【第17講：兩角和差的正弦，余弦和正切公式】【新高考課程要求】1.推導(dǎo)公式：經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程，知道其意義。并能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。2.掌握公式：掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，即，，，并能熟練運(yùn)用這些公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。3.簡單應(yīng)用：能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的恒等變換，包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶，但要了解推導(dǎo)過程，能在變換過程中合理運(yùn)用。同時(shí)，能將公式應(yīng)用于三角函數(shù)的化簡、求值、證明等問題，解決與三角函數(shù)相關(guān)的實(shí)際問題或綜合問題?！局R(shí)梳理】一、核心公式（必須熟記）1.兩角和與差的余弦公式 *記憶要點(diǎn)：余弦“余余正正，符號相反”（和角為減，差角為加）*2.兩角和與差的正弦公式 *記憶要點(diǎn)：正弦“正余余正，符號相同”（和角為加，差角為減）*3.兩角和與差的正切公式 *適用條件：（），否則正切無意義*二、公式間的內(nèi)在聯(lián)系 推導(dǎo)邏輯：以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)（可通過單位圓或向量推導(dǎo)），利用誘導(dǎo)公式（如）推導(dǎo)出正弦公式，再由推導(dǎo)出正切公式。 與二倍角公式的關(guān)聯(lián)：當(dāng)時(shí)，兩角和公式可直接轉(zhuǎn)化為二倍角公式（如），體現(xiàn)“特殊與一般”的關(guān)系。三、常用變形公式（高頻應(yīng)用）1.正切公式的變形（角的拆分） *用途：已知和時(shí)，求，或化簡含與的表達(dá)式。*2.輔助角公式（正弦型合一） ，其中（的象限由符號確定）。 *推導(dǎo)：利用，對比系數(shù)得，。* *用途：將形如的式子化為單一正弦函數(shù)，便于求最值、周期等。*3.角的拆分技巧（“湊角”法） ， *用途：已知的三角函數(shù)值，求或的三角函數(shù)值（如）。*4.余弦公式的逆用與變形 （積化和差，不要求記憶，但需會(huì)推導(dǎo)） （積化和差） *用途：化簡含三角函數(shù)乘積的式子，如可通過積化和差逐步化簡。*5.正弦公式的逆用 （積化和差） （積化和差） *用途：與正弦相關(guān)的乘積式化簡，如可轉(zhuǎn)化為和角形式。*四、易錯(cuò)點(diǎn)提醒1.正切公式的定義域：使用時(shí)，需確保均不等于（），否則公式不成立。2.符號錯(cuò)誤：兩角差的余弦公式是“”，而和角是“”，易混淆。3.湊角時(shí)的角的范圍：拆分角后，需明確新角的象限，避免三角函數(shù)值符號判斷錯(cuò)誤（如為鈍角，為銳角，則可能為銳角或直角）?！菊n前自測】1．計(jì)算：（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩角和的正切公式化簡即可．【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：D．2．已知，，，則；．【答案】3/1.2【分析】第一空：先求出，再由的兩角差的正切公式求解；第二空：由誘導(dǎo)公式及三角恒等變換化簡為，進(jìn)行求解．【詳解】因?yàn)椋?，則，所以，則；．故答案為：3；.3．已知在中，，，則的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系得出，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式即可求解．【詳解】由已知得，則，所以，故選：D．4．計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)和差的余弦公式和積化和差角公式對原式進(jìn)行化簡即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?同理，由積化和差角公式可得，，則.所以.故.故答案為：.5．若、都是銳角，且，，則．【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算，由，利用兩角差的正弦公式即可求解.【詳解】由題意有，所以，又，，所以，所以，又，所以，故答案為：.6．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及和角的正弦求解.【詳解】.故選：C7．已知，，且，則．【答案】/【分析】利用和差公式化簡可得，即，再根據(jù)同角三角函數(shù)求值即可.【詳解】，，聯(lián)立得，由，得，可得，，所以或（舍）．故答案為：8．下列式子運(yùn)算正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)同角的平方關(guān)系計(jì)算即可判斷A；根據(jù)兩角和的余弦公式計(jì)算即可判斷B；根據(jù)二倍角的正切公式計(jì)算即可判斷C；根據(jù)兩角和正切公式計(jì)算即可判斷D.