2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.1．（2分）火紋是一種常見的裝飾圖案，多用于建筑、家具設(shè)計等．下列火紋圖案中，可以看成是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列運算中，正確的是（）A．x8÷x2＝x4 B．（x3）4＝x7 C．（﹣2x3）3＝﹣8x9 D．x4+x＝x53．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P（﹣2，3）關(guān)于x軸的對稱點坐標(biāo)是（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣3，﹣2）4．（2分）下列各式從左到右變形一定正確的是（）A． B． C． D．5．（2分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BD是△ABC的角平分線．若點D到BC的距離為3，則AC的長為（）A．12 B．7.5 C．9 D．66．（2分）如果a2﹣3a﹣7＝0，那么代數(shù)式（a﹣1）2+a（a﹣4）﹣2的值為（）A．﹣15 B．﹣8 C．6 D．137．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（2，0），B（3，b）（b＞0），AC⊥AB且AC＝AB，則點C的橫坐標(biāo)為（）A．﹣b﹣1 B．1﹣b C．b﹣2 D．2﹣b8．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，點D，E是邊AB上的兩個定點，點M，N分別是邊AC，BC上的兩個動點．當(dāng)四邊形DEMN的周長最小時，∠DNM+∠EMN的大小是（）A．45° B．90° C．75° D．135°二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）計算：（1）＝；（2）7﹣2＝．10．（2分）若分式有意義，則x的取值范圍是．11．（2分）計算：（﹣5a）?（﹣2a3b）＝．12．（2分）如圖，△ABC為等腰三角形，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC，連接BD，CE．只需添加一個條件即可證明△ABD≌△ACE，這個條件可以是（寫出一個即可）．13．（2分）如圖，有甲、乙、丙三種正方形和長方形紙片，用1張甲種紙片、4張乙種紙片和4張丙種紙片恰好拼成（無重疊、無縫隙）一個大正方形，則拼成的大正方形的邊長為（用含a，b的式子表示）．14．（2分）甲、乙兩名同學(xué)作為志愿者幫助圖書館清點一批圖書，甲3h清點完這批圖書的，乙加入清點剩余的圖書，兩人合作2.4h清點完剩余的圖書．如果乙單獨清點這批圖書需要幾小時？若設(shè)乙單獨清點這批圖書需要xh，則根據(jù)題意可列方程為．15．（2分）在正三角形紙片ABC上按如圖方式畫一個正五邊形DEFGH，其中點F，G在邊BC上，點E，H分別在邊AB，AC上，則∠BEF的大小是°．16．（2分）如圖，動點C與線段AB構(gòu)成△ABC，其邊長滿足AB＝9，CA＝2a+2，CB＝2a﹣3．點D在∠ACB的平分線上，且∠ADC＝90°，則a的取值范圍是，△ABD的面積的最大值為．三、解答題（共68分，第17題8分，第18題11分，第19題8分，第20題7分，第21題9分，第22題8分，第23題9分，第24題8分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17．（8分）分解因式：（1）xy3﹣xy；（2）2x2﹣20x+50．18．（11分）（1）計算：（a﹣3b）（2a+b）；（2）先化簡，再求值：，其中．19．（8分）如圖，點C，D在AB上，AC＝BD，EA＝FB，∠A＝∠B，ED，F(xiàn)C相交于點G．（1）求證：∠ADE＝∠BCF；（2）求證：EG＝FG．20．（7分）解方程：．21．（9分）已知：如圖，∠AOB．求作：射線OC，使∠AOC＝3∠AOB，且點C在直線OA的下方．作法：①在射線OA上取一點P，過點P作射線OA的垂線，與射線OB相交于點M；②在MP的延長線上取一點N，使PN＝PM；③以點O為圓心，OM長為半徑畫弧，再以點M為圓心，MN長為半徑畫弧，兩弧在直線OA下方相交于點C；④作射線OC．所以射線OC即為所求作的射線．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接ON，CM．∵PM⊥OA，PN＝PM，∴ON＝OM．（）（填推理的依據(jù)）∴∠＝2∠POM．∵OC＝OM，∴OC＝ON．在△OCM和△ONM中，，∴△OCM≌△ONM．（）（填推理的依據(jù)）∴∠＝∠NOM．∴∠AOC＝∠POM+∠COM＝3∠POM，即∠AOC＝3∠AOB．22．（8分）閱讀材料：如果整數(shù)x，y滿足x＝a2+b2，y＝c2+d2，其中a，b，c，d都是整數(shù)，那么一定存在整數(shù)m，n，使得xy＝m2+n2．例如，25＝32+42，40＝22+62，25×40＝302+（﹣10）2或25×40＝182+262，…根據(jù)上述材料，解決下列問題：（1）已知5＝12+22，74＝52+72，5×74＝192+32或5×74＝m2+172，…若m＞0，則m＝；（2）已知41＝42+52，y＝c2+d2（c，d為整數(shù)），41y＝m2+n2．