試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁福建省部分高中學(xué)校2026屆高考適應(yīng)性練習(xí)（一模）數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合A=1,3,5,7,B=a+b∣a∈A,b∈AA．1,3 B．3,7 C．1,3,5,7 D．?2．若復(fù)數(shù)z滿足z2=3A．2 B．3 C．22 D．3．設(shè)函數(shù)fx=xA．8 B．9 C．5 D．44．若數(shù)據(jù)1，0，5，8，5的第p百分位數(shù)為5，則正實(shí)數(shù)p的取值范圍是（）A．[60,80) B．(20,40] C．(40,80) D．[40,80)5．在(x2?2)A．?280 B．?300 C．?320 D．?3406．設(shè)數(shù)列an和annA．2025 B．1980 C．2115 D．20707．已知平面α與單位正方體相交得到一個(gè)六邊形，若該六邊形有3個(gè)內(nèi)角是120°A．3 B．32 C．33 8．已知雙曲線C：x2?y2=1與過x軸正半軸上的一點(diǎn)M的直線l交于P，Q兩點(diǎn)，直線l分別和直線x?y=0及直線x+y=0交于A，BA．?3?7 B．-5 C．?1?17 二、多選題9．已知a,b∈R，若maxa,b,mina,b分別表示a,bA．a(chǎn)2+bC．maxa,bmina,b10．設(shè)a，b∈Z，且4b>5a>5．若隨機(jī)變量X，Y滿足X～NA．EX?Y=0 C．D7Y=711．已知函數(shù)fx=Asinωx+?（A>0，ω>0，?A．A=2B．存在正整數(shù)n使得fC．fD．x三、填空題12．已知圓x2+y2?2x+ay=0被y軸分成長度比為13．若實(shí)數(shù)λ使得命題：“?c∈R，使得?a,b∈R，均有λa2+14．已知在四棱錐P?ABCD中，PA=PB=PC=PD，tan∠BAD=tan∠PBC=tan∠PAD=45四、解答題15．記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知3asin(1)求tanB(2)點(diǎn)D在直線BC上，且AD⊥AB．若sin∠CAD=cosA16．在統(tǒng)計(jì)一些敏感性問題的回答時(shí)，往往很難得到受調(diào)查者的誠實(shí)性答復(fù)．為了解決這一問題，我們往往需要適當(dāng)?shù)夭捎靡恍┙y(tǒng)計(jì)學(xué)方法，下面的例子給出了一個(gè)有效的手段．某地衛(wèi)生部門派遣調(diào)查組前往當(dāng)?shù)啬承栐冃?nèi)學(xué)生的吸煙情況，很明顯，如果直接詢問這樣的問題很難得到學(xué)生的誠實(shí)回答．為此，調(diào)查組成員想到了一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法，首先設(shè)計(jì)了如下的調(diào)查問卷形式：問題甲：你父親的生日日期是奇數(shù)嗎？請用2B是□

否□問題乙：你是否有吸煙的習(xí)慣？請用2B是□

否□而后，準(zhǔn)備好一個(gè)不透明盒子，其中放入足夠多質(zhì)量、大小、質(zhì)地相同的小球，且其中紅白兩色小球各占一半，在受調(diào)查學(xué)校高一、高二、高三三個(gè)年段采用分層隨機(jī)抽樣的方式抽取共200名學(xué)生作為樣本．讓參與調(diào)查的學(xué)生輪流抽取盒子里的一個(gè)球，如果抽到了紅色球，則需要回答問題甲；如果抽到了白色球，則需要回答問題乙．抽球和回答問卷時(shí)不安排人員監(jiān)督，提交問卷時(shí)，只需上交其答案，而不需要透露其回答的問題內(nèi)容．依據(jù)此方法，調(diào)查過程中共拿到了54張?zhí)钔俊笆恰钡拇鹁恚?1)請說明此調(diào)查方式的合理性，并估計(jì)該校吸煙學(xué)生在總?cè)藬?shù)中所占的百分比；(2)為了更精確地了解該校學(xué)生的吸煙狀況，調(diào)查組經(jīng)商議決定讓全校共6000名學(xué)生參與此次問卷調(diào)查．調(diào)查過程中共拿到了1836張?zhí)钔俊笆恰钡拇鹁?