2025-2026學(xué)年山西省朔州市平魯區(qū)部分學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋物線y=(x+7)2?1的對(duì)稱軸為直線A.x=?7 B.x=7 C.x=?1 D.x=12.2025年4月24日，神舟二十號(hào)載人飛船成功發(fā)射，以壯麗升空將第10個(gè)中國(guó)航天日從紀(jì)念變?yōu)閼c祝.下列航天圖案是中心對(duì)稱圖形的是(

)A. B. C. D.3.如圖，已知拋物線y=?x2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,0)，它的對(duì)稱軸為直線x=1，則一元二次方程?x2A.x1=?1，x2=1

B.x1=1，x2=3

C.4.將拋物線y=?x2+1先向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得新拋物線的解析式為A.y=?(x+2)2+2 B.y=?(x?2)2

5.關(guān)于二次函數(shù)y=x2+8x，下列說(shuō)法正確的是A.圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?8,0) B.圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

C.函數(shù)的最大值為16 D.函數(shù)的最小值為06.如圖，點(diǎn)A，D，B，C都在⊙O上，若∠ADC=48°，則∠ABC的度數(shù)為(

)A.38°

B.40°

C.42°7.太谷餅是山西特產(chǎn)美食，某地方美食專賣店購(gòu)進(jìn)了一批袋裝太谷餅.據(jù)市場(chǎng)人員統(tǒng)計(jì)，第一周的銷售量為100袋，第三周的銷售量為121袋.若設(shè)每周銷售量的平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程(

)A.100(1+x)2=121

B.100(1?x)2=1218.如圖，將△ABC繞著旋轉(zhuǎn)中心P旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，則旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)為(

)A.(2,4) B.(1,0) C.(0,1) D.(1,?1)9.將拋物線y=12?(x+7)2向右平移k(k>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，在平移的過(guò)程中拋物線與y軸的交點(diǎn)也會(huì)隨之變化，設(shè)平移后的拋物線與y軸的交點(diǎn)為Q，則在拋物線平移的過(guò)程中，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的最大值為(

)A.12 B.14 C.16 D.1810.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置，點(diǎn)B，O分別落在點(diǎn)B1，C1處，點(diǎn)B1在x軸上，再將△AB1C1繞點(diǎn)B1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1B1C2的位置，點(diǎn)C2在x軸上，將△AA.(12153,0) B.(12159,0) C.(12156,3) D.(12152,3)二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.若一元二次方程(x?1)2?m=0的一個(gè)根為x=2，則m=

12.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(3,?1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是

.13.若拋物線y=x2?4x+4的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，則點(diǎn)A，B之間的距離是

14.圖1是某化學(xué)實(shí)驗(yàn)室的一個(gè)裝有液體的圓底燒瓶，其底部球形的截面示意圖如圖2所示，液體水平寬度AB為8cm，豎直高度CD為2cm，則⊙O的半徑為

cm.

15.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后得到△EDC，連接AE，BD，交點(diǎn)為F，連接AD，BE，若AD=25，BE=6，則線段AB

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題10分)

(1)解方程：x(x+7)=3(x+7).

(2)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x?k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍17.(本小題7分)

圖1和圖2都是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，且均有兩個(gè)小正方形涂上了顏色.

(1)請(qǐng)你在圖1中選擇1個(gè)小正方形涂上顏色，使圖中的涂色部分為中心對(duì)稱圖形.

(2)請(qǐng)你在圖2中選擇3個(gè)小正方形涂上顏色，使圖中的涂色部分為中心對(duì)稱圖形.18.(本小題8分)

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，且AD平分∠BAC.若∠BAC=70°，求∠C的度數(shù)19.(本小題7分)

在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=?x2+3x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)與點(diǎn)B(2,n).

(1)求m，n的值.

