1.復(fù)數(shù)加、減法的運算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù),那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.2.復(fù)數(shù)的加法運算律對任意z1,z2,z3∈C,有①交換律:z1+z2=z2+z1;②結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義1|復(fù)數(shù)加法與減法知識點必備知識清單破如圖,設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)對應(yīng)的向量分別為

,

(

,

不共線),則

=(a,b),

=(c,d),以O(shè)Z1,OZ2為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2,則向量

=(a+c,b+d)與復(fù)數(shù)z1+z2對應(yīng)(復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行),向量

=(a-c,b-d)與復(fù)數(shù)z1-z2對應(yīng)(復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法來進行).

2|復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義知識點1.兩個虛數(shù)的和或差一定是虛數(shù)嗎?2.若復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1-z2>0,則z1>z2一定成立嗎?3.兩個共軛復(fù)數(shù)的和一定是實數(shù)嗎?兩個共軛復(fù)數(shù)的差一定是純虛數(shù)嗎?4.若a,b,r為實數(shù),且r>0,則滿足|z-(a+bi)|=r的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點Z的軌跡是什么?知識辨析

1.不一定.如(1+i)+(1-i)=2,(1+3i)-3i=1.2.不一定.如2+i-i>0,但2+i與i不能比較大小.3.和一定是實數(shù),差不一定是純虛數(shù).若z=a+bi(a,b∈R),則

=a-bi,則z+

=2a∈R,因此,兩個共軛復(fù)數(shù)的和一定是實數(shù).而z-

=2bi,當(dāng)b=0時,z-

=0,是實數(shù),當(dāng)b≠0時,z-

是純虛數(shù).4.點Z的軌跡是以點(a,b)為圓心,r為半徑的圓.一語破的幾個常見結(jié)論在復(fù)平面內(nèi),z1,z2對應(yīng)的點分別為A,B,z1+z2對應(yīng)的點為C,O為坐標原點(點O,A,B不共線),

則(1)四邊形OACB為平行四邊形;(2)若|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為矩形;(3)若|z1|=|z2|,則四邊形OACB為菱形;(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為正方形.1|復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義的應(yīng)用定點關(guān)鍵能力定點破已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|.典例

解析

解法一:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,∴a2+b2=c2+d2=1,(a-c)2+(b-d)2=1,∴2ac+2bd=1,∴|z1+z2|=

=

=

.解法二:設(shè)O為坐標原點,z1,z2,z1+z2對應(yīng)的點分別為A,B,C,則四邊形OACB為平行四邊形.∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,∴OA=OB=AB=1,∴四邊形OACB是邊長為1的菱形,且∠AOB=60°,∴|z1+z2|2=|OC|2=|OA|2+|AC|2-2|OA|·|AC|cos(180°-60°)=3,∴|z1+z2|=

.1.兩個復(fù)數(shù)差的模的幾何意義(1)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z1,Z2,則|z1-z2|=|Z1Z2|,即|z1-z2|表示復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面

內(nèi)對應(yīng)的點之間的距離.(2)|z-z0|=r(r>0)表示以z0對應(yīng)的點為圓心,r為半徑的圓.(3)涉及復(fù)數(shù)模的最值問題以及點的集合所表示的圖形問題,均可轉(zhuǎn)化為兩點間距離問題進

行分析,然后通過幾何方法進行求解.2.復(fù)數(shù)模的兩個重要性質(zhì)(1)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;(2)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2.2|復(fù)數(shù)模的最值問題定點復(fù)數(shù)z滿足|z-1-i|=1,求|z+1+i|的最小值.典例1解析

因為|z-1-i|=1,所以由復(fù)數(shù)減法的幾何意義可知,z對應(yīng)的點的軌跡是以點(1,1)為圓心,1

為半徑的圓,|z+1+i|是圓上的點到點(-1,-1)的距離,故|z+1+i|最小時為圓心(1,1)到點(-1,-1)的距離減去半徑

1.所以|z+1+i|min=

-1=2

-1.主編點評

|z-(a+bi)|(a,b∈R)表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)a+bi對應(yīng)的點之間的距離;而|z+(a+bi)|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點與-a-bi對應(yīng)的點之間的距離.若復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,求|z+i+1|的最小值.典例2解析

設(shè)復(fù)數(shù)z,-i,i,-(1+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z,Z1,Z2,Z3,則Z1(0,-1),Z2(0,1),Z3(-1,-1).如圖,

因為|z+i|+|z-i|=2,所以|ZZ1|+|Z