積分考試題目及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.定積分∫₀¹2xdx的值是（）A.0B.1C.2D.32.若F'(x)=f(x)，則∫f(x)dx等于（）A.F(x)+CB.F(x)C.f(x)+CD.f(x)3.∫e^xdx=（）A.e^xB.e^x+CC.xe^xD.xe^x+C4.∫sinxdx=（）A.cosx+CB.-cosx+CC.sinx+CD.-sinx+C5.積分區(qū)間為[a,b]的定積分與什么無關(guān)（）A.被積函數(shù)B.積分區(qū)間C.積分變量的記法D.積分下限6.∫(x+1)dx=（）A.x2+x+CB.(1/2)x2+x+CC.(1/2)x2+CD.x2+C7.若∫f(x)dx=F(x)+C，則∫f(2x)dx=（）A.(1/2)F(2x)+CB.2F(2x)+CC.F(2x)+CD.F(x/2)+C8.∫1/xdx=（）(x>0)A.lnxB.lnx+CC.1/x2+CD.-1/x2+C9.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分∫_a^bf(x)dx表示（）A.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]的和B.一個(gè)函數(shù)C.一個(gè)常數(shù)D.f(x)在[a,b]上的平均值10.∫sec2xdx=（）A.tanx+CB.cotx+CC.-tanx+CD.-cotx+C答案：1.B2.A3.B4.B5.C6.B7.A8.B9.C10.A多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些函數(shù)的不定積分存在（）A.連續(xù)函數(shù)B.有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)C.單調(diào)函數(shù)D.無界函數(shù)2.定積分具有以下哪些性質(zhì)（）A.線性性B.區(qū)間可加性C.比較性質(zhì)D.保號(hào)性3.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則∫_a^bf(x)dx與以下哪些有關(guān)（）A.f(x)B.aC.bD.積分變量x4.下列等式正確的是（）A.d(∫f(x)dx)=f(x)dxB.∫df(x)=f(x)+CC.(∫f(x)dx)'=f(x)D.∫f'(x)dx=f(x)5.可化為積分∫f(x)dx的常見積分形式有（）A.∫f(ax+b)dxB.∫f(x?)x??1dxC.∫f(e^x)e^xdxD.∫f(sinx)cosxdx6.若∫f(x)dx=F(x)+C，則（）A.∫f(ax+b)dx=(1/a)F(ax+b)+C（a≠0）B.∫f(x?)x??1dx=(1/n)F(x?)+C（n≠0）C.∫f(sinx)cosxdx=F(sinx)+CD.∫f(e^x)e^xdx=F(e^x)+C7.定積分∫_a^b0dx的值是（）A.0B.b-aC.常數(shù)D.與a,b取值有關(guān)8.下列哪些積分可直接利用基本積分公式求解（）A.∫x3dxB.∫e^2xdxC.∫sin5xdxD.∫1/x2dx9.積分中值定理的條件有（）A.f(x)在[a,b]上連續(xù)B.f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)C.g(x)在[a,b]上不變號(hào)且可積D.f(x)在[a,b]上有界10.若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則（）A.∫f(x)dx=F(x)+CB.F'(x)=f(x)C.∫F(x)dx=f(x)+CD.F(x)是唯一的答案：1.ABC2.ABCD3.ABC4.ABC5.ABCD6.ABCD7.AC8.AD9.AC10.AB判斷題（每題2分，共20分）1.定積分∫_a^bf(x)dx的值一定大于0。（）2.若f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上一定連續(xù)。（）3.∫f'(x)dx=f(x)。（）4.不定積分∫f(x)dx表示f(x)的全體原函數(shù)。（）5.定積分與積分變量的記法無關(guān)。（）6.若f(x)是奇函數(shù)，且在[-a,a]上可積，則∫_-a^af(x)dx=0。（）7.∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。（）8.若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)+1也是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。（）9.定積分∫_a^bf(x)dx中，改變f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)的值，不影響其積分值。（）10.∫1dx=1。（）答案：1.×2.×3.×4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.×簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述不定積分與定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：牛頓-萊布尼茨公式將二者相連，通過不定積分可求定積分值。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)族，結(jié)果是函數(shù)；定積分是和式極限，結(jié)果是常數(shù)。2.什么是積分中值定理？答案：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，g(x)在[a,b]上不變號(hào)且可積，則存在ξ∈[a,b]，使∫_a^bf(x)g(x)dx=f(ξ)∫_a^bg(x)dx。3.求不定積分∫(2x+3)dx的步驟是什么？答案：根據(jù)積分加法法則，∫(2x+3)dx=∫2xdx+∫3dx。再用冪函數(shù)積分公式，∫2xdx=x2，∫3dx=3x，結(jié)果為x2+3x+C。4.定積分的幾何意義是什么？答案：當(dāng)f(x)≥0時(shí)，定積分∫_a^bf(x)dx表示由曲線y=f(x)、直線x=a、x=b及x軸所圍成曲邊梯形的面積；當(dāng)f(x)有正有負(fù)時(shí)，是各部分面積代數(shù)和。討論題（每題5分，共20分）1.討論積分在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：積分在經(jīng)濟(jì)中可用于求成本、收益；物理里可算路程、變力做功；幾何上求面積、體積。它能將不規(guī)則問題轉(zhuǎn)化，用數(shù)學(xué)方法解決。2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上不連續(xù)，它的定積分是否一定不存在？答案：不一定。有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)定積分存在，但若函數(shù)無界，定積分可能不存在。所以不連續(xù)時(shí)要具體分析間斷點(diǎn)和函數(shù)有界