2/52026年高考第一次模擬考試高三數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)的實部為（

）A． B． C． D．3．對于等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在中，D為BC中點，，，若，則（

）A． B． C． D．5．四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（

）A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2B．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C．平均數(shù)為2，方差為2.4D．中位數(shù)為3，方差為2.86．《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，直角三角形中最小的一個角為，且小正方形與大正方形的面積之比為，則（

）

A． B． C． D．7．已知正三棱錐的體積為，高為2，點是的中點，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．已知，則下列關(guān)系不可能成立的是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知為隨機事件，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若為互斥事件，則B．若為互斥事件，則C．若相互獨立，則D．若，則10．若動直線與圓相交于兩點，則（

）A．直線過定點B．的最小值為C．的最小值為D．過直線上一點作圓C的切線，切線長的最小值是11．在四面體中，，其余各棱長均為2，則該四面體的（）A．表面積為 B．體積為C．外接球的半徑為 D．內(nèi)切球的半徑為第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態(tài)．若，，與的夾角為45°，則與夾角的余弦值為．13．若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是．14．在銳角中，分別是角的對邊，且，則的最小值是．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）有750粒試驗種子需要播種，現(xiàn)有兩種方案：方案一，將750粒種子分種在250個坑內(nèi)，每坑3粒；方案二，將750粒種子分種在375個坑內(nèi)，每坑2粒.已知每粒種子發(fā)芽的概率均為0.6，并且，若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種；若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種(每個坑至多補種一次，且補種的種子同第一次).假定每個坑第一次播種需要2元，補種(按相應(yīng)方案補種相應(yīng)粒數(shù))1個坑需1元，每個成活的坑可收獲125粒試驗種子，每粒試驗種子收益1元.（1）用X元表示播種費用，分別求出兩種方案的數(shù)學(xué)期望；（2）如果在某塊試驗田對該種子進行試驗，你認為應(yīng)該選擇哪種方案？16．（15分）如圖，在四棱錐中，為矩形，且(1)求證：平面；(2)求線段長；(3)若（與在平面的兩側(cè)），設(shè)三棱錐體積為，四棱錐體積為，且．求平面與平面所成夾角的余弦值．17．（15分）如圖，已知橢圓的左，右焦點分別為，離心率為，長軸長為．

(1)求的方程；(2)過焦點的直線交于，兩點，過焦點的直線交于，兩點，且軸，.（i）求的值；（ii）設(shè)線段的中點為為坐標(biāo)原點，求的取值范圍．18．（17分）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性．(2)已知，函數(shù)，且僅有兩個零點．①求的取值范圍；②證明：的兩個零點之積小于1．19．（17分）經(jīng)典比特只能處于0態(tài)或1態(tài)，而量子計算機的量子比特可同時處于0與1的疊加態(tài)，故每個量子比特處于0態(tài)或1態(tài)是基于概率進行計算的.現(xiàn)假設(shè)某臺量子計算機以每個粒子的自旋狀態(tài)作為是子比特，且自旋狀態(tài)只有上旋與下旋兩種狀態(tài)，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子間的自旋狀態(tài)相互獨立.現(xiàn)將兩個初始狀態(tài)均為疊加態(tài)的粒子輸入第一道邏輯門后，粒子自旋狀態(tài)等可能的變?yōu)樯闲蛳滦?，再輸入第二道邏輯門后，粒子的自旋狀態(tài)有的概率發(fā)生改變，記通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數(shù)為.(1)若通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數(shù)為2，且，求兩個粒子通過第一道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為2的概率；(2)若一條信息有種可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為，，…，，則稱（其中）為這條信息的信息熵.試求兩個粒子通過第二道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為的信息熵；(3)將一個下旋粒子輸入第二道邏輯門，當(dāng)粒子輸出后變?yōu)樯闲Ｗ訒r則停止輸入，否則重復(fù)輸入第二道邏輯門直至其變?yōu)樯闲Ｗ?，設(shè)停止輸入時該粒子通過第二道邏輯門的次數(shù)為（，2，3，?，，?）.證明：當(dāng)無限增大時，的數(shù)學(xué)期望趨近于一個常數(shù).參考公式：時，．

2026年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)·全解全析（考試時間：120分鐘，分值：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得到，即，所以，由，因為時，所以得到，所以，所以，故選：D.2．復(fù)數(shù)的實部為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】,故的實部為，故選：B.3．對于等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】是等比數(shù)列，則，，，等價于，當(dāng)時，，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)時，，則數(shù)列不一定遞增，如時，，不能推出為單調(diào)遞增數(shù)列，不滿足充分性；若為單調(diào)遞增數(shù)列，則對于任意，有，令，則，為單調(diào)遞增數(shù)列能推出，滿足必要性，“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故A正確．故選：A．4．在中，D為BC中點，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因，則，即，則，因D為BC中點，則，因，則，即，則，則，因，D為BC中點，則，即，得.

