黑龍江省牡丹江市多校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．在正項(xiàng)等比數(shù)列中,,且,,10成等差數(shù)列,則的值為()A. B. C.18 D.242．若是等差數(shù)列,表示的前n項(xiàng)和,,,則中最小的項(xiàng)是()A. B. C. D.3．已知函數(shù),則的值為()A. B. C. D.4．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在橢圓上，，，則的最小值為()A.5 B. C.2 D.15．已知過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的動(dòng)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于A,B兩點(diǎn),Q為線(xiàn)段的中點(diǎn),P為拋物線(xiàn)C上任意一點(diǎn),則的最小值為()A.6 B.3 C.12 D.96．已知點(diǎn),是曲線(xiàn)上不同的兩點(diǎn),且滿(mǎn)足,則直線(xiàn)AB的斜率的取值范圍是()A. B. C. D.7．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為;等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,則()A.22 B.34 C.46 D.508．如圖,?是橢圓與雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn),A?B分別是?在第二?四象限的交點(diǎn),若,且,則與離心率之積為()A.2 B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分。每小題有多個(gè)選項(xiàng)符合題意，全選對(duì)得滿(mǎn)分，漏選得部分分，錯(cuò)選不選不得分）9．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q,若,且,則()A. B.C.是數(shù)列中的項(xiàng) D.,,成等差數(shù)列10．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,P為橢圓C上不同于左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是()A.的周長(zhǎng)為16 B.面積的最大值為12C.存在點(diǎn)P,使得∠ D.的取值范圍為11．已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，（，），數(shù)列的前n項(xiàng)的積為，記，則()A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.C.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， D.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知函數(shù),請(qǐng)寫(xiě)出一條過(guò)點(diǎn)且與的圖象相切的直線(xiàn)方程________.13．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且最小值為，則橢圓M的離心率是__________.14．若數(shù)列滿(mǎn)足,,則稱(chēng)該數(shù)列為斐波那契數(shù)列.如圖所示的“黃金螺旋線(xiàn)”是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫(huà)出來(lái)的曲線(xiàn).圖中的長(zhǎng)方形由以斐波那契數(shù)為邊長(zhǎng)的正方形拼接而成,在每個(gè)正方形中作圓心角為的扇形,連接起來(lái)的曲線(xiàn)就是“黃金螺旋線(xiàn)”.記以為邊長(zhǎng)的正方形中的扇形面積為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為.給出下列結(jié)論:①;②是奇數(shù);③;④.則所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.四、解答題（本題共5小題，共77分）15．（13分）設(shè)，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)比較和的大小.16．（15分）已知拋物線(xiàn)過(guò)，，其中兩點(diǎn)，F(xiàn)為E的焦點(diǎn).(1)求E的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與E相交于M，N兩點(diǎn)，且的面積為4，求直線(xiàn)l的方程.17．（15分）如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)面是等邊三角形,且平面平面,,E為的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)E到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值.18．（17分）動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)與直線(xiàn)的距離之積為,記點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)E.(1)求曲線(xiàn)E的方程；(2)若點(diǎn)為曲線(xiàn)E與拋物線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn).①求的取值范圍；②當(dāng),且時(shí),求直線(xiàn)斜率的取值范圍.19．（17分）在數(shù)列中,已知,（）.（1）證明:數(shù)列為等比數(shù)列;（2）記,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求使得的整數(shù)n的最小值;（3）是否存在正整數(shù)m、n、k,且,使得、、成等差數(shù)列?若存在,求出m、n、k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