若m＝5c﹣4d，求n（用含c，d的式子表示）；（3）一般地，上述材料中的m，n可以用含a，b，c，d的式子表示，請直接寫出一組滿足條件的m，n（用含a，b，c，d的式子表示）．23．（9分）在△ABC中，AB＜AC，點D在△ABC的內(nèi)部，CD＝AB，∠DBA＝∠DCA．（1）如圖1，線段BD的延長線交AC于點E，且BE⊥AC．①求∠DAE的度數(shù)；②用等式表示線段AC，BD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果；（2）如圖2，點F在線段DB的延長線上，連接CF交射線AD于點M，且M為CF的中點．求證：DF＝AC．24．（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點T（t，0），直線l經(jīng)過點T且與x軸垂直．對于圖形M和圖形N，給出如下定義：將圖形M關(guān)于y軸對稱的圖形記為M1，圖形M1關(guān)于直線l對稱的圖形記為M2，若圖形M2與圖形N有公共點，則稱圖形M是圖形N的“雙稱圖形”．例如，如圖1，當(dāng)t＝﹣2時，對于點P（1.5，﹣2.5）和第三象限角平分線OQ，點P關(guān)于y軸的對稱點是P1（﹣1.5，﹣2.5），點P1關(guān)于直線l的對稱點P2（﹣2.5，﹣2.5）在射線OQ上，則點P是射線OQ的“雙稱圖形”．已知點A（2t，1），B（2t+3，1），圖形N是以線段AB為一邊在直線AB上方所作的正方形ABCD．（1）當(dāng)t＝1時，直線l和正方形ABCD如圖2所示．①在H（0，3），R（﹣4，2），K（3，4）這三個點中，點是圖形N的“雙稱圖形”；②點E（m，2），F(xiàn)（m+2，2），G（m+1，3），△EFG是圖形N的“雙稱圖形”，求m的取值范圍；（2）若圖形N是它自身的“雙稱圖形”，直接寫出t的取值范圍．四、選做題（共10分，第25題4分，第26題6分）25．如圖，△ABC是等邊三角形．點D是BC延長線上的一個動點，連接AD，點E在AD的垂直平分線上，且BE平分∠ABD，連接EA，ED，過點E作EF⊥BD于點F．（1）當(dāng)∠EDF＝45°時，的值為；（2）給出下面四個結(jié)論：①點E一定在BD的垂直平分線上；②點F一定是線段CD的中點；③當(dāng)DF＝BC時，AB⊥AD；④點D運動過程中，∠AED的大小始終不變．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是．26．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），給出如下定義：將點P1與P2的“變倍距離”記為d（P1，P2），若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則d（P1，P2）＝5|x1﹣x2|+4|y1﹣y2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，則d（P1，P2）＝4|x1﹣x2|+3|y1﹣y2|．例如，點M（﹣1，5）與N（2，4）的“變倍距離”d（M，N）＝5×3+4×1＝19．已知點A（2，0）．（1）若點B（0，2），C（0，﹣3），則d（A，B）＝，d（A，C）＝；（2）點D在y軸負(fù)半軸上，且d（A，D）＝15，求點D的坐標(biāo)；（3）點P、Q是第一、三象限角平分線上的兩個動點（P與Q不重合），若d（A，P）＝d（A，Q）＝t，直接寫出t的取值范圍．

2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.1．（2分）火紋是一種常見的裝飾圖案，多用于建筑、家具設(shè)計等．下列火紋圖案中，可以看成是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：A，C，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；B選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：B．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．2．（2分）下列運算中，正確的是（）A．x8÷x2＝x4 B．（x3）4＝x7 C．（﹣2x3）3＝﹣8x9 D．x4+x＝x5【分析】利用同底數(shù)冪除法法則，冪的乘方及積的乘方法則，合并同類項法則將各式計算后判斷即可．【解答】解：x8÷x2＝x6，則A不符合題意；（x3）4＝x12，則B不符合題意；（﹣2x3）3＝﹣8x9，則C符合題意；x4與x不是同類項，無法合并，則D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查整式的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P（﹣2，3）關(guān)于x軸的對稱點坐標(biāo)是（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣3，﹣2）【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得答案．