高中數(shù)學(xué)精編資源2/2重難點(diǎn)6-1數(shù)列通項(xiàng)公式求法6大題型:題型2Sn與an關(guān)系求通項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng)公式求法是高考數(shù)學(xué)的必考考點(diǎn),通常在選擇題、填空題與解答題第一問中考查.難度中等,但有時(shí)在同一個(gè)題目中會(huì)涉及到多種方法綜合性較強(qiáng).一、利用與的關(guān)系求通項(xiàng)公式1、利用求通項(xiàng)時(shí),要注意檢驗(yàn)n=1時(shí)的情況.已知求的三個(gè)步驟:(1)先利用求出.(2)用替換中的得到一個(gè)新的關(guān)系,利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式.(3)對時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),看是否符合時(shí)的表達(dá)式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫;如果不符合,則應(yīng)該分與兩段來寫.2、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)條件求數(shù)列通項(xiàng)公式的基本思路是兩個(gè):將和轉(zhuǎn)化為項(xiàng),即利用將和轉(zhuǎn)化為項(xiàng).(2)可將條件看作是數(shù)列的遞推公式,先求出,然后題目即轉(zhuǎn)化為已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,求數(shù)列通項(xiàng)公式.二、累加法求通項(xiàng)1、適用于:…………這是廣義的等差數(shù)列2、若則;……,,兩邊分別相加得:三、累乘法求通項(xiàng)1、適用于:…………這是廣義的等比數(shù)列2、若,則,,……,,,兩邊分別相乘得:四、構(gòu)造法求通項(xiàng)對于不滿足,,形式的數(shù)列常采用構(gòu)造法,對所給的遞推公式進(jìn)行變形構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求解,常用方法如下:1、形如型=1\*GB3①若時(shí),數(shù)列為等差數(shù)列;=2\*GB3②若時(shí),數(shù)列為等比數(shù)列;=3\*GB3③若,時(shí),數(shù)列為線性遞推數(shù)列,其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.(1)待定系數(shù)法:設(shè),得,與題設(shè)比較系數(shù)得:,所以所以有:因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng),以c為公比的等比數(shù)列.(2)逐項(xiàng)相減法(階差法):有時(shí)我們從遞推關(guān)系中把n換成n-1有,兩式相減有:,從而化為公比為的等比數(shù)列,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式,再利用累加法即可求得通項(xiàng)公式.我們可以看到此方法比較復(fù)雜.2、形如:(其中是常數(shù),且)=1\*GB3①若時(shí),即:累加即可.=2\*GB3②若時(shí),即:求通項(xiàng)方法有以下三種方法:(1)兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列,即:,令,則,然后累加法求通項(xiàng).(2)兩邊除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等比數(shù)列,即:,令,則可化為,然后待定系數(shù)法求通項(xiàng)即可.(3)待定系數(shù)法:目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列設(shè),通過比較系數(shù),求出,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).注意:應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí),要求,否則待定系數(shù)法會(huì)失效.3、形如(其中,是常數(shù),且)(1)逐項(xiàng)相減法(階差法)(2)待定系數(shù)法通過配湊可轉(zhuǎn)化為解題基本步驟:=1\*GB3①確定=2\*GB3②設(shè)等比數(shù)列,公比為=3\*GB3③列出關(guān)系式,即=4\*GB3④比較系數(shù)求,=5\*GB3⑤解得數(shù)列的通項(xiàng)公式,并得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【題型2Sn與an關(guān)系求通項(xiàng)】【例1】(2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,點(diǎn)在曲線上,則()A.B.C.D.【答案】A【解析】由題知,所以,當(dāng)時(shí),,解得或(舍),當(dāng)時(shí),,,所以,兩式作差得,整理得:,因?yàn)?所以,所以,,所以,數(shù)列是以為首項(xiàng)與公差的等差數(shù)列,所以.故選:A【變式1-1】(2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測)數(shù)列的前項(xiàng)和為,則數(shù)列的前項(xiàng)和為()A.B.C.D.【答案】D【解析】依題意,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,即,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),由得,兩式相減得,也符合上式,所以,,所以數(shù)列是等比數(shù)列,首項(xiàng)為,公比為.所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選:D【變式1-2】(2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)統(tǒng)考二模)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,對一切正整數(shù)n,點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,(且),則數(shù)列的前n項(xiàng)和為()A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意知①,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),②,①-②,得,若,,符合題意,所以,則,所以,則.故選:D.【變式1-3】(2023·北京東城·統(tǒng)考一模)已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),,為其前n項(xiàng)和.若是公差為的等差數(shù)列,則______,______.【答案】;【解析】由題意知,,由,得,,又等差數(shù)列的公差為,所以,即,解得,所以,解得,當(dāng)時(shí),,得,當(dāng)時(shí),,與題意中的相符,所以.【變式1-4】(2023·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且是和的等差中項(xiàng).用表示不超過的最大整數(shù),設(shè),則數(shù)列的通項(xiàng)公式是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由是和的等差中項(xiàng),得.當(dāng)時(shí),所以,即,因?yàn)?所以,所以是以為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,所以.,所以,,,,,,所以,即數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以,即.故選:C.【變式1-4】(2023·