故選：A5．四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（

）A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2B．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C．平均數(shù)為2，方差為2.4D．中位數(shù)為3，方差為2.8【答案】C【詳解】對于A，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點數(shù)6，故A錯誤；對于B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點數(shù)6，故B錯誤；對于C，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)6點，則方差，則平均數(shù)為2，方差為時，一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6，故C正確；對于D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時，滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為，方差為，可以出現(xiàn)點數(shù)6，故D錯誤；故選：C6．《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，直角三角形中最小的一個角為，且小正方形與大正方形的面積之比為，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)大正方形的邊長為，則小正方形的邊長為，依題意可得，故，即，解得或.因為，則，故.故選：C7．已知正三棱錐的體積為，高為2，點是的中點，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)正三棱錐的底面邊長為，則正三角形的面積為，因為正三棱錐，所以.過點作平面的垂線，垂足為，則，所以正三棱錐的體積為，即，解得，連接并延長交于點，則點是的中點，所以，，連接，則，則，所以的面積為，設(shè)點到平面的距離為，所以，解得，因為點是的中點，所以點到平面的距離為，在中，，由余弦定理得，在中，，，由余弦定理得，解得，設(shè)與平面所成的角為，則.

故選：D.8．已知，則下列關(guān)系不可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，令，則，，，令，，和，則a，b，c可分別視為函數(shù)，，的圖象與直線交點的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，，和的圖像，如圖，觀察圖象得：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，顯然不可能，所以不可能成立的是.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知為隨機事件，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若為互斥事件，則B．若為互斥事件，則C．若相互獨立，則D．若，則【答案】ACD【詳解】對于A，若為互斥事件，則，即可得A正確；對于B，由可得，又為互斥事件，則，又，即B錯誤；對于C，若相互獨立，則,所以，即C正確；對于D，若，所以；可得，所以，即D正確.故選：ACD10．若動直線與圓相交于兩點，則（

