第二章函數(shù)§2.3函數(shù)的奇偶性【考情分析·探規(guī)律】考點三年考情（2021-2024）命題趨勢函數(shù)的奇偶性及其應用2024·天津卷、2024·上海卷、2023·全國甲卷2023·全國乙卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷、2021·全國甲卷、2021·全國新Ⅱ卷、2021·全國新Ⅰ卷、2021·全國乙卷了解奇偶性的概念和意義，會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性，能綜合運用函數(shù)的奇偶性解決相關問題.【知識梳理】函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為D,如果?x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關于y軸對稱奇函數(shù)一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為D,如果?x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝－f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關于原點對稱【隨堂訓練】1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(0)＝0.()(2)不存在既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)的函數(shù).()(3)對于函數(shù)y＝f(x),若f(－2)＝－f(2),則函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù).()(4)若f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)·g(x)是奇函數(shù).()2.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是()A.y＝2x B.y＝cosxC.y＝lnx D.y＝sinx3.(多選)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)＋f(－x)＝0B.f(0)＝0C.f(x)·f(－x)≤0D.f(4.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)＝2x＋b,則f(－1)＝.

【名師點撥】1.理解函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論(1)①如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義,即f(0)有意義,那么一定有f(0)＝0.②如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.2.靈活應用奇函數(shù)的兩個特殊性質(zhì)(1)若f(x)為奇函數(shù),則f(x)＋f(－x)＝0.特別地,若f(x)存在最值,則f(x)min＋f(x)max＝0.(2)若F(x)＝f(x)＋c,f(x)為奇函數(shù),則F(－x)＋F(x)＝2c.特別地,若F(x)存在最值,則F(x)min＋F(x)max＝2c.3.謹防兩個易誤點(1)求奇函數(shù)的解析式時,忽略x＝0會造成解析式缺失,特別地,奇函數(shù)要么在x＝0處沒有定義,要么在x＝0處的函數(shù)值為0,即f(0)＝0.(2)解函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合的題目時,不要忽視自變量的取值在定義域內(nèi)這一隱含條件.【必練核心題型】題型一函數(shù)奇偶性的判斷命題點1常見函數(shù)奇偶性的判斷例1.(多選)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()A.f(x)＝tanx B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝ex?e?x2 D.命題點2抽象函數(shù)奇偶性的判斷例2.(多選)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),下列結(jié)論正確的有()A.若恒有f(x2)＝－f(－x2),則f(x)是奇函數(shù)B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y),且f(0)≠0,則y＝f(x)為奇函數(shù)C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),則f(x)為偶函數(shù)D.若恒有f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y),則f(x)是奇函數(shù)命題點3構造函數(shù)的奇偶性例3.已知函數(shù)f(x)＝x＋ln(x2＋1－x)－5(x∈[－2026,2026])的最大值為M,最小值為m,則M＋m＝【變式訓練】變式1.(多選)(2025·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1,f(x＋y)＝f(A.f(0)＝0B.f(－x)＝－f(x)C.f(x)的定義域為RD.f(x＋2)＝－1變式2.已知函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2,則函數(shù)f(x)＋2為函數(shù).(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)

題型二函數(shù)的奇偶性的應用命題點1利用奇偶性求值(解析式)例1.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當x∈(－∞,0]時,f(x)＝x2－ex＋1,則當x∈(0,＋∞)時,f(x)等于()A.x2－ex＋1 B.x2－e－x＋1C.x2＋e－x＋1 D.－x2＋e－x－1例2.若函數(shù)y＝(2x－m·2－x)x5是R上的偶函數(shù),則實數(shù)m＝.

命題點2利用奇偶性解不等式例1.設函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)－1x,則滿足f(x)>f(2x＋1)的x的取值范圍為【變式訓練】變式1.(2023·新高考全國Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)ln2x?1A.－1 B.0 C.12 變式2.已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),當x<0時,f(x)＝2x－18,則f(A.(－3,0)∪(0,3)B.(－3,3)C.(－∞,－3)∪(0,3)D.(－∞,－3)∪(3,＋∞)變式3.(2025·泰州模擬)已知函數(shù)f(x)＝eaxsinx1＋eA.－1 B.0 C.12 變式4.已知函數(shù)f(x)＝x＋asinx＋2,且f(m)＝5,則f(－m)等于()A.－5 B.－3 C.－1 D.3變式5.(2025·安徽皖南八校模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,y＝f(x)＋ex是偶函數(shù),y＝f(x)－3ex是奇函數(shù),則f(ln3)的值為()A.73 B.3 C.103 變式6.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),當x<0時,f(x)>0,則函數(shù)f(x)滿足()A.f(0)＝0B