，且其中?20張答卷來自女生．已知該校男女比例為1：1，請估計(jì)該校吸煙學(xué)生中男、女生的人數(shù)，并據(jù)此判斷能否有99.9%的把握認(rèn)為吸煙行為和性別相關(guān)聯(lián)．附：χ2306×5694=174236417．如圖，在圓錐S?O中，AB為底面圓的直徑，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在劣弧AC上，線段BD，OC交于點(diǎn)E，且(1)證明：SD⊥AE；(2)若∠OSD=2∠CBD，求直線SC和平面SDB所成角的正弦值．18．已知橢圓E:x2a2+y2b2(1)求橢圓E的方程；(2)當(dāng)r=1時(shí)，設(shè)直線l:y=kx+1與圓O交于P,Q兩點(diǎn)，與橢圓E交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q不在y軸上．（i）若Q為AB中點(diǎn)，求k；（ii）求OA+19．已知函數(shù)fx=ax?1(1)若a=e，證明：f(2)若對任意實(shí)數(shù)x，均有fx（i）求a；（ii）設(shè)正整數(shù)n≥2，證明：1?答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《福建省部分高中學(xué)校2026屆高考適應(yīng)性練習(xí)（一模）數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案DDBCAABDABCABD題號11答案CD1．D【分析】根據(jù)集合A與集合B中的元素特征可知兩集合沒有公共元素，可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)榧螦中所有元素為奇數(shù)，集合B中的元素是集合A中兩個(gè)元素之和，而兩個(gè)奇數(shù)之和必為偶數(shù)，所以集合B中所有元素均為偶數(shù)。因此A和B沒有公共元素，故A∩B=?．故選：D2．D【分析】先利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)將所求式子進(jìn)行化簡，再結(jié)合已知條件z2=3【詳解】1+i故選：D.3．B【分析】分段函數(shù)根據(jù)不同的定義區(qū)間，計(jì)算出相應(yīng)的函數(shù)值.【詳解】由解析式可知，f?可得ff故選：B.4．C【分析】先將5個(gè)數(shù)按從小到大排序，再討論p20【詳解】將5個(gè)數(shù)從小到大排序?yàn)椋?，1，5，5，8.因?yàn)?×p%=p如果p20為整數(shù)，則需取數(shù)據(jù)中第p20個(gè)和第p20+1個(gè)的數(shù)的平均數(shù)，只可能如果p20為非整數(shù)，則需取數(shù)據(jù)中將p20整數(shù)部分加1所在位置的數(shù)，所以得到2<解得p∈40,60綜上可得p∈40,80故選C.5．A【分析】求出(x2?2)【詳解】依題意，(x二項(xiàng)式(x2?2)因此(x2?2)5(2x+1)所以所求系數(shù)為?280.故選：A6．A【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)an=45n+m，則則45+m于是1+m45=1+m故a45故選：A7．B【分析】先借助正方體對面平行的性質(zhì)，得出截面六邊形的對邊平行，進(jìn)而推得六邊形所有內(nèi)角均為120°；再通過三線共點(diǎn)、角度關(guān)系得到相關(guān)線段相等，結(jié)合勾股定理表示出六邊形各邊的長度；最后利用正方體棱長為1，計(jì)算出六邊形的周長.【詳解】設(shè)單位正方體為正方體ABCD?A′B因?yàn)镋FGHIJ這六點(diǎn)共面α，而正方體的對面相平行，所以有EF//HI,FG//IJ,GH//JE．因此∠EFG=∠HIJ,∠FGH=∠IJE,∠GHI=∠JEF．又由于六邊形EFGHIJ有3個(gè)內(nèi)角是120°，所以其所有內(nèi)角均為120設(shè)JE∩BB′=K，因?yàn)棣痢善矫鍮C′JE?