2024屆大題強(qiáng)化訓(xùn)練及變式訓(xùn)練（15）1．為考察藥物對(duì)預(yù)防疾病以及藥物對(duì)治療疾病的效果，科研團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了大量動(dòng)物對(duì)照試驗(yàn)．根據(jù)個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：（單位：只）藥物疾病未患病患病合計(jì)未服用服用合計(jì)（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析藥物對(duì)預(yù)防疾病的有效性；（2）用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從患病的動(dòng)物中用隨機(jī)抽樣的方法每次選取只，用藥物進(jìn)行治療．已知藥物的治愈率如下：對(duì)未服用過(guò)藥物的動(dòng)物治愈率為，對(duì)服用過(guò)藥物的動(dòng)物治愈率為．若共選取次，每次選取的結(jié)果是相互獨(dú)立的．記選取的只動(dòng)物中被治愈的動(dòng)物個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效果；（2）分布列見(jiàn)解析，期望為【分析】（1）提出零假設(shè)為藥物對(duì)預(yù)防疾病無(wú)效果，根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算出的值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）利用全概率公式計(jì)算出藥物的治愈率，分析可知，利用二項(xiàng)分布列可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可得出的值.【解析】（1）零假設(shè)為藥物對(duì)預(yù)防疾病無(wú)效果，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷零假設(shè)不成立，即認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效果．（2）設(shè)A表示藥物的治愈率，表示對(duì)未服用過(guò)藥物，表示服用過(guò)藥物，由題意可得，，且，，，藥物的治愈率，則，所以，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：X0123P．變式：甲公司推出一種新產(chǎn)品，為了解某地區(qū)消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品的滿意度，從中隨機(jī)調(diào)查了1000名消費(fèi)者，得到下表：滿意不滿意男44060女46040（1）能否有的把握認(rèn)為消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)；（2）若用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)消費(fèi)者中隨機(jī)選取3人，用X表示不滿意的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：，.0.10.050.01k2.7063.8416.635【答案】（1）有的把握認(rèn)為消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)（2）分布列見(jiàn)解析，期望【分析】（1）先利用所給數(shù)據(jù)表完善列聯(lián)表，再利用公式求出，利用臨界值表進(jìn)行判定；（2）先求出不滿意的概率為，由二項(xiàng)分布求解概率，列表得到分布列，利用期望公式進(jìn)行求解【解析】（1）補(bǔ)全列聯(lián)表如圖所示：滿意不滿意總計(jì)男44060500女46040500總計(jì)9001001000，故有的把握認(rèn)為消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)．（2）由題知，從該地區(qū)的消費(fèi)者中隨機(jī)抽取1人，不滿意的概率為，的所有可能取值為0，1，2，3，且．，所以的分布列為：0123所以．2．已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象在處的切線與x軸平行，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)再求斜率最后寫(xiě)出切線方程；（2）分類討論列表根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性.【解析】（1）.由題意，解得，所以，，在處的切線方程為（2）.①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，由得，在上的變化情況如下表：x00極大值極小值由上表可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為和，減區(qū)間為.變式：已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍：（2）若直線與的圖象相切，求a的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）記在上單調(diào)遞減，對(duì)恒成立，，而，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.，所以a的取值范圍為（2）設(shè)直線與的圖象相切于，，由題意可知，代入，，左邊式子關(guān)于單調(diào)遞減且時(shí)，左邊3.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；【分析】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合及等比數(shù)列定義推理即得.（2）由（1）求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【解析】（1），，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，則有，當(dāng)時(shí)，，則，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，，則，數(shù)列是等差數(shù)列，于是，解得，則，所以的前項(xiàng)和.變式：已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和;（2）令，求的前9項(xiàng)之和．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由，得到，兩式相減，整理得到，得到數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，即可求解；（2）由（1）得到，結(jié)合裂項(xiàng)法去和，即可求解.【解析】（1）正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，可得，兩式相減可得，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋獾?，所以?shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可得.（2）由（1）知，可得，所以．4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，過(guò)作的切線，交于點(diǎn)，且與軸分別交于點(diǎn).