第5章

三角函數(shù)5.4.2正余弦函數(shù)的性質(zhì)第一課時(shí)

周期性與奇偶性【導(dǎo)學(xué)1】一般的函數(shù)圖像都有哪些性質(zhì)可以研究？【解答】圖像特點(diǎn)、單調(diào)性、奇偶性、最值(極值)等等【導(dǎo)學(xué)2】類比以往對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，你認(rèn)為應(yīng)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的哪些性質(zhì)？觀察它們的圖象，你能發(fā)現(xiàn)它們具有哪些性質(zhì)？一.周期性根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我們要研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函數(shù)是刻畫“周而復(fù)始”現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，與此對(duì)應(yīng)的性質(zhì)是特別而重要的．一.周期性

非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期（period）．

一.周期性

根據(jù)上述定義，有如下結(jié)論：【1】正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，

最小正周期是2π【2】余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，

最小正周期是2π【周期函數(shù)的理解】

一.周期性

一.周期性【例1】求下列函數(shù)的周期：(1)y=3sinx，x∈R；一.周期性

【例1】求下列函數(shù)的周期：(1)y=3sinx，x∈R；?x∈R，有3sin(x+2π)=3sin

x.由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為2π.（1）解一.周期性

令z=2x，由x∈R得z∈R，且y=cos

z的周期為2π，即cos(z+2π)=cos

z，于是cos(2x+2π)=cos

2x，所以cos

2(x+π)=cos

2x，x∈R.由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為π.（2）解

解【變式】1.求下列三角函數(shù)的周期：(1)y=7sinx，x∈R；(2)y=sin

2x，x∈R；

(4)y=|cosx|，x∈R.【變式】1.求下列三角函數(shù)的周期：(1)y=7sinx，x∈R；因?yàn)?sin(x+2π)=7sin

x，由周期函數(shù)的定義知，y=7sin

x的周期為2π.（1）解(2)y=sin

2x，x∈R；因?yàn)閟in

2(x+π)=sin(2x+2π)=sin

2x，由周期函數(shù)的定義知，y=sin

2x的周期為π.（2）解

（3）解(4)y=|cosx|，x∈R.y=|cos

x|的圖象如圖(實(shí)線部分)所示.由圖象可知，y=|cos

x|的周期為π.(4)解【變式】2求下列三角函數(shù)的最小正周期：(1)y=|sinx|；(2)y=cos

πx；

【變式】2求下列三角函數(shù)的最小正周期：(1)y=|sinx|；由f(x)=|sin

x|，f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin

x|=f(x)，得y=|sin

x|的最小正周期為π(或通過圖象判斷).（1）解(2)y=cos

πx；

（2）解

（3）解

（4）解【探究】觀察正弦曲線和余弦曲線，可以看到正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，余弦曲線

關(guān)于y軸對(duì)稱.所以正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).【注意】①判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，一定要先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

只要定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)肯定不具備奇偶性.②由奇偶性我們知道正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，余弦曲線關(guān)于y軸(x=0)

對(duì)稱.③正弦曲線和余弦曲線即是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.

二.奇偶性

（1）解二.奇偶性函數(shù)f(x)=|sin

x|+cos

x的定義域?yàn)镽，因?yàn)?x∈R，都有-x∈R，又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin

x|+cos

x=f(x)，所以函數(shù)f(x)=|sin

x|+cos

x是偶函數(shù).（2）解

（3）解【變式】1.下列函數(shù)中，哪些是奇函數(shù)？哪些是偶函數(shù)？【解】(1)奇函數(shù)

(2)偶函數(shù)(3)奇函數(shù)(4)奇函數(shù)二.奇偶性

課本203頁練習(xí)第3題【變式】2.判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=sinxcosx；

（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.∵f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin

xcos

x=-f(x)，∴f(x)=sin

xcos

x為奇函數(shù).

解析√三.周期性與奇偶性的綜合運(yùn)用

解析√三.周期性與奇偶性的綜合運(yùn)用

解析

解析1

解析

課堂小結(jié)

2.判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好的兩個(gè)方面：

一看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；