【解答】解：點P（﹣2，3）關(guān)于x軸的對稱點坐標(biāo)是（﹣2，﹣3），故選：A．【點評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握點的坐標(biāo)的變化規(guī)律．4．（2分）下列各式從左到右變形一定正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)逐項判斷即可．【解答】解：＝，則A不符合題意；＝＝﹣1，則B符合題意；與不一定相等，則C不符合題意；＝＝，則D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查分式的基本性質(zhì)，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．5．（2分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BD是△ABC的角平分線．若點D到BC的距離為3，則AC的長為（）A．12 B．7.5 C．9 D．6【分析】作DE⊥BC于點E，利用角平分線的性質(zhì)可得ED＝AD，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得CD長，進(jìn)而可得答案，【解答】解：如圖，作DE⊥BC于點E，∵BD是△ABC的角平分線，ED⊥BC于點E，∠BAC＝90°，∴DE＝AD＝3，∵∠C＝30°，∴CD＝2DE＝6，∴AC＝9，故選：C．【點評】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．6．（2分）如果a2﹣3a﹣7＝0，那么代數(shù)式（a﹣1）2+a（a﹣4）﹣2的值為（）A．﹣15 B．﹣8 C．6 D．13【分析】求出a2﹣3a＝7，再根據(jù)完全平方公式和單項式乘多項式進(jìn)行計算，合并同類項，最后代入求出答案即可．【解答】解：∵a2﹣3a﹣7＝0，∴a2﹣3a＝7，∴（a﹣1）2+a（a﹣4）﹣2＝a2﹣2a+1+a2﹣4a﹣2＝2a2﹣6a﹣1＝2（a2﹣3a）﹣1＝2×7﹣1＝14﹣1＝13．故選：D．【點評】本題考查了整式的化簡求值，能正確根據(jù)整式的運算法則進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．7．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（2，0），B（3，b）（b＞0），AC⊥AB且AC＝AB，則點C的橫坐標(biāo)為（）A．﹣b﹣1 B．1﹣b C．b﹣2 D．2﹣b【分析】由“AAS”可證△ACF≌△BAE，可得CF＝AE，AF＝BE，即可求解．【解答】解：如圖，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥x軸于F，∴∠AFC＝∠AEB＝90°＝∠BAC，∴∠CAF+∠BAE＝90°＝∠CAF+∠ACF，∴∠ACF＝∠BAE，在△ACF和△BAE中，，∴△ACF≌△BAE（AAS），∴CF＝AE，AF＝BE，∵點A（2，0），B（3，b），∴BE＝AF＝b，AO＝2，∴OF＝b﹣2，∴點C的橫坐標(biāo)為2﹣b，故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，點D，E是邊AB上的兩個定點，點M，N分別是邊AC，BC上的兩個動點．當(dāng)四邊形DEMN的周長最小時，∠DNM+∠EMN的大小是（）A．45° B．90° C．75° D．135°【分析】作點D關(guān)于BC的對稱點D'，作點E關(guān)于AC的對稱點E'，連接D'E'分別交AC，BC于點M'，N'，連接ME'，ND'，EM'，DN'，推出四邊形DEMN的周長最小時，點M與M'重合，點N與點N'重合，再求出∠DN'M+∠EM'N即可解決問題．【解答】解：作點D關(guān)于BC的對稱點D'，作點E關(guān)于AC的對稱點E'，連接D'E'分別交AC，BC于點M'，N'，連接ME'，ND'，EM'，DN'，則ME＝ME'，ND＝ND'，∴四邊形DEMN的周長＝DE+ME+MN+ND＝DE+ME'+MN+ND'≥DE+D'E'，∵DE長固定，∴點M與M'重合，點N與點N'重合時，四邊形DEMN的周長最小，此時∠DNM+∠EMN＝∠DN'M+∠EM'N，由對稱性和三角形外角性質(zhì)可知：∠DN'M＝∠N'DD'+∠N'D'D＝2∠N'D'D，∠EM'N＝∠M'EE'+∠M'E'E＝2∠M'E'E，∴∠DN'M+∠EM'N＝2∠N'D'D+2∠M'E'E＝2（180°﹣∠D'DE'），設(shè)DD'與BC交于點H，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠BDH＝45°，∴∠D'DE'＝180°﹣45°＝135°，∴∠DN'M+∠EM'N＝2（180°﹣135°）＝90°，即當(dāng)四邊形DEMN的周長最小時，∠DNM+∠EMN的大小是90°，故選：B．