(2)若點(diǎn)C(a,?2)，D(b,?2)為該二次函數(shù)圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)(其中a，b為常數(shù)，a<b)，求△BCD20.(本小題8分)

項(xiàng)目學(xué)習(xí)

項(xiàng)目背景：為進(jìn)一步推動(dòng)全國(guó)范圍內(nèi)勞動(dòng)教育的實(shí)施，提供一套翔實(shí)豐富的方案，以指導(dǎo)學(xué)校和教育機(jī)構(gòu)開展勞動(dòng)教育活動(dòng)，我省某校數(shù)學(xué)老師圍繞“用硬紙板設(shè)計(jì)側(cè)面積最大的無(wú)蓋紙盒”讓學(xué)生展開討論，形成了如下活動(dòng)報(bào)告：活動(dòng)主題用硬紙板設(shè)計(jì)側(cè)面積最大的無(wú)蓋紙盒驅(qū)動(dòng)任務(wù)利用二次函數(shù)的最值設(shè)計(jì)側(cè)面積最大的無(wú)蓋紙盒活動(dòng)內(nèi)容根據(jù)題意列出有關(guān)紙盒高度的二次函數(shù)的關(guān)系式，利用性質(zhì)確定側(cè)面積最大的無(wú)蓋紙盒的高.活動(dòng)過(guò)程一、方案說(shuō)明：圖1是一張正方形硬紙板，然后在它的四個(gè)角上各剪方形，最后將剩余部分折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒(如圖2).

二、數(shù)據(jù)測(cè)量：測(cè)得圖1中正方形紙板的邊長(zhǎng)為40cm，每個(gè)角上被剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，折成的無(wú)蓋紙盒的側(cè)面積為ycm2.交流展示請(qǐng)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)寫出無(wú)蓋紙盒的側(cè)面積y(單位：cm2)與小正方形的邊長(zhǎng)x(單位：cm)的函數(shù)關(guān)系式，并求出側(cè)面積y21.(本小題9分)

閱讀與思考

下面是小雨同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記的部分內(nèi)容，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并完成后面的任務(wù).“k倍點(diǎn)”

【概念理解】

如果在拋物線上存在一點(diǎn)P，使它的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的k倍，那么我們把這樣的點(diǎn)P稱為“k倍點(diǎn)”.例如，拋物線y=3x2的“3倍點(diǎn)”為(1,3)或(0,0).

【問(wèn)題提出】

問(wèn)題1：拋物線y=x2+x的“2倍點(diǎn)”(原點(diǎn)除外)的坐標(biāo)為▲.

問(wèn)題2：若拋物線y=(m?1)x2+mx+14m上有兩個(gè)不同的“3倍點(diǎn)”，求m的取值范圍.

【問(wèn)題解答】

解：設(shè)該拋物線上的“3倍點(diǎn)”為(x,3x)，則有3x=(m?1)x任務(wù)：

(1)問(wèn)題1中，“▲”處應(yīng)填寫______.

(2)補(bǔ)全問(wèn)題2中剩余的解答過(guò)程.

(3)若拋物線y=k4x2+2x+k僅有一個(gè)“k22.(本小題13分)

綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題情境】

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，旋轉(zhuǎn)角小于∠CAB，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，DE交AB于點(diǎn)O，延長(zhǎng)DE交BC于點(diǎn)F.

【猜想證明】

(1)試判斷FC與FE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【深入探究】

(2)在圖形旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，老師讓同學(xué)們提出新的問(wèn)題.

①“樂(lè)學(xué)小組”提出問(wèn)題：如圖2，連接BD，若∠ABC=30°，∠CAE=40°，求∠FDB的度數(shù).

②“善思小組”提出問(wèn)題：如圖3，若CA=12，CB=16，∠CAE=∠B，求23.(本小題13分)

綜合與探究

【問(wèn)題情境】

乒乓球是學(xué)生十分喜愛的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng).某校乒乓球館借助發(fā)球機(jī)進(jìn)行輔助訓(xùn)練，發(fā)球位置在桌面中線端點(diǎn)A的正上方，且每次發(fā)出的乒乓球的運(yùn)動(dòng)路線固定不變，均落在桌面中線上.

【數(shù)學(xué)建?！?/p>

在乒乓球運(yùn)行時(shí)，設(shè)乒乓球與端點(diǎn)A的水平距離為x米，與桌面的高度為y米，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，桌面中線為x軸，桌面中線的垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.經(jīng)多次測(cè)試后，得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù).00.40.511.5?1.62…0.250.3780.40.450.40.3780.25…

【問(wèn)題解決】

(1)當(dāng)乒乓球落在桌面上時(shí)，與端點(diǎn)A的水平距離為多少米？

【研究表明】

(2)當(dāng)乒乓球落在桌面上彈起后，y與x滿足y=a(x?3)2+k.