【詳解】A：，故A正確；B：，故B錯(cuò)誤；C：由得所以，故C正確；D：，，，故D正確.故選：ACD9．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件關(guān)系及兩角和余弦公式條件可化簡為，結(jié)合誘導(dǎo)公式結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)及角的范圍可得，由此可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，即，整理得，即；因?yàn)?，由于，，所以，即，故選：C．10．在中，為銳角，且，，求．【答案】．【分析】根據(jù)的三角函數(shù)值，結(jié)合為銳角判斷出為鈍角，再利用同角平方關(guān)系和兩角差的余弦公式求解.【詳解】依題意，所以，，則或，因?yàn)闉殇J角，知為鈍角．，，．又，，從而，所以．題型題型分類知識(shí)講解與常考題型【考點(diǎn)一：公式的基本應(yīng)用】【例題】1．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由任意角的三角函數(shù)的定義結(jié)合和角公式求解即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，則，.所以.故選：B2．已知，，，，則．【答案】【分析】根據(jù)同角關(guān)系以及余弦的和差角公式即可求解.【詳解】由以及可得，故，由以及可得，故，故，，故，故答案為：3．（1）已知，且，求的值；（2）已知，且及，求的值.【答案】（1），（2）【分析】（1）根據(jù)同角關(guān)系以及余弦的和差角公式求解，（2）根據(jù)同角關(guān)系以及正弦的和角公式即可求解.【詳解】（1）由，可得，由，可得，則，，（2）由，可得，由，則，，由于，故【針對訓(xùn)練】4．已知為第一象限角，為第二象限角，且，(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出，再根據(jù)兩角差的余弦公式計(jì)算即可；（2）首先求出，，再利用兩角和的正切公式計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，，則，所以，則；（2）由為第一象限角，，則，所以，由于為第二象限角，，則，所以，則.5．已知，則.【答案】【分析】由兩角和正弦公式及切化弦得到，進(jìn)而可求解.【詳解】由，可得，由，可得：，即，聯(lián)立可得：，所以，故答案為：6．已知角的終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函數(shù)定義求出，，再利用兩角和的正弦公式求出的值即可.【詳解】由角的終邊上一點(diǎn)，則，，則，故選：C.【解題策略】一、“給值求值”問題：明確已知與未知的角關(guān)系核心思路：通過“角的拆分”將未知角表示為已知角的和、差或倍數(shù)，再代入公式計(jì)算。步驟與技巧：1.分析角的聯(lián)系：觀察未知角與已知角的關(guān)系，常用拆分方式： 如求，若已知和的三角函數(shù)值，直接用和角公式； 若已知和，則； 若已知和，則，。2.確定三角函數(shù)值的符號：根據(jù)角的范圍（如“為第二象限角”“”）判斷待求三角函數(shù)值的符號（正或負(fù)），避免漏解。3.代入公式計(jì)算：優(yōu)先選擇包含已知角的公式，若涉及正切，需先確認(rèn)角是否使正切有意義（即不為）。二、“給值求角”問題：先求角的三角函數(shù)值，再定范圍核心思路：通過公式求出未知角的某個(gè)三角函數(shù)值（優(yōu)先選擇正弦、余弦，因其在內(nèi)單調(diào)性明確），結(jié)合角的范圍確定唯一解。步驟與技巧：1.選擇合適的三角函數(shù)： 若角的范圍在，選正弦或正切； 若在，選余弦（余弦在此區(qū)間單調(diào)遞減，便于唯一確定角）； 避免選擇正切在角范圍包含時(shí)使用。2.縮小角的范圍：根據(jù)已知條件（如“為銳角”“”）進(jìn)一步縮小角的可能區(qū)間，確保三角函數(shù)值對應(yīng)的角唯一。3.對比特殊角的值：計(jì)算出三角函數(shù)值后，與特殊角（如）的函數(shù)值對比，確定角的大小。三、化簡與證明問題：逆用公式+角的重組核心思路：利用公式的逆用（如）或變形，將式子轉(zhuǎn)化為更簡潔的形式（如“一角一函數(shù)”）。常用技巧：1.逆用和差公式：觀察式子結(jié)構(gòu)是否符合公式右邊的形式，直接轉(zhuǎn)化為左邊的和差角函數(shù)。 例：化簡。2.“1”的代換：利用，將正切相關(guān)式子轉(zhuǎn)化為和差公式形式。 例：證明，左邊可化為。3.輔助角公式化簡：將化為或，便于分析最值、周期等。 例：化簡（因，即）。四、含參數(shù)或范圍問題：分類討論+公式約束核心思路：若問題中涉及參數(shù)（如“已知，求”）或角的范圍不確定，需結(jié)合公式的定義域和三角函數(shù)值的有界性（如）分類討論。注意點(diǎn)： 正切公式的定義域約束：若存在，則，需排除使分母為0的情況（如時(shí)，正切和角公式不適用，需用誘導(dǎo)公式分析）。 三角函數(shù)值的有界性：若化簡后出現(xiàn)，則無解（因正弦值最大為1）。