α，所以K∈FG，即JE,FG,BB′三線共點(diǎn)，同理可得因?yàn)椤螷EF=∠KFE=60°，所以KE=KF，由勾股定理，可得同理，AE=AJ,A′J=進(jìn)而，EF=GH=2所以六邊形EFGHIJ的周長為EF+FG+GH+HI+IJ+JE=32故選：B8．D【分析】根據(jù)直線方程和所給角度可知OQ⊥QM，聯(lián)立直線l與雙曲線方程并根據(jù)韋達(dá)定理以及射影定理可求得以tan∠OAQ=2，再由傾斜角定義以及兩角和的正切公式代入計(jì)算可得直線【詳解】依題意作圖如下：由∠AMO+∠QOM=∠AOQ+45°+又OA=OP，所以因?yàn)橹本€l與x軸相交，可設(shè)直線l的方程為x=ky+m．聯(lián)立雙曲線C與直線l的方程，整理得k2故而yP再將直線l與直線x?y=0及直線x+y=0分別聯(lián)立，得yA所以yA+yB=?因?yàn)椤螦OB=∠AQO=90°，故由射影定理，有所以tan∠OAQ=于是直線l的斜率k′故選：D9．ABC【分析】首先明確充要條件的定義：若P是Q的充要條件，則P?Q（P能推出Q，Q也能推出P）；再由已知ab≠0的含義是a≠0且b≠0，逐一分析選項(xiàng)即可.【詳解】選項(xiàng)A：若a≠0且b≠0，則a2>0，b2a2若a2+b2>maxa則0+b2=max0,因此A是充要條件；選項(xiàng)B：若a≠0且b≠0，則a2>0，b2若a2b2>0，則a2≠0且因此B是充要條件；選項(xiàng)C：若a≠0且b≠0，則mina,b≠0，分式有意義且分子故分式≠0，充分性成立；若maxa,bmina,b≠0，則因此a≠0且b≠0，必要性成立；因此C是充要條件；選項(xiàng)D：存在反例：取a=?1，b=0，此時(shí)min{a,b}=滿足min{a,b}2故ab=(?1)×0=0，不滿足“ab≠0”，所以充分性不成立，因此D不是“ab≠0”的充要條件.綜上，符合條件的選項(xiàng)是ABC.故選：ABC.10．ABD【分析】利用二項(xiàng)分布的期望與方差公式可判定A，利用隨機(jī)變量的期望與方差公式可判定B、C，由正態(tài)分布的對稱性可判定D.【詳解】依據(jù)二項(xiàng)分布相關(guān)公式，EY依據(jù)正態(tài)分布定義，EX故而由期望可加性，EX?Y由隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望和方差的相關(guān)性質(zhì)，E2XD7Y由正態(tài)分布的相關(guān)性質(zhì)，有PX>a?b而PY=b=C故選：ABD11．CD【分析】根據(jù)圖象，可求得A=2，ω=π2判斷A；由已知條件，可求得fx=2sinπ2x，進(jìn)而可求得fn2的值判斷B；由fx=2sinπ2【詳解】由圖可知，A=2，14T=1，所以T=4，即2π因?yàn)锳=2，ω=π2，所以由圖，f1=2sinπ2所以fx又由于對任意正整數(shù)n，n2所以fn由fx=2sinπ2又因?yàn)閟ine所以f2令fx=1，則π2x=π6+2kπ或按大小排序后，可知x2n?1故選：CD12．2【分析】根據(jù)給定條件，確定圓截y軸所得弦對應(yīng)圓心角大小，再按弦心距與半徑的關(guān)系列式計(jì)算得解.【詳解】圓x2+y2?2x+ay=0，即(x?1)因此該圓在y軸左側(cè)的圓弧為劣弧，所對圓心角為2π該圓圓心到y(tǒng)軸距離是其半徑1+a24的一半，則1+故答案為：213．?【分析】先將原命題的假命題轉(zhuǎn)化為其否命題為真命題，再把式子視為關(guān)于b的方程，利用判別式得到關(guān)于a的不等式，最后分1?λ≥0和1?λ<0兩種情況分析，確定λ的取值范圍.【詳解】由題意可知，原命題的否命題：“?c∈R,?a,b∈R所以對任意實(shí)數(shù)c，方程b2?2a?1故而Δb=4a?1即關(guān)于a的不等式1?λa2?2a+1?c≥0對不等式1?λa①.若1?λ≥0,即λ≤1.當(dāng)λ=1時(shí),不等式為?2a+1?c≥0,對任意c顯然有解.當(dāng)λ<1時(shí),關(guān)于a的二次函數(shù)fa其值域包含正數(shù),故對任意c,總存在a使得fa≥0.所以②.若1?λ<0,即λ>1.關(guān)于a的二次函數(shù)ga其最大值為gmax要使不等式ga≥0對任意c都有解,則需要其最大值對任意即?λ1?