2026屆吉林省吉林市普通高中高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，正四棱柱是由四個棱長為1的小正方體組成的，是它的一條側(cè)棱，是它的上底面上其余的八個點，則集合的元素個數(shù)（）A.1 B.2C.4 D.82．已知數(shù)列滿足，其前項和為，，．若數(shù)列的前項和為，則滿足成立的的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.133．某軟件研發(fā)公司對某軟件進行升級，主要是對軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項為，若序列的所有項都是1，且，.記數(shù)列的前項和、前項積分別為，，若，則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.54．已知直線，，點是拋物線上一點，則點到直線和的距離之和的最小值為（）A.2 B.C.3 D.5．已知向量，，且，則實數(shù)等于（）A.1 B.2C. D.6．已知數(shù)列滿足，令是數(shù)列的前n項積，，現(xiàn)給出下列四個結(jié)論：①；②為單調(diào)遞增的等比數(shù)列；③當(dāng)時，取得最大值；④當(dāng)時，取得最大值其中所有正確結(jié)論的編號為（）A.②④ B.①③C.②③④ D.①③④7．已知點在拋物線的準(zhǔn)線上，則該拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A. B.C. D.8．魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，他在《九章算術(shù)》方田章圓田術(shù)中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這是注述中所用的割圓術(shù)是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在正數(shù)中的“”代表無限次重復(fù)，設(shè)，則可以利用方程求得，類似地可得到正數(shù)（）A.2 B.3C. D.9．等差數(shù)列中，若，，則等于（）A. B.C. D.10．橢圓離心率是（）A. B.C. D.11．若直線l與橢圓交于點A、B,線段的中點為,則直線l的方程為()A. B.C. D.12．已知數(shù)列滿足，在任意相鄰兩項與(k＝1，2，…)之間插入個2，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列．記為數(shù)列的前n項和，則的值為（）A.162 B.163C.164 D.165二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點，，其中，若線段的中點坐標(biāo)為，則直線的方程為________14．已知雙曲線，則圓的圓心C到雙曲線漸近線的距離為______15．已知數(shù)列的前項和為，則__________.16．已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上的點P滿足軸，，則該橢圓的離心率為___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線過點，O為坐標(biāo)原點（1）求焦點的坐標(biāo)及其準(zhǔn)線方程；（2）拋物線C在點A處的切線記為l，過點A作與切線l垂直的直線，與拋物線C的另一個交點記為B，求的面積18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為的中點（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面的夾角大小19．（12分）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線上，且在第一象限，的面積為(O為坐標(biāo)原點).（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點的直線與交于，兩點，且，異于點，若直線與的斜率存在且不為零，證明：直線與的斜率之積為定值.20．（12分）已知函數(shù).（I）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若當(dāng)時，，求的取值范圍.21．（12分）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，也侵害木棉、錦葵等植物．為了防治蟲害，從根源上抑制害蟲數(shù)量．現(xiàn)研究紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度的關(guān)系，收集到7組溫度和產(chǎn)卵數(shù)的觀測數(shù)據(jù)于表Ⅰ中．根據(jù)繪制的散點圖決定從回歸模型①與回歸模型②中選擇一個來進行擬合表Ⅰ溫度x/℃20222527293135產(chǎn)卵數(shù)y/個711212465114325（1）請借助表Ⅱ中的數(shù)據(jù)，求出回歸模型①的方程：表Ⅱ（注：表中）18956725.271627810611.06304041.86825.09（2）類似的，可以得到回歸模型②的方程為，試求兩種模型下溫度為時的殘差；（3）若求得回歸模型①的相關(guān)指數(shù)，回歸模型②的相關(guān)指數(shù)，請結(jié)合（2）說明哪個模型的擬合效果更好參考數(shù)據(jù)：.附：回歸方程中，相關(guān)指數(shù).22．（10分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，且，.（1）求；（2）記數(shù)列的前項和為，求當(dāng)取得最小值時的的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】用空間直角坐標(biāo)系看正四棱柱，根據(jù)向量數(shù)量積進行計算即可.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，為原點，正四棱柱的三個邊的方向分別為軸、軸和看軸，如右圖示，，設(shè)，則AB所以集合，元素個數(shù)為1.故選：A.2、A【解析】根據(jù)題意和對數(shù)的運算公式可證得為以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，求出，進而得到，利用裂項相消法求得，再解不等式即可.【詳解】由，又，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故，則，所以，由，得，即，有，又，所以，即n的最小值為10.故選：A3、C【解析】先利用序列的所有項都是1，得到，整理后得到是等比數(shù)列，進而求出公比和首項，從而求出和，利用，列出不等式，求出，從而得到的最小值【詳解】因為，，所以，又序列的所有項都是1，所以它的第項，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，又，，所以公比，.所以，，，要，即，即，所以，所以，，所以最小值為4.故選：C.4、C【解析】由拋物線的定義可知點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離.【詳解】解：由題意，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，所以根據(jù)拋物線的定義可得點到直線的距離等于，所以點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離，故選：C.5、C【解析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計算即可得解【詳解】因向量，，且，則，解得，所以實數(shù)等于.