【點評】本題考查軸對稱﹣對短路線問題，解答中涉及兩點之間線段最短，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，能用一條線段表示出三條線段的和的最小值，并確定最小時M，N的位置是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）計算：（1）＝1；（2）7﹣2＝．【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪的運算方法計算即可；（2）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算方法計算即可．【解答】解：（1）＝1；（2）7﹣2＝．故答案為：1，．【點評】此題主要考查了零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）（am）n＝amn（m，n是正整數(shù)）；（2）（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）；（3）a﹣p＝（a≠0，p為正整數(shù)）．10．（2分）若分式有意義，則x的取值范圍是x≠6．【分析】根據(jù)分式的分母不為0列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由題意得：x﹣6≠0，解得：x≠6，故答案為：x≠6．【點評】本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式的分母不為0是解題的關(guān)鍵．11．（2分）計算：（﹣5a）?（﹣2a3b）＝10a4b．．【分析】根據(jù)單項式與單項式的運算法則進(jìn)行計算即可．【解答】解：（﹣5a）?（﹣2a3b）＝10a4b．故答案為：10a4b．【點評】此題考查了單項式乘以單項式，掌握單項式乘以單項式的法則是解題的關(guān)鍵．12．（2分）如圖，△ABC為等腰三角形，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC，連接BD，CE．只需添加一個條件即可證明△ABD≌△ACE，這個條件可以是AD＝AE（寫出一個即可）．【分析】先根據(jù)角的和差得到∠BAD＝∠CAE，然后根據(jù)全等三角形的判定方法即可解答．【解答】解：添加的條件是AD＝AE，理由是：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），故答案為：AD＝AE（答案不唯一）．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形切的還有HL．13．（2分）如圖，有甲、乙、丙三種正方形和長方形紙片，用1張甲種紙片、4張乙種紙片和4張丙種紙片恰好拼成（無重疊、無縫隙）一個大正方形，則拼成的大正方形的邊長為a+2b（用含a，b的式子表示）．【分析】依據(jù)題意求得大正方形的面積．再利用正方形的面積公式求得正方形的邊長．【解答】解：∵用1張甲種紙片、4張乙種紙片和4張丙種紙片恰好拼成（無重疊、無縫隙）一個大正方形，∴這個大正方形的面積＝a2+4b2+4ab＝（a+2b）2，∴這個大正方形的邊長為：a+2b．故答案為：a+2b．【點評】本題主要考查了完全平方式，列代數(shù)式，熟練掌握完全平方公式和正方形的面積公式是解題的關(guān)鍵．14．（2分）甲、乙兩名同學(xué)作為志愿者幫助圖書館清點一批圖書，甲3h清點完這批圖書的，乙加入清點剩余的圖書，兩人合作2.4h清點完剩余的圖書．如果乙單獨清點這批圖書需要幾小時？若設(shè)乙單獨清點這批圖書需要xh，則根據(jù)題意可列方程為2.4×（+）＝．【分析】先設(shè)乙單獨清點這批圖書需要的時間是x小時，根據(jù)“甲3小時清點完一批圖書的”和“兩人合作2.4小時清點完另一半圖書”列出方程．【解答】解：設(shè)乙單獨清點這批圖書需要x小時，根據(jù)題意，得2.4×（+）＝，故答案為：2.4×（+）＝．【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程的知識，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．此題涉及的公式：工作總量＝工作效率×工作時間．15．（2分）在正三角形紙片ABC上按如圖方式畫一個正五邊形DEFGH，其中點F，G在邊BC上，點E，H分別在邊AB，AC上，則∠BEF的大小是48°．【分析】先根據(jù)正三角形的性質(zhì)求出∠B＝60°，再根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出∠EFG＝108°，進(jìn)而可求出∠BFE＝72°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出∠BEF的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC為正三角形，∴∠B＝60°，∵五邊形DEFGH是正五邊形，∴∠EFG＝1/5×（5﹣2）×180°＝108°，∴∠BFE＝180°﹣∠EFG＝180°﹣108°＝72°，在△BEF中，∠BEF＝180°﹣（∠B﹣∠BFE）＝180°﹣（60°+72°）＝48°．