λ?c≥0對任意c恒成立,這顯然是不可能的.故因此，λ的取值范圍是?∞故答案為：?14．525【分析】先由PA=PB=PC=PD確定A,B,C,D四點(diǎn)共圓且P在平面ABCD上的射影為圓心，結(jié)合三角函數(shù)值與余弦定理推導(dǎo)邊長關(guān)系，再用正弦定理求外接圓半徑，通過勾股定理表示出高PO，將四棱錐體積轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用求導(dǎo)求其最大值.【詳解】由條件可知，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，點(diǎn)并且△PBC，設(shè)∠BAD=θ,BC=x,CD=y,AB=z，則tanθ=由上可知，∠BCD=180所以由余弦定理得，x2兩式相減，得y+zy?z+20兩式相加，得2x2+所以y+z=y設(shè)圓ABCD的半徑為R，則由正弦定理知2R=BD所以R=21由條件，PB=x所以由勾股定理，PO=2120x于是四棱錐P?ABCD的體積V==設(shè)函數(shù)ft=t1求導(dǎo)得f′可知ft在t=1575故V=23f故答案為：52515．(1)tan(2)CD=【分析】（1）利用余弦定理得出acosB+bcosA=c，結(jié)合已知等式化簡得（2）通過三角函數(shù)誘導(dǎo)公式確定角A的大小，再借助△ABC與△ACD的面積比值關(guān)系，結(jié)合已知條件計(jì)算出CD的長度.【詳解】（1）由余弦定理得，acos所以由3asinB+b所以3sinB=cos所以3sinB=cos（2）由sin∠CAD=cosA2=又∠CAD=A?π2或π2?A，所以只可能是分別解得A=2π3故只有如圖情況，即D在線段BC上，且A=2于是，BCCD故CD=a16．(1)答案見解析，3%(2)120；186；有99.9%的把握認(rèn)為吸煙行為和性別有關(guān)聯(lián)【分析】（1）根據(jù)題意，摸出1個(gè)白球或1個(gè)紅球的概率都是0.5，根據(jù)題意，得到在回答問題甲的人中，大約有51人回答了“是”，在回答問題乙的人中，大約有3人回答了“是”，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到女生人數(shù)約為120人，男生人數(shù)約為186人，里列出2×2列聯(lián)表，利用公式求得χ2【詳解】（1）解：此調(diào)查方式的合理性在于，受調(diào)查者在調(diào)查過程中完全匿名，他們可以誠實(shí)地回答敏感性問題．每個(gè)學(xué)生從袋子里摸出1個(gè)白球或1個(gè)紅球的概率都是0.5，即我們期望有100人回答了問題甲，因?yàn)榛卮鸶赣H的生日日期是奇數(shù)的概率為186365所以在回答問題甲的人中，大約有51人回答了“是”，因此在回答問題乙的人中，大約有3人回答了“是”，由此估計(jì)該校學(xué)生中大約有3%的人會吸煙.（2）解：依題意知，該校男生和女生各有3000人，同（1），可以估計(jì)該校對問題甲回答“是”的人數(shù)約為3000×0.51=1530人，所以對問題乙回答“是”的人數(shù)約為1836?1530=306人，即吸煙人數(shù)約為306人，其中女生人數(shù)約為306×7201836=120故有吸煙行為的女生約有120人，沒有吸煙行為的女生約有2880人，有吸煙行為的男生約有186人，沒有吸煙行為的男生約有2814人.作出2×2列聯(lián)表如下：性別吸煙情況合計(jì)有吸煙無吸煙男生12028803000合計(jì)30656946000零假設(shè)H0由2×2列聯(lián)表，可知a=186,b=2814,c=120,d=2880,n=6000，所以χ2根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0即認(rèn)為吸煙行為和性別有關(guān)聯(lián)，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001，所以有99.9%的把握認(rèn)為吸煙行為和性別有關(guān)聯(lián).17．(1)證明見解析(2)313【分析】（1）連接AD,AE，證得△AOE?