2025年數(shù)學必修二五試題及答案

一、填空題（每題2分，共20分）1.在空間直角坐標系中，點A的坐標為________，點B的坐標為________，則向量AB的模長為________。2.若直線l的方程為Ax+By+C=0，且點P(x?,y?)在直線l上，則點P到直線l的距離d=________。3.圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，則圓心坐標為________，半徑為________。4.拋物線的標準方程為y2=2px，其中p>0，則拋物線的焦點坐標為________，準線方程為________。5.雙曲線的標準方程為x2/a2-y2/b2=1，其中a>0，b>0，則雙曲線的焦點坐標為________，離心率為________。6.橢圓的標準方程為x2/a2+y2/b2=1，其中a>b>0，則橢圓的焦點坐標為________，離心率為________。7.若向量u=(u?,u?)和向量v=(v?,v?)，則向量u和向量v的點積為________。8.若向量u=(u?,u?)和向量v=(v?,v?)，則向量u和向量v的叉積為________。9.空間中直線l的方向向量為(1,2,3)，則直線l的斜率為________。10.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，則a的取值范圍是________。二、判斷題（每題2分，共20分）1.若直線l?和直線l?的斜率相等，則l?和l?平行。（）2.圓的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，則圓心坐標為(1,-2)。（）3.拋物線的標準方程為y2=4x，則拋物線的焦點坐標為(1,0)。（）4.雙曲線的標準方程為x2/9-y2/16=1，則雙曲線的焦點坐標為(±5,0)。（）5.橢圓的標準方程為x2/25+y2/16=1，則橢圓的焦點坐標為(±3,0)。（）6.若向量u=(1,2)和向量v=(3,4)，則向量u和向量v的點積為11。（）7.若向量u=(1,2)和向量v=(3,4)，則向量u和向量v的叉積為(1×4-2×3,2×3-1×4)。（）8.空間中直線l的方向向量為(1,1,1)，則直線l的斜率為1。（）9.若函數(shù)f(x)=x2-4x+4的圖像開口向上，則a的取值范圍是a>0。（）10.若直線l的方程為x+y=1，則直線l的斜率為-1。（）三、選擇題（每題2分，共20分）1.下列哪個方程表示一條直線？（）A.x2+y2=1B.y=x2C.x+y=1D.x2-y=12.圓的方程為(x-2)2+(y-3)2=9，則圓心坐標為？（）A.(2,3)B.(-2,-3)C.(3,2)D.(-3,-2)3.拋物線的標準方程為y2=8x，則拋物線的焦點坐標為？（）A.(2,0)B.(-2,0)C.(0,2)D.(0,-2)4.雙曲線的標準方程為x2/16-y2/9=1，則雙曲線的焦點坐標為？（）A.(±5,0)B.(0,±5)C.(±4,0)D.(0,±4)5.橢圓的標準方程為x2/36+y2/25=1，則橢圓的焦點坐標為？（）A.(±5,0)B.(0,±5)C.(±6,0)D.(0,±6)6.若向量u=(2,3)和向量v=(4,5)，則向量u和向量v的點積為？（）A.22B.20C.12D.87.若向量u=(2,3)和向量v=(4,5)，則向量u和向量v的叉積為？（）A.(2×5-3×4,3×4-2×5)B.(2×5+3×4,3×4+2×5)C.(2×5-3×4,3×4-2×5)D.(2×5+3×4,3×4-2×5)8.空間中直線l的方向向量為(2,3,4)，則直線l的斜率為？（）A.2B.3C.4D.19.若函數(shù)f(x)=2x2-4x+2的圖像開口向上，則a的取值范圍是？（）A.a>0B.a<0C.a≥0D.a≤010.若直線l的方程為2x-y=1，則直線l的斜率為？（）A.2B.-2C.1/2D.-1/2四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述直線l的斜率與直線l的傾斜角之間的關(guān)系。2.簡述橢圓的標準方程及其幾何意義。3.簡述雙曲線的標準方程及其幾何意義。4.簡述拋物線的標準方程及其幾何意義。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論向量u和向量v的點積的性質(zhì)及其應(yīng)用。2.