湖北省武漢為明實驗學校2026屆高二數(shù)學第一學期期末考試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為（）A. B.C. D.2．在平面上給定相異兩點，設點在同一平面上且滿足，當且時，點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線的虛軸端點，動點滿足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知圓，過點P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，若O為坐標原點，則最大值為（）A.3 B.4C.5 D.65．某校為了解學生學習的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進行問卷調(diào)查.已知高二被抽取的人數(shù)為人，那么高三被抽取的人數(shù)為（）A. B.C. D.6．已知：，直線l：，M為直線l上的動點，過點M作的切線MA，MB，切點為A，B，則四邊形MACB面積的最小值為（）A.1 B.2C. D.47．已知函數(shù)，，當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.8．與空間向量共線的一個向量的坐標是（）A. B.C. D.9．對于兩個平面、，“內(nèi)有三個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．若雙曲線的兩個焦點為，點是上的一點，且，則雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是（）A. B.C. D.11．在平行六面體中，，，，則（）A. B.5C. D.312．已知，，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點到直線的距離為_______.14．已知圓，若圓的過點的三條弦的長，，構成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差的最大值是______.15．已知向量,,并且、共線且方向相同,則______.16．已知橢圓與坐標軸依次交于A，B，C，D四點，則四邊形ABCD面積為_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù)（1）若曲線在點處的切線方程為，求；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間18．（12分）森林資源是全人類共有的寶貴財富，其在改善環(huán)境，保護生態(tài)可持續(xù)發(fā)展方面發(fā)揮著重要的作用.2020年12月12日，主席在全球氣候峰會上通過視頻發(fā)表題為《繼往開來，開啟全球應對氣候變化的新征程》的重要講話，宣布“到2030年，我國森林蓄積量將比2005年增加60億立方米”.為了實現(xiàn)這一目標，某地林業(yè)管理部門著手制定本地的森林蓄積量規(guī)劃.經(jīng)統(tǒng)計，本地2020年底的森林蓄積量為120萬立方米，森林每年以25%的增長率自然生長，而為了保證森林通風和發(fā)展經(jīng)濟的需要，每年冬天都要砍伐掉萬立方米的森林.設為自2021年開始，第年末的森林蓄積量.（1）請寫出一個遞推公式，表示二間的關系；（2）將（1）中的遞推公式表示成的形式，其中，為常數(shù)；（3）為了實現(xiàn)本地森林蓄積量到2030年底翻兩番的目標，每年的砍伐量最大為多少萬立方米？（精確到1萬立方米）（可能用到的數(shù)據(jù)：，，）19．（12分）△的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知（1）求角B的大?。唬?）若△不為鈍角三角形，且，，求△的面積20．（12分）已知直線l過點A（﹣3，1），且與直線4x﹣3y+t＝0垂直（1）求直線l的一般式方程；（2）若直線l與圓C：x2+y2＝m相交于點P，Q，且|PQ|＝8，求圓C方程21．（12分）如圖，在幾何體中，底面是邊長為2的正三角形，平面，，且是的中點.（1）求證:平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）在三棱柱中，側面正方形的中心為點平面，且，點滿足（1）若平面，求的值；（2）求點到平面的距離；（3）若平面與平面所成角的正弦值為，求的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】基本事件總數(shù)，再利用列舉法求出點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件的個數(shù)，由此能求出點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率【詳解】解：將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)之和，基本事件總數(shù)，點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件有：，，，，，，，，共8個，則點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為故選：B2、C【解析】先求動點的軌跡方程，再根據(jù)面積的最大值求得，根據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線的離心率.【詳解】設，，,依題意得,即,兩邊平方化簡得,所以動點的軌跡是圓心為,半徑的圓，當位于圓的最高點時的面積最大，所以,解得；當位于圓的最左端時的面積最小，所以,解得,故雙曲線的離心率為.故選:C.3、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】若，則，即或，推不出；反過來，若，可推出.故“”是“”的充分不必要條件故選：A.4、C【解析】由題意，點P在圓C內(nèi)，且最長弦的長度為直徑長10，則最短弦的長度為8，進而可得，所以點P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，從而即可求解.【詳解】解：由題意，圓，所以圓C是以為圓心，半徑為5的圓，因為過點P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，所以點P在圓C內(nèi)，且最長弦的長度為直徑長10，則最短弦的長度為8，所以由弦長公式有，所以點P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，所以，故選：C.5、C【解析】利用分層抽樣求出的值，進而可求得高三被抽取的人數(shù).【詳解】由分層抽樣可得，可得，設高三所抽取的人數(shù)為，則，解得.故選：C.6、B【解析】易知四邊形MACB的面積為，然后由最小，根據(jù)與直線l：垂直求解.【詳解】：化為標準方程為：,由切線長得：,四邊形MACB的面積為，若四邊形MACB的面積最小，則最小，此時與直線l：垂直，所以，所以四邊形MACB面積的最小值，故選：B7、C【解析】由題意得出，構造函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得出對任意的恒成立，利用參變量分離法可得出，利用導數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，由此可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，當時，恒成立，即，構造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則對任意的恒成立，，令，其中，則.，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；又，所以.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.8、C【解析】根據(jù)空間向量共線的坐標表示即可得出結果.【詳解】.故選：C.9、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有三個點到的距離相等，當這三個點不在一條直線上時，可得；當這三個點在一條直線上時，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有三個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.10、B【解析】由條件結合雙曲線的定義可得，然后可得，然后可求出的范圍即可.【詳解】由雙曲線的定義可得，結合可得當點不為雙曲線的頂點時，可得，即當點為雙曲線的頂點時，可得，即所以，所以，所以所以雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是故選：B11、B【解析】由，則結合已知條件及模長公式即可求解.【詳解】解：，所以，所以，故選：B.12、B【解析】將代數(shù)式展開，然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【詳解】，，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立.因此，的最小值為.故選B.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時要注意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】應用點線距離公式求點線距離.【詳解】由題設，點到距離為.故答案為：14、2【解析】根據(jù)題意，求得過點的直線截圓所得弦長的最大值和最小值，即可求得公差的最大值.【詳解】圓的圓心，半徑，設點為點，因為，故點在圓內(nèi)，當直線過點，且經(jīng)過圓心時，該直線截圓所得弦長取得最大值；當直線過點，且與直線垂直時，該直線截圓所得弦長取得最小值，此時，則滿足題意的直線為，即，又，則該直線截圓所得弦長為；根據(jù)題意，要使得數(shù)列的公差最大，則，故最大公差.故答案為：.15、4【解析】根據(jù)空間向量共線基本定理,可設.由坐標運算求得的值,進而求得.即可求得的值.【詳解】根據(jù)空間向量共線基本定理,可設由向量的坐標運算可得解方程可得所以.故答案為:【點睛】本題考查了空間向量共線基本定理的應用,根據(jù)向量的共線定理求參數(shù),屬于基礎題.16、【解析】根據(jù)橢圓的方程，求得頂點的坐標，結合菱形的面積公式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，可得，所以橢圓與坐標軸的交點分別為，此時構成的四邊形為菱形，則面積為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）答案見解析【解析】（1）求出，建立方程關系，即可求出結論；（2）對分類討論，求出的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】由于切點在切線上，所以，函數(shù)通過點又，根據(jù)導數(shù)幾何意義，；【小問2詳解】由可知當時，則；當時，則；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.18、（1）；（2）.；（3）19萬立方米.【解析】（1）由題意得到；（2）若遞推公式寫成，則，再與遞推公式比較系數(shù)；（3）若實現(xiàn)翻兩番的目標，則，根據(jù)遞推公式，計算的最大值.【詳解】解：（1）由題意，得，并且.①（2）將化成，②比較①②的系數(shù)，得解得所以（1）中的遞推公式可以化為.（3）因為，且，所以，由（2）可知，所以，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，其通項公式：，所以.到2030年底的森林蓄積量為該數(shù)列的第10項，即.由題意，森林蓄積量到2030年底要達到翻兩番的目標，所以，即.即.解得.所以每年的砍伐量最大為19萬立方米.【點睛】方法點睛：遞推公式求通項公式，有以下幾種方法：