黑龍江省牡丹江市多校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)答案1．答案：C解析：在正項(xiàng)等比數(shù)列中,設(shè)公比為q,,則,又,,10成等差數(shù)列,則,則,故,故選:C2．答案：B解析：由數(shù)列為等差數(shù)列,則,且,即,,所以當(dāng)時(shí),取最小值,即數(shù)列的最小項(xiàng)為,故選:B.3．答案：B解析：由解析式知,所以.故選:B4．答案：D解析：由題意知點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，記是該橢圓的左焦點(diǎn)，連接，如圖.由，知點(diǎn)在橢圓外，又，所以，則，要使最小，只需最小，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為線(xiàn)段與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為1.故選D.5．答案：A解析：由拋物線(xiàn)可得,其準(zhǔn)線(xiàn)方程為,作垂直于準(zhǔn)線(xiàn),垂足為,如下圖所示:設(shè)過(guò)的直線(xiàn)方程為,;聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程可得;因此可得,所以,可得,由拋物線(xiàn)定義可知,當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),的最小值為,此時(shí),即動(dòng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí),的最小值為6.故選:A6．答案：B解析：由得,所以曲線(xiàn)為以為圓心,2為半徑的上半圓弧.由,為不同兩點(diǎn),且可轉(zhuǎn)化為,則過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與半圓弧有兩個(gè)不同的交點(diǎn).如圖,直線(xiàn)PA的斜率為.當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)T時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程為,即:,由圓心到直線(xiàn)的距離,解得(舍),或,即直線(xiàn)PT的斜率為.如圖可知,要使直線(xiàn)與半圓弧有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則直線(xiàn)AB斜率k的取值范圍為,即故選:B.7．答案：C解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,因?yàn)?,,,解得:,.則,,所以.故選:C8．答案：A解析：?是橢圓與雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn),A?B分別是?在第二?四象限的公共點(diǎn),若,且,則為等邊三角形且A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),可得,,代入橢圓方程可得:,可得,可得,解得.代入雙曲線(xiàn)方程可得,可得,可得:,解得,則與的離心率之積為:2.故選A.9．答案：ABD解析：對(duì)于選項(xiàng)A:由,可得,且,所以,故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B:所以,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C:可得,令,即,顯然該方程無(wú)整數(shù)解,所以不是數(shù)列中的項(xiàng),故C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?,,且,即所以,,成等差數(shù)列,故D正確;故選:ABD.10．答案：BCD解析：橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng),短半軸長(zhǎng),半焦距,對(duì)于A:的周長(zhǎng)為,A錯(cuò)誤;對(duì)于B:設(shè),,則,B正確;對(duì)于C:由,得以原點(diǎn)O為圓心,半焦距c為半徑的圓與橢圓相交,當(dāng)P為此交點(diǎn)時(shí),,因此存在點(diǎn)P,使得∠,C正確;對(duì)于D:,,D正確.故選:BCD11．答案：ACD解析：顯然，.因?yàn)?，所以，又，所以，即?dāng)時(shí)，.顯然，所以，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以A正確；于是，所以，，兩式相除得，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以有，所以C正確；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，所以有，所以D正確，故選ACD.12．答案：或（寫(xiě)出其中一條即可）解析：,設(shè)切點(diǎn),則切線(xiàn)方程為,即,因?yàn)檫^(guò)點(diǎn),所以,解得或,所以切線(xiàn)方程為或故答案為:或（寫(xiě)出其中一條即可）13．答案：解析：由基本不等式及橢圓的定義可知，所以當(dāng)且僅當(dāng)由題意知，解得所以，所以,故答案為：14．答案：①②④解析：對(duì)于①,由,,且,可得斐波那契數(shù)列:1,1,2,3,5,8,13,21,34...故故①正確;對(duì)于②:由斐波那契數(shù)列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144...,可得每三個(gè)數(shù)中前兩個(gè)為奇數(shù),后一個(gè)偶數(shù),且,所以是奇數(shù),故②正確;對(duì)于③:因?yàn)?;…,相加可得:,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④:因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列總滿(mǎn)足,且,所以,,,類(lèi)似的有,,其中.累加得,,故:,故④正確.故答案為:①②④.15．答案：(1)，(2)答案見(jiàn)解析解析：(1)令，則，所以，，

，解得，所以；由可知，，所以為等差數(shù)列，所以，故.(2)當(dāng)時(shí)，，累加可得，，所以，.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，記，，單調(diào)遞增，，，所以.

綜上，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，.16．答案：(1)(2)或.解析：（1）若點(diǎn)A，C在E上，則，，解得，此時(shí)，點(diǎn)B不在E上；若點(diǎn)A，B在E上，則，，無(wú)解；若點(diǎn)B，C在E上，則，，無(wú)解.綜上，E的方程為.（2）如圖，可知直線(xiàn)l的斜率可能不存在，但不為0，設(shè)，，.聯(lián)立l及E的方程得，則，.此時(shí)，，解得.故直線(xiàn)l的方程為或.17．答案：(1)(2)解析：(1)分別取的中點(diǎn)為O,,連接,因?yàn)榈酌媸钦叫?分別為的中點(diǎn),所以,.因?yàn)閭?cè)面是等邊三角形,O為的中點(diǎn),所以,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,又平面,所以.如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,所以,,,設(shè)平面的法向量為,則令,則,所以平面的一個(gè)法向量為,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d,則.即點(diǎn)E到平面的距離為.(2)由(1),得平面的一個(gè)法向量為,,,設(shè)平面的法向量為,則取,則,所以平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面與平面的夾角為,則,即平面與平面夾角的余弦值為.18．答案：(1)或.(2)①；②.解析：(1)依題意,,化簡(jiǎn)得,所以曲線(xiàn)E的方程為：或.(2)①由(1)可知,或,當(dāng)時(shí),由,得,而,,無(wú)解；當(dāng)時(shí),由,得,由,解得,所以的取值范圍為.②直線(xiàn)的斜率,由①知,且,令,則,則,當(dāng),即時(shí),,當(dāng),時(shí),,所以直線(xiàn)的斜率取值范圍為.19．