān).

(2)運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性:時(shí)間對(duì)稱、速度對(duì)稱。

(3)斜上拋的物體到達(dá)最大高度的時(shí)間^

g

(4)落回拋出高度時(shí)的水平射程工二叱"灰，加45。時(shí)水平射程最遠(yuǎn)/ax=W

g'g。

(5)斜上拋物體的初速度大小相同時(shí)，拋射角互余時(shí)具有相同的水平射程。

2.22

(6)斜上拋物體到達(dá)的最大高度)>ax=a，a=90。時(shí)射高最大H二3

2g2go

窿題g翹產(chǎn)

【典例7】(2025?湖北?高考真題)某網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員兩次擊球時(shí)，擊球點(diǎn)離網(wǎng)的水平距離均為L(zhǎng),離地高度分別

為g、L,網(wǎng)球離開(kāi)球拍瞬間的速度大小相等，方向分別斜向上、斜向下，且與水平方向夾角均為出擊球后

網(wǎng)球均剛好直接掠過(guò)球網(wǎng)，運(yùn)動(dòng)軌跡平面與球網(wǎng)垂直，忽略空與阻力，tan。的值為（）

A.；B,1