討論向量u和向量v的叉積的性質(zhì)及其應(yīng)用。3.討論空間中直線l的方向向量與直線l的斜率之間的關(guān)系。4.討論函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口方向與a的取值范圍之間的關(guān)系。答案和解析一、填空題1.在空間直角坐標系中，點A的坐標為(x?,y?,z?)，點B的坐標為(x?,y?,z?)，則向量AB的模長為√[(x?-x?)2+(y?-y?)2+(z?-z?)2]。2.若直線l的方程為Ax+By+C=0，且點P(x?,y?)在直線l上，則點P到直線l的距離d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)。3.圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，則圓心坐標為(a,b)，半徑為r。4.拋物線的標準方程為y2=2px，其中p>0，則拋物線的焦點坐標為(0,p/2)，準線方程為x=-p/2。5.雙曲線的標準方程為x2/a2-y2/b2=1，其中a>0，b>0，則雙曲線的焦點坐標為(±c,0)，離心率為c/a，其中c=√(a2+b2)。6.橢圓的標準方程為x2/a2+y2/b2=1，其中a>b>0，則橢圓的焦點坐標為(±c,0)，離心率為c/a，其中c=√(a2-b2)。7.若向量u=(u?,u?)和向量v=(v?,v?)，則向量u和向量v的點積為u?v?+u?v?。8.若向量u=(u?,u?)和向量v=(v?,v?)，則向量u和向量v的叉積為(u?v?-u?v?,u?v?-u?v?)。9.空間中直線l的方向向量為(1,2,3)，則直線l的斜率為2/1=2。10.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，則a的取值范圍是a>0。二、判斷題1.錯誤。若直線l?和直線l?的斜率相等，則l?和l?平行或重合。2.正確。圓的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，則圓心坐標為(1,-2)。3.錯誤。拋物線的標準方程為y2=4x，則拋物線的焦點坐標為(1,0)。4.正確。雙曲線的標準方程為x2/9-y2/16=1，則雙曲線的焦點坐標為(±5,0)。5.錯誤。橢圓的標準方程為x2/25+y2/16=1，則橢圓的焦點坐標為(±3,0)。6.正確。若向量u=(1,2)和向量v=(3,4)，則向量u和向量v的點積為1×3+2×4=11。7.錯誤。若向量u=(1,2)和向量v=(3,4)，則向量u和向量v的叉積為(1×4-2×3,2×3-1×4)=(-2,2)。8.錯誤。空間中直線l的方向向量為(1,1,1)，則直線l的斜率不存在。9.正確。若函數(shù)f(x)=x2-4x+4的圖像開口向上，則a的取值范圍是a>0。10.正確。若直線l的方程為x+y=1，則直線l的斜率為-1。三、選擇題1.C.x+y=12.A.(2,3)3.A.(2,0)4.A.(±5,0)5.A.(±5,0)6.A.227.A.(2×5-3×4,3×4-2×5)8.D.19.A.a>010.C.1/2四、簡答題1.直線l的斜率與直線l的傾斜角之間的關(guān)系是：直線l的斜率k等于直線l的傾斜角θ的正切值，即k=tanθ。當傾斜角θ為0度時，斜率k為0；當傾斜角θ為90度時，斜率k不存在；當傾斜角θ為銳角時，斜率k為正；當傾斜角θ為鈍角時，斜率k為負。2.橢圓的標準方程為x2/a2+y2/b2=1，其中a>b>0。幾何意義是：橢圓是一個平面曲線，其上的每一點到兩個焦點的距離之和等于2a。橢圓的焦點位于長軸上，長軸的長度為2a，短軸的長度為2b。3.雙曲線的標準方程為x2/a2-y2/b2=1，其中a>0，b>0。幾何意義是：雙曲線是一個平面曲線，其上的每一點到兩個焦點的距離之差的絕對值等于2a。雙曲線的焦點位于實軸上，實軸的長度為2a，虛軸的長度為2b。4.拋物線的標準方程為y2=2px，其中p>0。幾何意義是：拋物線是一個平面曲線，其上的每一點到焦點的距離等于該點到準線的距離。拋物線的焦點位于對稱軸上，對稱軸的長度為2p。五、討論題1.向量u和向量v的點積的性質(zhì)是：點積是一個標量，其值等于兩個向量的模長之積與它們夾角的余弦值之積。點積的應(yīng)用包括：計算向量的模長、判斷向量的方向關(guān)系、計算投影等。2.向量u和向量v的叉積的性質(zhì)是：叉積是一個向量，其方向垂直于u和v所確定的平面，其模長等于u和v的模長之積