五、總結(jié)：解題的“三步法”1.看角：分析已知角與未知角的關(guān)系，確定是否需要拆分、組合角（如）。2.選公式：根據(jù)角的關(guān)系和待求目標(biāo)（求值、求角、化簡）選擇合適的和差公式（正弦、余弦或正切），優(yōu)先使用能直接關(guān)聯(lián)已知條件的公式。3.定符號/范圍：根據(jù)角的象限或范圍，確定三角函數(shù)值的符號或縮小角的可能區(qū)間，避免多解或錯(cuò)解。【考點(diǎn)二：公式的逆用與變形】【角度1：公式的活用】【例題】1．已知，且，則．【答案】/【分析】利用兩角和的余弦公式可求得，進(jìn)而利用同角間的三角函數(shù)的關(guān)系可求得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，又因?yàn)椋?，所?故答案為：.2．（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式及和正弦和角公式化簡即可.【詳解】.故選：D3．利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)0(3)【分析】（1）利用兩角差的正弦公式求解即可.（2）利用兩角和的余弦公式求解即可.（3）利用兩角和的正切公式求解即可.【詳解】（1）由題意可得.（2）由題意可得.（3）由題意可得.【針對訓(xùn)練】4．在中，若，則.【答案】【分析】利用兩角和的正切公式的變形形式求值.【詳解】首先因?yàn)?，所?這是因?yàn)椋喝?，則，又因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以互補(bǔ)，這是不能成立的.所以.因?yàn)?，所?又，所以.所以.故答案為：5．已知，是第三象限角，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)兩角差的正弦公式得，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式以及兩角和的正弦公式，即可求解.【詳解】，，又是第三象限角，．從而.故選：B6．.【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】.故答案為：.【角度2：輔助角公式的運(yùn)用】【例題】1．求的值.【答案】.【分析】先通過切化弦公式將三角函數(shù)名化為正弦余弦，再通過輔助角公式及誘導(dǎo)公式得到.【詳解】故的值為.【多選題】2．下列式子化簡正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】對于A，由誘導(dǎo)公式和逆用兩角和的余弦公式可得結(jié)果；對于B，由誘導(dǎo)公式和逆用二倍角的正弦公式可得結(jié)果；對于C，由輔助角公式可得結(jié)果；對于D，逆用兩角和的正切公式可得結(jié)果.【詳解】對于A，由誘導(dǎo)公式可知，逆用兩角和的余弦公式可得，故A錯(cuò)誤；對于B，由誘導(dǎo)公式可知，逆用二倍角的正弦公式可得，故B正確；對于C，由輔助角公式可知，故C正確；對于D，逆用兩角和的正切公式可得，故D正確.故選：BCD.【多選題】3．下列化簡中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)輔助角公式即可求解AB，根據(jù)二倍角公式可求解C，根據(jù)正切的和角公式求解D.【詳解】對于A，，A正確，對于B，，故B錯(cuò)誤，對于C，，C正確，對于D，，故D正確，故選：ACD【針對訓(xùn)練】4．求值：．【答案】【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系，二倍角公式，輔助角公式可得答案.【詳解】．5．若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】由三角恒等變換直接可得出.【詳解】由已知可得.故選：A.6．化簡：．【答案】1【分析】先切化弦，再利用和角公式、倍角公式化簡求值.【詳解】原式．【解題策略】1.核心公式回顧（逆用形式）設(shè)為任意角，則： 正弦逆用：； 余弦逆用：； 正切逆用：；2.逆用解題關(guān)鍵策略 策略1：觀察結(jié)構(gòu)，直接匹配公式 若式子中出現(xiàn)“正弦乘余弦±余弦乘正弦”“余弦乘余弦±正弦乘正弦”“正切和差除以1?正切積”的形式，直接逆用對應(yīng)公式化簡。 策略2：拆分角，構(gòu)造和差關(guān)系 當(dāng)角的形式復(fù)雜時(shí)，通過“角的拆分”將未知角表示為已知角的和或差（如，），再逆用公式。 策略3：正切逆用注意符號與角的范圍 正切逆用需保證均不等于，且結(jié)果需結(jié)合角的范圍確定最終值，避免多解錯(cuò)誤。二、輔助角公式的解題策略輔助角公式用于將“”（為常數(shù)，且不同時(shí)為0）化為“單角三角函數(shù)”形式，核心是簡化表達(dá)式，方便求最值、周期、單調(diào)區(qū)間等。1.輔助角公式的基本形式對，可化為： 其中輔助角滿足： ，（或）； 的象限由的符號確定（如時(shí)，在第一象限）。2.輔助角公式解題關(guān)鍵策略 策略1：化簡表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為單三角函數(shù) 通過輔助角公式將式子化為（或），利用正弦、余弦函數(shù)的有界性（值域）解決最值問題。 