2024屆大題強(qiáng)化訓(xùn)練及變式訓(xùn)練（8）1．已知函數(shù)（1）求在處的切線方程;（2）記函數(shù),若恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值.變式：已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2．如圖，已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)是圓上異于點(diǎn)，的任意一點(diǎn).（1）若點(diǎn)到平面的距離為，證明：.（2）求與平面所成角的正弦值的取值范圍.變式：如圖所示，半圓柱的軸截面為平面，是圓柱底面的直徑，為底面圓心，為一條母線，為的中點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.3．為了解居民體育鍛煉情況，某地區(qū)對(duì)轄區(qū)內(nèi)居民體育鍛煉進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)其中400名居民體育鍛煉的次數(shù)與年齡，得到如下的頻數(shù)分布表.（1）若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過(guò)2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；（2）從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，求ξ的分布列與期望；（3）已知小明每周的星期六、星期天都進(jìn)行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為，求小明星期天選擇跑步的概率.參考公式：附：α0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828變式：某制藥公司研發(fā)一種新藥，需要研究某種藥物成分的含量（單位：）與藥效指標(biāo)值（單位：）之間的關(guān)系，該公司研發(fā)部門進(jìn)行了20次試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)得到一組數(shù)據(jù)（，2，?，20），其中，分別表示第次試驗(yàn)中這種藥物成分的含量和相應(yīng)的藥效指標(biāo)值，已知該組數(shù)據(jù)中與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且，，，，.（1）求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）該公司要用與兩套設(shè)備同時(shí)生產(chǎn)該種新藥，已知設(shè)備的生產(chǎn)效率是設(shè)備的2倍，設(shè)備生產(chǎn)藥品的不合格率為0.009，設(shè)備生產(chǎn)藥品的不合格率為0.006，且設(shè)備與生產(chǎn)的藥品是否合格相互獨(dú)立.①?gòu)脑摴旧a(chǎn)的新藥中隨機(jī)抽取一件，求所抽藥品為不合格品的概率；②在該新藥產(chǎn)品檢驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)有三件不合格品，求其中至少有兩件是設(shè)備生產(chǎn)的概率.參考公式：，.4．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，.（1）求的方程；（2）若是上異于點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)不關(guān)于軸對(duì)稱，，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求.變式：已知過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，的面積為.（1）求拋物線的方程；（2）若為的重心，直線分別交軸于點(diǎn)，記的面積分別為，求的取值范圍.5．在無(wú)窮數(shù)列中，令，若，，則稱對(duì)前項(xiàng)之積是封閉的．（1）試判斷：任意一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列對(duì)前項(xiàng)之積是否是封閉的？（2）設(shè)是無(wú)窮等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比為．若對(duì)前項(xiàng)之積是封閉的，求出的兩個(gè)值；（3）證明：對(duì)任意的無(wú)窮等比數(shù)列，總存在兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列和，使得，其中和對(duì)前項(xiàng)之積都是封閉的．變式：對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，若對(duì)任意，且，存在，使得成立，則稱為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是