）A．直線過定點B．的最小值為C．的最小值為D．過直線上一點作圓C的切線，切線長的最小值是【答案】ABD【詳解】對于A，由，可得，故直線恒過定點，故A正確；對于B，圓，圓心為，半徑為3，由圓的性質(zhì)可得當(dāng)時，最小，此時，故B正確；對于C，取的中點，則，又，則圓心到直線的距離，所以，則的最大值為，故C錯誤；對于D，設(shè)為直線上任意一點，過點作圓的切線，則切線長為，要使切線長取最小值，則有最小值，即圓心到直線距離最短，當(dāng)與直線垂直時，有最小值，即，所以切線長取最小值為，故D正確.故選：ABD．11．在四面體中，，其余各棱長均為2，則該四面體的（）A．表面積為 B．體積為C．外接球的半徑為 D．內(nèi)切球的半徑為【答案】BD【詳解】由題意得：兩個等邊三角形的面積為，兩個等腰三角形的面積為，所以四面體的表面積為，故A錯誤；取的中點，由等邊三角形的性質(zhì)可得：，由于平面，所以平面，由此可得等腰三角形面積為，所以四面體的體積為，故B正確；設(shè)內(nèi)切球半徑為，根據(jù)等體積公式可得：，故D正確；由兩個等邊三角形的外心分別為，可得，過分別作兩個平面平面的垂線，相交于點，根據(jù)球心的性質(zhì)可知，點為四面體的外接球球心，由于三角形是等腰三角形，可知點在等腰三角形的底邊角平分線上，則有，即，又因為，所以，所以外接球半徑為，故C不正確；故選：BD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態(tài)．若，，與的夾角為45°，則與夾角的余弦值為．【答案】【詳解】∵三個力平衡，∴，∴.設(shè)與的夾角為，則，即，解得.故答案為：13．若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是．【答案】100【詳解】由題意，正項數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，則（為常數(shù)），所以正項數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，則，則，則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以的最大值是100.故答案為：100.14．在銳角中，分別是角的對邊，且，則的最小值是．【答案】【詳解】對兩邊同乘得，由正弦定理得，因為，所以，因為為銳角三角形，所以，所以，解得，，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）有750粒試驗種子需要播種，現(xiàn)有兩種方案：方案一，將750粒種子分種在250個坑內(nèi)，每坑3粒；方案二，將750粒種子分種在375個坑內(nèi)，每坑2粒.已知每粒種子發(fā)芽的概率均為0.6，并且，若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種；若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種(每個坑至多補種一次，且補種的種子同第一次).假定每個坑第一次播種需要2元，補種(按相應(yīng)方案補種相應(yīng)粒數(shù))1個坑需1元，每個成活的坑可收獲125粒試驗種子，每粒試驗種子收益1元.（1）用X元表示播種費用，分別求出兩種方案的數(shù)學(xué)期望；（2）如果在某塊試驗田對該種子進行試驗，你認為應(yīng)該選擇哪種方案？15．（13分）【詳解】解：（1）方案一：一個坑內(nèi)三粒種子都不發(fā)芽的概率為，所以一個坑內(nèi)至少有一粒種子發(fā)芽的概率用元表示一個坑的播種費用，則的可能取值是2，3，所以，所以的分布列為：23P所以，所以；方案二：一個坑內(nèi)兩粒種子都不發(fā)芽的概率為，所以一個坑內(nèi)至少有一粒種子發(fā)芽的概率；用元表示一個坑的播種費用，則的可能取值為2，3，所以，所以的分布列為：23P所以，所以；（2）設(shè)收益為Y元，方案一：用元表示一個坑的收益，則Y1的可能取值為0，125，的分布列為：0125P所以，所以；方案二：用元表示一個坑的收益，則Y2的可能取值為0，125，的分別列為：0125P所以，所以，因為方案二所需的播種費用比方案一只多了294元，但是收益比方案一多14553元，故應(yīng)該選擇方案二.16．（15分）如圖，在四棱錐中，為矩形，且(1)求證：平面；(2)求線段長；(3)若（與在平面的兩側(cè)），設(shè)三棱錐體積為，四棱錐體積為，且．求平面與平面所成夾角的余弦值．16．（15分）【解析】（1）在中，，，解得，，，又為矩形，，，平面，平面，平面；（2）由（1）知，平面，，平面，平面，，在三角形中，，，又，；（3）取的中點，平面，平面，平面平面，，平面平面，平面平面,平面內(nèi)，平面，又，，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易得，，，，，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，得到，令，得，，則；設(shè)平面的法向量，則，得到，解得，令，，則，設(shè)平面與平面所成夾角為，則，即平面與平面所成夾角的余弦值.17．（15分）如圖，已知橢圓的左，右焦點分別為，離心率為，長軸長為．

(1)求的方程；(2)過焦點的直線交于，兩點，過焦點的直線交于，兩點，且軸，.（i）求的值；（ii）設(shè)線段的中點為為坐標(biāo)原點，求的取值范圍．17．（15分）（1）由橢圓的長軸長為，得，由離心率為，得橢圓的半焦距，則，所以橢圓的方程為.（2）（i）設(shè)，則，且，而，依題意，，直線方程為，由消去得，則，解得，由，得；直線方程為，由，得，則，解得，由，得，所以.（ii）由（i）得，則線段的中點，，令，則，，所以的取值范圍是.18．（17分）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性．(2)已知，函數(shù)，且僅有兩個零點．①求的取值范圍；②證明：的兩個零點之積小于1．18．（17分）【解析】（1）由可知，對于方程，若，即或，①當(dāng)時，有兩個不等正實根，此時在上，在上，當(dāng)，有兩個不等負實根，此時在上，②若時，恒成立，此時在上，綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時，，記，則，顯然時，，時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，①令，則，記，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，要與有交點，需，又時，，時，，所以時，與只有一個交點，若，此時，則，不符合題意，若，此時有兩個解記為，所以；②由上知，不妨設(shè)，顯然，令，則，所以在上單調(diào)遞