2026屆湖北省黃岡市蔡河中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在正方體中，，，，若為的中點(diǎn)，在上，且，則等于（）A. B.C. D.2．已知圓和橢圓．直線與圓交于、兩點(diǎn)，與橢圓交于、兩點(diǎn)．若時(shí)，的取值范圍是，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．已知圓的圓心在x軸上，半徑為1，且過點(diǎn)，圓：，則圓，的公共弦長為A. B.C. D.24．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.5．《萊茵德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把93個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得面包個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最大的一份是（）個(gè)A.12 B.24C.36 D.486．在直三棱柱中，側(cè)面是邊長為的正方形，，，且，則異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.7．如圖所示，在中，，，，AD為BC邊上的高，；若，則的值為（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列滿足：且，則此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（）A.621 B.622C.1133 D.11349．以軸為對稱軸，拋物線通徑的長為8，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的方程是（）A. B.C.或 D.或10．由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：，其中每個(gè)數(shù)據(jù)都小于，另一組數(shù)據(jù)2、的中位數(shù)可以表示為（）A. B.C. D.11．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（）A.24種 B.6種C.4種 D.12種12．過兩點(diǎn)和的直線的斜率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線，則以下結(jié)論正確的是______.①曲線C關(guān)于點(diǎn)對稱；②曲線C關(guān)于y軸對稱；③曲線C被x軸所截得的弦長為2；④曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離都不超過2.14．若數(shù)列滿足，，設(shè)，類比課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法，可求得______________15．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員5場比賽得分的莖葉圖如圖所示，已知甲得分的極差為32，乙得分的平均值為24，則甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______.16．在等比數(shù)列中，若，，則數(shù)列的公比為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在等差數(shù)列中，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和18．（12分）如圖1，在△MBC中，，A，D分別為棱BM，MC的中點(diǎn)，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如圖2，連結(jié)PB，PC，BD（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E為PC中點(diǎn)，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值19．（12分）已知橢圓上頂點(diǎn)與橢圓的左，右頂點(diǎn)連線的斜率之積為（1）求橢圓C的離心率；（2）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程20．（12分）如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）在線段上(不含端點(diǎn))是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.21．（12分）已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知曲線上一點(diǎn)，動(dòng)圓，且點(diǎn)在圓外，過點(diǎn)作圓的兩條切線分別交曲線于點(diǎn)，.（i）求證：直線的斜率為定值；（ii）若直線與交于點(diǎn)，且時(shí)，求直線的方程.22．（10分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.（1）若數(shù)列中依次取出第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第6項(xiàng)，…，第項(xiàng)，按原來順序組成一個(gè)新數(shù)列，試求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算推導(dǎo)即可.【詳解】.故選：B.2、C【解析】由題設(shè)，根據(jù)圓與橢圓的對稱性，假設(shè)在第一象限可得，結(jié)合已知有，進(jìn)而求橢圓的離心率.【詳解】由題設(shè)，圓與橢圓的如下圖示：又時(shí)，的取值范圍是，結(jié)合圓與橢圓的對稱性，不妨假設(shè)在第一象限，∴從0逐漸增大至無窮大時(shí)，，故，∴故選：C.3、A【解析】根據(jù)題意設(shè)圓方程為:,代點(diǎn)即可求出,進(jìn)而求出方程,兩圓方程做差即可求得公共弦所在直線方程,再利用垂徑定理去求弦長.【詳解】設(shè)圓的圓心為,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,將點(diǎn)代入方程,解得,故方程為:,兩圓,方程作差得其公共弦所在直線方程為:,圓心到該直線的距離為,因此公共弦長為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題綜合考查圓的方程及直線與圓,圓與圓位置關(guān)系,屬于中檔題.一般遇見直線與圓相交問題時(shí),常利用垂徑定理解決問題.4、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.5、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，根據(jù)題意，由求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，由題意得：，即，解得，所以，故選：D6、C【解析】分析得出，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成的角.【詳解】由題意可知，，因?yàn)椋?，則，，因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，，，，因此，異面直線與所成的角為.故選：C.7、B【解析】根據(jù)題意求得，化簡得到，結(jié)合，求得的值，即可求解.【詳解】在中，，，，AD為BC邊上的高，可得，由又因?yàn)?，所以，所?故選：B.8、C【解析】這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是公比為2的等比數(shù)列，只要分開來計(jì)算即可.【詳解】由于，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是等差數(shù)列，即：共10項(xiàng)，和為；，共10項(xiàng)，其和為；∴該數(shù)列前20項(xiàng)的和；故選：C.9、C【解析】由分焦點(diǎn)在軸的正半軸上和焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，兩種情況討論設(shè)出方程，根據(jù)，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以軸為對稱軸，且通經(jīng)長為8，當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為，可得，解得，所以拋物線方程為；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為，可得，解得，所以拋物線方程為，所以所求拋物線的方程為.