策略2：確定輔助角的象限 輔助角的象限由和的符號共同決定，需根據(jù)“與同號，與同號”判斷，避免象限錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)果偏差。 策略3：結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)分析問題 轉(zhuǎn)化為單角三角函數(shù)后，可直接利用正弦（或余弦）函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，快速求解相關(guān)問題（如單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心等）。【考點(diǎn)三：角的變換問題】【例題】1．已知，，則.【答案】或/或【分析】令，則，，.由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得或，結(jié)合兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】令，則由可得，則原題目變?yōu)椋阂阎?，，?∵，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由兩角差的余弦公式可得，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即或.故答案為：或.2．已知，，且，，求，及的值.【答案】，，【分析】由題中條件及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求得和的值，利用兩角和與差的余弦公式即可求解，的值，結(jié)合角即可求解的值.【詳解】因?yàn)?，且，所?因?yàn)?，且，所?所以，.又因?yàn)?，，所以，所以，?3．已知，且，，則（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)已知求得、，結(jié)合差角正弦公式求，注意的范圍，即可得.【詳解】因?yàn)榍?，則，所以，又，所以，又，所以，而當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，則，所以不符合，舍去；當(dāng)時(shí)，符合，綜上所述，.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；（2）當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為“已知角”與特殊角的和或差的形式，或者應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”；（3）常見的角的變換：，，等.【針對訓(xùn)練】4．在鈍角中，已知，，則．【答案】/【分析】由三角恒等變換即可求解.【詳解】解法1：由，，則，有，則，所以．又，從而有．,又因?yàn)?，所以，所以．解?：由得，又，則，即，從而有．已知，則，得，解得．故答案為：.5．若，，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切函數(shù)的差角公式，由，可得答案.【詳解】．故選：C．6．若，，，，則．【答案】/【分析】求出、的值，然后利用兩角差的正弦公式可求得的值.【詳解】因?yàn)?，，則，所以，，因此，.故答案為：.【解題策略】1.基礎(chǔ)變換：用“和差”表示未知角 典型形式： 策略： 若問題中出現(xiàn)角、及，可通過上述關(guān)系將其中一個(gè)角用另外兩個(gè)角的和差表示，再代入公式展開。例如，要求，可轉(zhuǎn)化為，再用正弦差角公式展開。2.利用“特殊角”拆分非特殊角 典型形式： （或） 策略： 對于非特殊角（如、等），可拆分為兩個(gè)特殊角的和或差，直接應(yīng)用兩角和差公式計(jì)算三角函數(shù)值。3.結(jié)合“倍角”或“半角”的變換 典型形式： （倍角與半角關(guān)系） （復(fù)雜半角的拆分） 策略： 當(dāng)涉及倍角或半角時(shí)，可通過“整體代換”將其視為新的角，結(jié)合兩角和差公式與倍角公式綜合應(yīng)用。例如，與的和差可轉(zhuǎn)化為或，即： 4.利用“角的范圍”輔助變換 策略： 角的變換需結(jié)合角的取值范圍確定三角函數(shù)值的符號（如正余弦的正負(fù)、正切的定義域等）。例如，已知、為銳角，且，，求時(shí)，需先確定的范圍（鈍角），進(jìn)而得到的正值，再通過展開計(jì)算。三、角的變換通用步驟1.識(shí)別已知角與未知角：明確問題中給出的角（如、）和需要求解的角（如、）。2.構(gòu)造角的關(guān)系：通過和、差、倍、半等關(guān)系，將未知角表示為已知角的組合。3.選擇對應(yīng)公式：根據(jù)構(gòu)造的角的關(guān)系，選用正弦、余弦或正切的和差公式展開。4.結(jié)合范圍驗(yàn)證：根據(jù)角的取值范圍判斷三角函數(shù)值的符號，確保結(jié)果的唯一性。通過角的變換，可將復(fù)雜的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為已知角的運(yùn)算，核心在于靈活運(yùn)用角的和差關(guān)系，結(jié)合公式逐步化簡。課后針對訓(xùn)練課后針對訓(xùn)練一、單選題1．已知，，則（