故選：C6、B【解析】求出，即可判斷選項①正確；求出，即可選項②錯誤；求出，利用單調(diào)性即可判斷選項③正確；求出，即可判斷選項④錯誤，即得解.【詳解】解：因為，①所以，，②①②得，，整理得，又，滿足上式，所以，因為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，故①正確；，因為，故數(shù)列為等比數(shù)列，其中首項，公比為的等比數(shù)列，因為，，所以數(shù)列為遞減的等比數(shù)列，故②錯誤；，因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)最大時，有最大值，因為，所以時，最大，即時，取得最大值，故③正確；設(shè)，由可得，，解得或，又因為，所以時，取得最大值，故④錯誤；故選：B7、C【解析】首先表示出拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)點在拋物線的準(zhǔn)線上，即可求出參數(shù)，即可求出拋物線的焦點.【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線為因為在拋物線的準(zhǔn)線上故其焦點為故選：【點睛】本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】設(shè)，則，解方程可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)是解題關(guān)鍵.9、C【解析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得.【詳解】因為，，所以.故選：C10、C【解析】將方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a，c，再由離心率公式求得答案.【詳解】解：由得，所以，則，所以橢圓的離心率，故選：C.11、A【解析】用點差法即可獲解【詳解】設(shè).則兩式相減得即因為,線段AB的中點為,所以所以所以直線的方程為,即故選:A12、C【解析】確定數(shù)列的前70項含有的前6項和64個2，從而求出前70項和.【詳解】，其中之間插入2個2，之間插入4個2，之間插入8個2，之間插入16個2，之間插入32個2，之間插入64個2，由于，，故數(shù)列的前70項含有的前6項和64個2，故故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出，再根據(jù)直線的兩點式方程即可得出答案.【詳解】解：由，，得線段的中點坐標(biāo)為，所以，解得，所以直線的方程為，即.故答案為：.14、2【解析】求出圓心和雙曲線的漸近線方程，即得解.【詳解】解：由題得圓的圓心為，雙曲線的漸近線方程為，即.所以圓心到雙曲線漸近線的距離為.故答案為：215、【解析】根據(jù)題意求得，得到，利用等差數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合裂項法求和法，即可求解.【詳解】由，可得，即，因為，所以，又因為，所以，可得，所以，所以.故答案為：.16、【解析】由題意分析為直角三角形，得到關(guān)于a、c的齊次式，即可求出離心率.【詳解】設(shè)，則.由橢圓的定義可知：，所以.所以因軸，所以為直角三角形，由勾股定理得：，即，即，所以離心率.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）焦點，準(zhǔn)線方程；（2）12.【解析】(1)將點A坐標(biāo)代入求出，寫出拋物線方程即可作答.(2)由(1)的結(jié)論求出切線l的斜率，進而求得直線AB方程，聯(lián)立直線AB與拋物線C的方程，求出弦AB長及點O到直線AB距離計算作答.【小問1詳解】依題意，，解得，則拋物線的方程為：，所以拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為.【小問2詳解】顯然切線l的斜率存在，設(shè)切線l的方程為：，由消去x并整理得：，依題意得，解得，因直線，則直線AB的斜率為-1，方程為：，即，由消去x并整理得：，解得，因此有，而，則，而點到直線AB：的距離，則，所以的面積是12.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取中點，連結(jié)，證得，利用線面平行的判定定理，即可求解；（2）以為原點，以方面為軸，以方向為軸，以方向為軸，建立坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量的夾角公式，即可求解【小問1詳解】取中點，連結(jié)，由，，則，又由平面，平面，所以平面.【小問2詳解】以為原點，以方面為軸，以方向為軸，以方向為軸，建立坐標(biāo)系，可得，，，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則又平面的法向量為；則，所以平面與平面所成的銳二面角為.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題可得，然后結(jié)合面積公式可得，即求；（2）通過分類討論，利用韋達(dá)定理法結(jié)合斜率公式計算即得.【小問1詳解】因為點拋物線上，所以，，，因為，故解得，拋物線方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為，得，.，，則.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為，設(shè)，，聯(lián)立得：因為，所以，.所以，所以直線與的斜率之積為定值.20、（1）（2）【解析】（Ⅰ）先求的定義域，再求，，，由直線方程的點斜式可求曲線在處的切線方程為（Ⅱ）構(gòu)造新函數(shù)，對實數(shù)分類討論，用導(dǎo)數(shù)法求解.試題解析：（I）定義域為.當(dāng)時，，曲線在處的切線方程為（II）當(dāng)時，等價于設(shè)，則，（i）當(dāng)，時，，故在上單調(diào)遞增，因此；（ii）當(dāng)時，令得.由和得，故當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，因此.綜上，的取值范圍是【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性【名師點睛】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法：（1）確定函數(shù)y＝f（x）定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)y′＝f′（x）；（3）解不等式f′（x）>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；（4）解不等式f′（x）<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間21、（1）（或）（2）模型①：1.54；模型②：65.54（3）模型①【解析】（1）利用兩邊取自然對數(shù)，利用表中的數(shù)據(jù)即可求解；（2）分別計算模型①、②在時殘差；（3）根據(jù)相關(guān)指數(shù)的大小判斷摸型①、②的殘差平方和，再得出那個模型的擬合效果更好.【小問1詳解】由，得，令，得，由表Ⅱ數(shù)據(jù)可得，，，所以，所以回歸方程為（或）.【小問2詳解】由題意