故答案為：48．【點評】此題主要考查了正三角形和正五邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握正三角形和正五邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．16．（2分）如圖，動點C與線段AB構(gòu)成△ABC，其邊長滿足AB＝9，CA＝2a+2，CB＝2a﹣3．點D在∠ACB的平分線上，且∠ADC＝90°，則a的取值范圍是a＞2.5，△ABD的面積的最大值為．【分析】由三角形三邊關(guān)系定理得到，即可求出a＞2.5；延長AD交CB延長線于M，由ASA證明△ACD≌△MCD，推出AD＝MD，CM＝AC＝2a+2，得到BM＝CM﹣BC＝5，又S△ABD＝S△ABM，因此當(dāng)△ABM的面積最大時，△ABD的面積最大，而AB＝9，MH≤MB＝5，即可求出△ABD的面積的最大值．【解答】解：△ABC的三邊：AB＝9，CA＝2a+2，CB＝2a﹣3，滿足三角形三邊關(guān)系定理，∴，不等式①②顯然成立，由③得：a＞2.5；延長AD交CB延長線于M，過M作MH⊥AB交AB延長線于H，∵CD平分∠ACB，∴∠MCD＝∠ACD，∵∠ADC＝90°，∴∠CDM＝180°﹣90°＝90°，∴∠ADC＝∠MDC，∵CD＝CD，∠MCD＝∠ACD，∴△ACD≌△MCD（ASA），∴AD＝MD，CM＝AC＝2a+2，∴BM＝CM﹣BC＝5，∵S△ABD＝S△ABM，∴當(dāng)△ABM的面積最大時，△ABD的面積最大，∵△ABM的面積＝AB?MH，AB＝9，MH≤MB＝5，∴△ABD面積的最大值＝×9×5×＝．故答案為：a＞2.5，．【點評】本題考查三角形三邊關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形的面積，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理，構(gòu)造全等三角形．三、解答題（共68分，第17題8分，第18題11分，第19題8分，第20題7分，第21題9分，第22題8分，第23題9分，第24題8分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17．（8分）分解因式：（1）xy3﹣xy；（2）2x2﹣20x+50．【分析】（1）提取公因式后利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝xy（y2﹣1）＝xy（y+1）（y﹣1）；（2）原式＝2（x2﹣10x+25）＝2（x﹣5）2．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．18．（11分）（1）計算：（a﹣3b）（2a+b）；（2）先化簡，再求值：，其中．【分析】（1）利用多項式乘多項式的法則進(jìn)行計算，即可解答；（2）先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把a的值代入化簡后的式子進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：（1）（a﹣3b）（2a+b）＝2a2+ab﹣6ab﹣3b2＝2a2﹣5ab﹣3b2；（2）＝?＝?＝?＝2（a+2）＝2a+4，當(dāng)時，原式＝2×+4＝3+4＝7．【點評】本題考查了分式的化簡求值，多項式乘多項式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．19．（8分）如圖，點C，D在AB上，AC＝BD，EA＝FB，∠A＝∠B，ED，F(xiàn)C相交于點G．（1）求證：∠ADE＝∠BCF；（2）求證：EG＝FG．【分析】（1）由全等三角形的性質(zhì)可得△ADE≌△BCF，可得∠ADE＝∠BCF；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得△ADE≌△BCF，可得DE＝CF，∠ADE＝∠BCF，可證DG＝CG，即可求解．【解答】證明：（1）∵AC＝BD，∴AD＝BC，在△ADE和△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴∠ADE＝∠BCF；（2）∵△ADE≌△BCF，∴DE＝CF，∠ADE＝∠BCF，∴DG＝CG，∴EG＝FG．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．20．（7分）解方程：．【分析】利用解分式方程的步驟解方程即可．【解答】解：原方程去分母得：6（x+3）+x（x+3）＝x2，去括號得：6x+18+x2+3x＝x2，移項，合并同類項得：9x＝﹣18，系數(shù)化為1得：x＝﹣2，經(jīng)檢驗，x＝﹣2是分式方程的解，故原方程的解為x＝﹣2．【點評】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．21．（9分）已知：如圖，∠AOB．求作：射線OC，使∠AOC＝3∠AOB，且點C在直線OA的下方．作法：①在射線OA上取一點P，過點P作射線OA的垂線，與射線OB相交于點M；②在MP的延長線上取一點N，使PN＝PM；③以點O為圓心，OM長為半徑畫弧，再以點M為圓心，MN長為半徑畫弧，兩弧在直線OA下方相交于點C；④作射線OC．