）A． B． C． D．12．已知是方程的兩個(gè)根，且，則（

）A． B． C． D．3．已知，且為第三象限角，則（

）A． B． C． D．4．的值為（

）A． B． C． D．5．化簡計(jì)算的值為（

）A． B． C． D．6．已知，則（

）A． B．5 C． D．7．的值等于（

）A． B． C． D．8．設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．9．若，，則（

）A． B． C． D．二、多選題10．已知，且，若，，則（

）A． B．C． D．三、填空題11．已知，則.12．已知，，則.四、解答題13．（1）已知是第二象限角，，求的值；（2）設(shè)，且，求角的值.14．（1）求值：；（2）已知都是銳角，，求的值.參考答案題號12345678910答案BADDBAAAAAD1．B【分析】將給定的兩個(gè)等式平方相加，再逆用差角的余弦公式即得.【詳解】由，，得，整理得，所以.故選：B2．A【分析】根據(jù)韋達(dá)定理與兩角和的正切公式結(jié)合求解即可.【詳解】由韋達(dá)定理可得，，，又，故.故選：A3．D【分析】應(yīng)用兩角差的正弦結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求出，最后應(yīng)用半角公式結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算求值即可.【詳解】，，結(jié)合為第三象限角，可得，，則.故選：D.4．D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式即可求解．【詳解】，故選：D．5．B【分析】由