①求k與a的關(guān)系式；

②球網(wǎng)高度為0.14米，球桌長(zhǎng)為2.8米，若球彈起后恰好有唯一的擊球點(diǎn)，可將球沿著直線擦網(wǎng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1.4,0.14)扣殺到點(diǎn)A，請(qǐng)直接寫出a的值.參考答案一、選擇題：1.A

2.D

3.D

4.B

5.B

6.D

7.A

8.D

9.A

10.C

二、填空題：11.1

12.(?3,1)

13.214.5

15.13三、解答題：16.解：(1)x(x+7)=3(x+7)，

x(x+7)?3(x+7)=0，

(x+7)(x?3)=0，

則x+7=0或x?3=0，

所以x1=?7，x2=3；

(2)因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程x2+3x?k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

所以Δ=32?4×1×(?k)>0，

17.解：(1)圖形如圖1所示．

(2)圖形如圖2所示(答案不唯一).

18.解：∵∠BAC=70°，AD平分∠BAC，

∴∠BAD=12∠BAC=35°.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°.

∴∠B=90°?∠BAD=19.解：(1)將點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=?x2+3x+m得，

?1+3+m=0，

解得m=?2，

所以二次函數(shù)解析式為y=?x2+3x?2.

將點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=?x2+3x?2得，

?4+6?2=n，

解得n=0，

所以m=?2，n=0；

(2)將y=?2代入y=?x2+3x?2得，

?x2+3x?2=?2，

解得x=0或3，

所以a=0，b=3，

則點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,?2)，點(diǎn)D坐標(biāo)為(3,?2).

又因?yàn)辄c(diǎn)B坐標(biāo)為(2,0)，

所以△BCD的面積為：12×(3?0)×2=3.

20.解：由題意得：y=4x(40?2x)

=?8x2+160x

=?8(x2?20x+100?100)

=?8(x?10)2+800；

∵?8<0，

∴當(dāng)x=10cm時(shí)，側(cè)面積y有最大值是800cm2.

21.解：(1)由題可知x2+x=2x，

解得x=0(舍去)或x=1，

將x=1代入得y=2，

∴拋物線y=x2+x的“2倍點(diǎn)”(原點(diǎn)除外)的坐標(biāo)為(1,2)，

故答案為：(1,2)；

(2)由Δ=(m?3)2?4(m?1)×14m>0整理得，

?5m+9>0，

解得m<95，

又∵m?1≠0，即m≠1，

∴m的取值范圍為m<95且m≠1；

(3)∵y=k4x2+2x+k是拋物線，

∴k≠0，

設(shè)拋物線y=k4x2+2x+k的“k倍點(diǎn)”坐標(biāo)為(x,kx)，

∵點(diǎn)(x,kx)在拋物線y=k4x2+2x+k上，

∴kx=k4x2+2x+k.

整理得k4x2+(2?k)x+k=0.

∵拋物線僅有一個(gè)“k倍點(diǎn)”，

∴一元二次方程k4x2+(2?k)x+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ=(2?k)2?4×k4×k=0，

解得k=1.

22.解：(1)FC=FE.理由如下：

如圖1，連接AF，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AC=AE，∠AED=∠C=∠AEF=90°，

∵AF=AF，

在Rt△AFE和Rt△AFC中，

AF=AFAE=AC，

∴Rt△AFE≌Rt△AFC(HL)，

∴FC=FE；

(2)①由旋轉(zhuǎn)可得△ABC≌△ADE，

∴∠CAB=∠EAD，AB=AD，∠ADE=∠B，

∴∠CAE=∠BAD，∠ADB=∠ABD，

∵∠ABC=30°，

∴∠ADE=∠ABC=30°.

∵∠CAE=40°，

∴∠BAD=40°，

∴∠ADB=∠ABD=70°.

∴∠FDB=∠ADB?∠ADE=70°?30°=40°；

②如圖3，連接AF，

∵∠C=90°，CA=12，CB=16，

在直角三角形ABC