（1）求證：；（2）設(shè)點(diǎn)是上異于的一點(diǎn)，到直線的距離分別為，求的最小值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求得直線的表達(dá)式，得出三點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程根據(jù)韋達(dá)定理得出；（2）利用點(diǎn)到直線距離公式可求得，可求出的最小值.【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，即的方程為：，如下圖所示：設(shè)點(diǎn)，由題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)，聯(lián)立得，所以.由，得，所以，即.令，得，即，同理，且，所以.由，得，即.所以，故.（2）設(shè)點(diǎn)，結(jié)合（1）知，即因?yàn)?，所?同理可得，所以.又，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即直線斜率為0時(shí)，取最小值；變式：設(shè)拋物線，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與C交于點(diǎn)A，B．當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，．（1）求C的方程；（2）已知點(diǎn)，直線，分別與C交于點(diǎn)C，D．①求證：直線過(guò)定點(diǎn)；②求與面積之和的最小值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②.【分析】（1）根據(jù)通徑的定義求出得解；（2）①設(shè)直線方程與拋物線聯(lián)立，韋達(dá)定理找到坐標(biāo)關(guān)系，同理可得和的坐標(biāo)關(guān)系，設(shè)與x軸交于點(diǎn)G，同上面方法可求得為定值；②利用面積分割法求出兩個(gè)三角形面積表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)求最值即可.【解析】（1）由題意通徑長(zhǎng)，，的方程為．（2）①設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立，，，且，同理，可得，，，設(shè)與x軸交于點(diǎn)G，同上方法可得，直線過(guò)定點(diǎn)；②，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”．5．如圖1，已知，，，，，.（1）求將六邊形繞軸旋轉(zhuǎn)半周（等同于四邊形繞軸旋轉(zhuǎn)一周）所圍成的幾何體的體積；（2）將平面繞旋轉(zhuǎn)到平面，使得平面平面，求異面直線與所成的角的余弦值；（3）某“”可以近似看成，將圖1中的線段、改成同一圓周上的一段圓弧，如圖2，將其繞軸旋轉(zhuǎn)半周所得的幾何體，試求所得幾何體的體積.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）分為，，正方形三部分，分別得出幾何體并求出體積，相加即可得出答案；（2）取中點(diǎn)為，連接，先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面.然后建立空間直角坐標(biāo)系，求出，根據(jù)向量運(yùn)算求解，即可得出答案；（3）先求出直角梯形繞直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，即圓臺(tái)的體積.然后根據(jù)祖暅原理推導(dǎo)得出球缺的體積，進(jìn)而求出弓形旋轉(zhuǎn)的體積，即可得出答案.【解析】（1）和繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體可以得到兩個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，體積之和為；正方形繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體為一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，體積為.所以，總的體積.（2）如圖3，取中點(diǎn)為，連接，則.因?yàn)?，中點(diǎn)為，所以.又平面平面，平面平面，所以，平面，即平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖3建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，，，，所以，，，，，，所以，，，所以，，所以，異面直線與所成的角的余弦值為，（3）由已知可得，圓心為點(diǎn)，則半徑.六邊形繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體的體積，等于直角梯形繞直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體體積的2倍.直角梯形繞直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，為一個(gè)上、下底面半徑分別為1、3，高為1的圓臺(tái)，體積；剩下的兩部分為全等的弓形，先研究弓形繞軸旋轉(zhuǎn)半周，得到的幾何體為球缺.現(xiàn)在用祖暅原理來(lái)求解該球缺的體積，如圖5，半球的半徑和圓柱的底面半徑均為，且圓柱的高，且，在半球中，高度為，且平行于底面的截面圓的半徑，面積為.在圓柱中，連接，設(shè)交高度為，且平行于底面的截面于點(diǎn)，顯然，所以有，即，所以.所以，當(dāng)高度為時(shí)，圓環(huán)的面積等于大圓的面積減去小圓的面積，即圓環(huán)的面積，所以，當(dāng)高度為時(shí)，半球的截面與圓柱中的截面圓環(huán)的面積相等.根據(jù)祖暅原理可知，半球某高度截面以上的體積（即球缺的體積），即等于圓柱該截面以上（挖去一個(gè)圓臺(tái)）的體積.所以，球缺的體積（其中為半球被截面截去球缺后剩余部分的高）.由已知可得，弓形繞軸旋轉(zhuǎn)半周，得到的幾何體為球缺中，，，所以，該球缺的體積.所以，總的體積.變式：把底面為橢圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱”．如圖，橢圓柱中底面長(zhǎng)軸，短軸長(zhǎng)為下底面橢圓的左右焦點(diǎn)，為上底面橢圓的右焦點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，為過(guò)點(diǎn)的下底面的一條動(dòng)弦（不與重合）．（1）求證：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面（2）若點(diǎn)是下底面橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是點(diǎn)在上底面的投影，且與下底面所成的角分別為，試求出的取值范圍．（3）求三棱錐的體積的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【分析】（1）由題設(shè)知分別是中點(diǎn)，連接，進(jìn)而得四邊形為平行四邊形，則，再結(jié)合中位線性質(zhì)、線面平行的判定證結(jié)論；（2）令，得，，應(yīng)用和角正切公式及橢圓性質(zhì)有且，即可求范圍；（3）利用等體積法有，問(wèn)題化為求面積、到面距離之和都最大，應(yīng)用直線與橢圓關(guān)系求最大，進(jìn)而得結(jié)果.【解析】（1）由題設(shè)，長(zhǎng)