型如：的數(shù)列的遞推公式，采用累加法求通項；

形如：的數(shù)列的遞推公式，采用累乘法求通項；

形如：的遞推公式，通過構造轉化為，構造數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，

形如：的遞推公式，兩邊同時除以，轉化為的形式求通項公式；

形如：，可通過取倒數(shù)轉化為等差數(shù)列求通項公式.19、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)正弦定理邊角關系可得，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)求其大小即可.（2）由（1）及題設有，應用余弦定理求得、，最后利用三角形面積公式求△的面積【小問1詳解】由正弦定理得：，又，所以，又B為△的一個內(nèi)角，則，所以或；【小問2詳解】由△不為鈍角三角形，即，又，，由余弦定理，，得（舍去負值），則∴20、（1）3x+4y+5＝0（2）x2+y2＝17【解析】（1）由垂直關系得過直線l的斜率，由點斜式化簡即可求解l的一般式方程；（2）結合勾股定理建立弦心距（由點到直線距離公式求解），半弦長，圓半徑的基本關系，解出，即可求解圓C的方程【小問1詳解】因為直線l與直線4x﹣3y+t＝0垂直，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為，即3x+4y+5＝0，因此直線l的一般式方程為3x+4y+5＝0；【小問2詳解】圓C：x2+y2＝m的圓心為（0，0），半徑為，圓心（0，0）到直線l的距離為，則半徑滿足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圓C：x2+y2＝1721、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點F，連接EF，，由四邊形是平行四邊形即可求解；（2）采用建系法，以為軸，為軸，垂直底面方向為軸，求出對應點坐標，結合二面角夾角余弦公式即可求解.【小問1詳解】取的中點F，連接EF，，∵，∴，且，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；【小問2詳解】取AC的中點O，以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，∴，.設平面的法向量是，則，即，令，得，易知平面的一個法向量是，∴，又二面角是鈍二面角，∴二面角的余弦值為.22、（1）；（2）；（3）或.【解析】(1)連接ME，證明即可計算作答.(2)以為原點，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標系，借助空間向量計算點到平面的距離即可.(3)由(2)中空間直角坐標系，借助空間向量求平面與平面所成角的余弦即可計算作答.【小問1詳解】在三棱柱中，因，即點在上，連接ME