故選：C.10、C【解析】先根據(jù)題意對數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，然后由中位數(shù)的定義求解即可【詳解】因?yàn)橛尚〉酱笈帕械囊唤M數(shù)據(jù)：，其中每個(gè)數(shù)據(jù)都小于，所以另一組數(shù)據(jù)2、從小到大的排列為，所以這一組數(shù)的中位數(shù)為，故選：C11、B【解析】由已知可得只需對剩下3人全排即可【詳解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對剩下3人全排即可，則不同的排法共有，故選：B12、D【解析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線斜率即可.【詳解】由已知坐標(biāo)，直線的斜率為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④【解析】將x換成,將y換成,若方程不變則關(guān)于原點(diǎn)對稱；將x換成，曲線的方程不變則關(guān)于y軸對稱；令通過解方程即可求得被x軸所截得的弦長；利用基本不等式即可判斷出曲線C上y軸右側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離是否不超過2，根據(jù)曲線C關(guān)于y軸對稱，即可判斷出曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離是否都不超過2.【詳解】對于①，將x換成,將y換成,方程改變，則曲線C關(guān)于點(diǎn)不對稱，故①錯(cuò)誤；對于②，將x換成，曲線的方程不變，則曲線C關(guān)于y軸對稱，故②正確；對于③，令得，，解得，即曲線C與x軸的交點(diǎn)為和，則曲線C被x軸所截得的弦長為，故③錯(cuò)誤；對于④，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即，則，即曲線C上y軸右側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2，此曲線關(guān)于y軸對稱，即曲線C上y軸左側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離也不超過2，故④正確；故答案為：②④.14、n【解析】先對兩邊同乘以4，再相加，化簡整理即可得出結(jié)果.【詳解】由①得：②所以①②得：，所以，，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查類比推理的思想，結(jié)合錯(cuò)位相減法思想即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】先由極差以及平均數(shù)得出，進(jìn)而得出中位數(shù).【詳解】由可得，，，因?yàn)橐业梅值钠骄禐?4，所以，所以甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.故答案為：16、##【解析】求出等比數(shù)列的公比，利用定義可求得數(shù)列的公比.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因此，數(shù)列的公比為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合條件可得答案.（2）由（1）可得，由錯(cuò)位相減法可得答案.【小問1詳解】設(shè)的公差為，由已知得且，解得，，所以的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以，兩式相減得：，所以，所以18、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)推導(dǎo)出，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明；(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出直線DE與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】由題意知，因?yàn)辄c(diǎn)A、D分別為MB、MC中點(diǎn)，所以，又，所以，所以.因?yàn)椋?，又，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?詳解】因?yàn)?，，，所以兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，設(shè)直線DE與平面所成角為，則，所以直線DE與平面所成角的正弦值為.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意，可知，可得，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，由此即可求出離心率；（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到，，再根據(jù)弦長公式，建立方程，即可求出的值，進(jìn)而求出橢圓方程.【小問1詳解】解：由題意可知，橢圓上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，左右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，∴，即，則又，∴，所以橢圓的離心率；【小問2詳解】解：設(shè)，，由得：，∴，，，∴，解得，∴，滿足，∴，∴橢圓C的方程為20、（1）見解析（2）存在，【解析】（1）連接交于點(diǎn)，由三角形中位線性質(zhì)知，由線面平行判定定理證得結(jié)論；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)，可用表示出點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)二面角的向量求法可根據(jù)二面角的余弦值構(gòu)造出關(guān)于的方程，從而解得結(jié)果.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，平面，平面，平面；（2）平面，，兩兩互相垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，設(shè)，且，則，，即，設(shè)平面的法向量，又，，則，令，則，，；設(shè)平面的一個(gè)法向量，又，，則，令，則，，；，解得：或，二面角的余弦值為，二面角為銳二面角，不滿足題意，舍去，即.在線段上存在點(diǎn)，時(shí)，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的線面平行關(guān)系的證明、存在性問題的求解；求解存在性問題的關(guān)鍵是能夠利用共線向量的方式將所求點(diǎn)坐標(biāo)表示出來，進(jìn)而利用二面角的向量求法構(gòu)造方程；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略二面角的范圍，造成參數(shù)值求解錯(cuò)誤.21、（1）（2）（i）答案見解析（ii）或【解析】（1）通過幾何關(guān)系可知，且,由此可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長為的雙曲線，通過雙曲線的定義即可求解；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理及求出，即得到直線的斜率為定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，聯(lián)立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直線方程.【小問1詳解】由題意可知,∵,且,∴根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長為的雙曲線，即，，，則點(diǎn)的軌跡方程為；【小問2詳解】（i）設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，聯(lián)立得，其中，且，，，∵曲線上一點(diǎn)，∴，由已知條件得直線和直線關(guān)于對稱，則，