2.1導(dǎo)數(shù)的概念

引例1直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),已知路程s與時(shí)間t的關(guān)系t0時(shí)的瞬時(shí)速度v(t0).一、引例

這段時(shí)間內(nèi)的平均速度質(zhì)點(diǎn)走過(guò)的路程

若運(yùn)動(dòng)是勻速的,平均速度就等于質(zhì)點(diǎn)在每個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度.若運(yùn)動(dòng)是非勻速的,它越近似的表明t0時(shí)運(yùn)動(dòng)的快慢.平均速度是這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)快慢的平均值,

越小,故可把t0時(shí)的速度定義為稱之為t0時(shí)的瞬時(shí)速度v(t0).試確定

分析：tS(t)S(t0)t0S(t0+△t)t0+△t割線的極限位置——切線位置.引例2曲線在一點(diǎn)的切線問(wèn)題處切線的斜率.已知曲線的方程確定點(diǎn)

如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,C在點(diǎn)M處的切線.割線的極限位置——切線位置.引例2曲線在一點(diǎn)的切線問(wèn)題割線MN的斜率為切線MT的斜率為

引例1引例2實(shí)際意義各不相同，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同

定義函數(shù)與自稱為函數(shù)y=f(x)關(guān)于x的平均變化率.函數(shù)平均變化率的極限增量比增量比的極限

二、導(dǎo)數(shù)的定義1.函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x

在x0

處取得增量

x(點(diǎn)x0+x

仍在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)取得增量

y=f(x0+x)–f(x0),如果極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù)(值），記為f

(x0)，即也可記作或二、導(dǎo)數(shù)的定義1.函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)t0時(shí)的瞬時(shí)速度v(t0)=已知路程s與時(shí)間t的關(guān)系

處切線的斜率k=已知曲線的方程點(diǎn)

說(shuō)明1：點(diǎn)x0導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn)x0處的變化率,說(shuō)明2：因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度.(物理意義)(幾何意義)例解：求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的基本方法：根據(jù)定義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處可導(dǎo),說(shuō)明3：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=…....處可導(dǎo)

如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I

內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo).這時(shí)，對(duì)于任一x

I，都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)

y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作：或注意2.導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。定義由定義求導(dǎo)數(shù)步驟:例1解：常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0公式例2-3解：更一般地例如,冪函數(shù)求導(dǎo)，降冪

公式例4解和差化積公式：例4解即同理可得

公式例5解即

公式例6解即公式y(tǒng)是x的函數(shù)，x是y的函數(shù)，求x關(guān)于y的導(dǎo)數(shù).u是t的函數(shù)，y=lnx

u=t3=3t2雙重含義1、是一個(gè)整體，表示y是x的函數(shù)，x是自變量2、是兩部分之比，求y關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)

v是ω的函數(shù)，

求y關(guān)于x的導(dǎo)數(shù).求u關(guān)于t的導(dǎo)數(shù).求v關(guān)于ω的導(dǎo)數(shù).

例7右導(dǎo)數(shù)

左導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)

左導(dǎo)數(shù)=如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f-(b)都存在，則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo).定理

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處可導(dǎo)的充要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等.且f+(a)及例解：已知求2-1:19切線方程為表示曲線y=f(x)上點(diǎn)

處切線的斜率。

三.導(dǎo)數(shù)的幾何意義特別地:)(,0)()1(0xfyxf在點(diǎn)則曲線若==￠;軸的切線平行于Ox))(,(00xfx))(,(00xfxk=切線方程為法線方程為表示曲線y=f(x)上點(diǎn)

處切線的斜率。

三.導(dǎo)數(shù)的幾何意義法線：過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線k=解:由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為.,)221(1x例8,方程和法線方程并寫出在該點(diǎn)處的切線斜率處的切線的在點(diǎn)求等邊雙曲線y=例9

解：

所以，所求切線的方程可設(shè)為：

因?yàn)榍芯€通過(guò)點(diǎn)(0,-4),可得

回代，整理，可得所求切線方程：

該點(diǎn)必連續(xù).定理如果函數(shù)則函數(shù)在四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系在點(diǎn)x處可導(dǎo),證即根據(jù)函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系，可知所以,例10解函數(shù)f(x)在x=0點(diǎn)連續(xù)但是不可導(dǎo)該點(diǎn)必連續(xù).定理如果函數(shù)則函數(shù)在四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系在點(diǎn)x處可導(dǎo),注：該定理的逆定理不一定成立.可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)，連續(xù)是可導(dǎo)的結(jié)論：條件。必要不充分函數(shù)在一點(diǎn)不連續(xù)，則一定不可導(dǎo)，連續(xù)但不可導(dǎo)函數(shù)舉例★

y

y=|x|

O

x0

yy=f(x)

O

x函數(shù)圖形上有角點(diǎn)

內(nèi)容小結(jié)

一.導(dǎo)數(shù)的定義二.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

三.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系增量比的極限切線的斜率可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)課后練習(xí)習(xí)題2-13,4,6--20

求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù).判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).連續(xù)直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.例11解:函數(shù)f(x)在x=0點(diǎn)連續(xù)但是不可導(dǎo)定義公式的等價(jià)形式函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)說(shuō)明3：定義函數(shù)與自速度是路程對(duì)時(shí)間的變化率平均速度是路程對(duì)時(shí)間的平均變化率稱為函數(shù)y=f(x)關(guān)于x的平均變化率.

在數(shù)量關(guān)系上確有如下的共性:上述兩例