6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算1|向量的數(shù)乘運(yùn)算知識點(diǎn)必備知識清單破1.向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘

定義一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa長度|λa|=|λ||a|方向當(dāng)λ>0時,λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時,λa的方向與a的方向相反;當(dāng)λ=0時,λa=0,它的方向是任意的結(jié)合律λ(μa)=(λμ)a(λ,μ∈R)分配律(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb(λ,μ∈R)2.向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.對于

任意向量a,b,以及任意實(shí)數(shù)λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±

μ2b)=λμ1a±λμ2b.向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個實(shí)數(shù)λ,使b=λa.2|向量共線定理知識點(diǎn)知識辨析1.實(shí)數(shù)與向量可以相乘,那么實(shí)數(shù)與向量是否可以相加減?2.λa的幾何意義是什么?3.與非零向量a共線的單位向量怎樣表示?4.已知m∈R,若ma=mb,則a=b一定成立嗎?5.兩個向量共線的充要條件中的“a≠0”是否能去掉?1.不可以.實(shí)數(shù)與向量可以相乘,但是不可以相加減,如λ+a,λ-a均沒有意義.一語破的2.λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向,擴(kuò)大或縮小|λ|倍.3.由于單位向量的長度為1,所以與非零向量a共線的單位向量應(yīng)為±

.4.不一定.若m=0,則無論a,b是否相等,都有ma=mb.5.不能.若a=b=0,則λ∈R,不唯一;若a=0,b≠0,則λ不存在.|向量共線定理的應(yīng)用定點(diǎn)關(guān)鍵能力定點(diǎn)破1.證明兩向量共線:要證明非零向量a,b共線,只需證明存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa即可.2.證明三點(diǎn)共線:要證明A,B,C三點(diǎn)共線,只需證明存在實(shí)數(shù)λ,使得

=λ

(或

=λ

等)即可.3.利用向量共線求參數(shù)的基本步驟(1)根據(jù)向量共線的充要條件建立共線向量之間的關(guān)系(通常要引入一個參數(shù)).(2)根據(jù)向量系數(shù)列方程組求參數(shù).典例已知非零向量e1,e2不共線.(1)若a=

e1-

e2,b=3e1-2e2,判斷向量a,b是否共線;(2)若

=e1+e2,

=2e1+8e2,

=3(e1-e2),求證:A,B,D三點(diǎn)共線;(3)若

=2e1+ke2,

=e1+3e2,且A,B,C三點(diǎn)共線,求k的值.解析

(1)因?yàn)閎=3e1-2e2=6

=6a,所以向量a,b共線.(2)證明:因?yàn)?/p>

=

+

=2e1+8e2+3(e1-e2)=5(e1+e2)=5

,所以A,B,D三點(diǎn)共線.(3)由A,B,C三點(diǎn)共線,可知存在λ∈R,使得

=λ

,又

=2e1+ke2,

=e1+3e2,所以2e1+