△ADE，得到∠AEO=∠AED，證得AE⊥OD，再由SO⊥平面AOD，得到SO⊥AE，利用線面垂直的判定定理，證得AE⊥平面SOD，即可證得SD⊥AE.（2）法一：作SF⊥BD，由勾股定理求得SF=132R，得到S△SBD=394R2法二：以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)OA=1，求得向量SC=0,1,?3和平面SBD【詳解】（1）證明：連接AD,AE，因?yàn)镃為AB的中點(diǎn)，知OC⊥AB，又因?yàn)锳B為直徑，知∠ADE=90因?yàn)镺E=DE，AE=AE，所以△AOE?△ADESAS又因?yàn)镺E=DE，所以AE⊥OD，由圓錐的定義，可得SO⊥平面AOD，因?yàn)锳E?平面AOD，所以SO⊥AE，又因?yàn)镾O∩OD=O，SO,OD?平面SOD，AE⊥OD,SO⊥AE，所以AE⊥平面SOD，因?yàn)镾D?平面SOD，所以SD⊥AE.（2）解法一：由OE⊥AB，OA=OB，可得AE=BE，所以又由∠BAD+∠ABD=90°，所以3∠ABE=90所以∠CBD=∠CBA?∠ABE=45故∠OSC=∠OSD=2∠CBD=30設(shè)OA=R，則OS=OC且BD=AB如圖所示，作SF⊥BD于F，因?yàn)镾D=SB，所以BF=DF=3在直角△SDF中，由勾股定理得SF=S所以S△SBD又因?yàn)閂S?BCD設(shè)h為C到平面SBD的距離，則VS?BCD所以h=3設(shè)直線SC和平面SDB所成角為θ，可得sinθ=所以直線SC和平面SDB所成角的正弦值為313解法二：因?yàn)镃為AB的中點(diǎn)，知OC⊥AB，且SO⊥平面AOD，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A,OC,如圖所示，不妨設(shè)OA=1，可得OB=OC=AD=1,OS=3且△AOD則A1,0,0所以向量SB=設(shè)平面SBD的法向量為n=x,y,z，則取z=1，則x=?3,y=3．所以設(shè)直線SC與平面SDB的所成角為θ，則sinθ=所以直線SC和平面SDB所成角的正弦值為31318．(1)x(2)（i）±32；（ii）【分析】（1）由橢圓E與圓O恰好只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，r=2或4，畫出分析得出a,b（2）（i）解法一：由題意畫出圖形，設(shè)PxP,yP，QxQ,y（i）解法二：由題意畫出圖形，設(shè)PxP,yP，QxQ,yQ，聯(lián)立直線l的方程與圓（ii）解法一：作OH⊥PQ于H，畫出圖形，利用平面向量基本定理以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示出OA+（ii）解法二：畫出圖形，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示出OA+【詳解】（1）由橢圓E與圓O恰好只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，r=2如圖所示：由圖可得：則a=4，b=2，所以橢圓E（2）解法一（i）由題意如圖所示：設(shè)Px將直線l的方程與圓O聯(lián)立，得到：y=kx+1x消去y，并整理得1+k因?yàn)镼不在y軸上，所以xP=0,xQ=?設(shè)點(diǎn)Ax因?yàn)锳，B都在橢圓上，所以兩式相減，得x1因?yàn)镼是AB中點(diǎn)，所以x1所以x1即xQ又y1?y因?yàn)閗≠0，所以?1解得k=±32，故所求k的值為（ii）作OH⊥PQ于H，如圖所示由垂徑定理知，H為PQ中點(diǎn)，所以O(shè)P+故OA因?yàn)镺H⊥PQ，所以由點(diǎn)O0,0到直線l:y=kx+1d=OH=k·0?0+1k所以O(shè)P·所以O(shè)A+將直線l的方程與橢圓E聯(lián)立，得到y(tǒng)=kx+1消去y，并整理得1+8k其中，Δ=256根據(jù)韋達(dá)定理，有x1所以y=k×?16k故OA=22令15k30k2+2當(dāng)且僅當(dāng)l=98l即l=7故OA+OB·解法二：（i）由題意如圖所示：設(shè)Px將直線l的方程與圓O聯(lián)立，得到：y=kx+1x消去y，并整理得1+k因?yàn)镼不在y軸上，所以xP=0