所以射線OC即為所求作的射線．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接ON，CM．∵PM⊥OA，PN＝PM，∴ON＝OM．（線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等）（填推理的依據(jù)）∴∠MON＝2∠POM．∵OC＝OM，∴OC＝ON．在△OCM和△ONM中，，∴△OCM≌△ONM．（SSS）（填推理的依據(jù)）∴∠MOC＝∠NOM．∴∠AOC＝∠POM+∠COM＝3∠POM，即∠AOC＝3∠AOB．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；（2）證明△OCM≌△ONM（SSS），推出∠MOC＝∠NOM，可得結(jié)論．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：連接ON，CM．∵PM⊥OA，PN＝PM，∴ON＝OM（線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等），∴∠MON＝2∠POM．∵OC＝OM，∴OC＝ON．在△OCM和△ONM中，，∴△OCM≌△ONM（SSS），∴∠MOC＝∠NOM．∴∠AOC＝∠POM+∠COM＝3∠POM，即∠AOC＝3∠AOB．故答案為：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等，MON，MC＝MN，SSS，MOC．【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)造全等三角形解決問題．22．（8分）閱讀材料：如果整數(shù)x，y滿足x＝a2+b2，y＝c2+d2，其中a，b，c，d都是整數(shù)，那么一定存在整數(shù)m，n，使得xy＝m2+n2．例如，25＝32+42，40＝22+62，25×40＝302+（﹣10）2或25×40＝182+262，…根據(jù)上述材料，解決下列問題：（1）已知5＝12+22，74＝52+72，5×74＝192+32或5×74＝m2+172，…若m＞0，則m＝9；（2）已知41＝42+52，y＝c2+d2（c，d為整數(shù)），41y＝m2+n2．若m＝5c﹣4d，求n（用含c，d的式子表示）；（3）一般地，上述材料中的m，n可以用含a，b，c，d的式子表示，請直接寫出一組滿足條件的m，n（用含a，b，c，d的式子表示）．【分析】（1）5×74＝370，172＝289，那么m2＝370﹣289＝81，根據(jù)m＞0可得m的值；（2）把41y＝m2+n2中的m和y換掉，整理，可得n2的值，進(jìn)而可得n的值；（3）把xy＝m2+n2．中的x和y換掉，整理得到兩個完全平方式相加等于m2+n2的形式，得到m和n的一組值即可．【解答】解：（1）∵5×74＝m2+172，∴370＝m2+289．∴m2＝81，∵m＞0，∴m＝9．故答案為：9．（2）∵41y＝m2+n2，m＝5c﹣4d，y＝c2+d2，∴41（c2+d2）＝（5c﹣4d）2+n2．∴41c2+41d2＝25c2﹣40cd+16d2+n2．∴n2＝16c2+40cd+25d2．∴n2＝（4c+5d）2．∴n＝4c+5d或n＝﹣4c﹣5d．（3）∵x＝a2+b2，y＝c2+d2，xy＝m2+n2，∴（a2+b2）（c2+d2）＝m2+n2．∴a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝m2+n2．∴（a2c2+b2d2）+（a2d2+b2c2）＝m2+n2．∴（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）＝m2+n2．∴（ac+bd）2+（ad﹣bc）2＝m2+n2．∴m和n的一組值為：m＝ac+bd，n＝ad﹣bc（答案不唯一）．【點評】本題考查因式分解的應(yīng)用．把所給等式整理成含有完全平方式的形式是解決本題的關(guān)鍵．用到的知識點為：a2±2ab+b2＝（a±b）2；兩個數(shù)的平方相等，那么這兩個數(shù)相等或互為相反數(shù)．23．（9分）在△ABC中，AB＜AC，點D在△ABC的內(nèi)部，CD＝AB，∠DBA＝∠DCA．（1）如圖1，線段BD的延長線交AC于點E，且BE⊥AC．①求∠DAE的度數(shù)；②用等式表示線段AC，BD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果；（2）如圖2，點F在線段DB的延長線上，連接CF交射線AD于點M，且M為CF的中點．求證：DF＝AC．【分析】（1）①證明△ABE≌△DCE（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝DE，則可得出答案；②由全等三角形的性質(zhì)得出BE＝CE，AE＝DE，則可得出結(jié)論；（2）過點F作FG⊥AM，交AM的延長線于點G，過點C作CH⊥AM于點H，過點A作AN⊥BD，交BD的延長線于點N，過點D作DK⊥AC于點K，證明△ABN≌△DCK（AAS），得出AN＝DK，證明Rt△ADN≌Rt△DAK（HL），得出∠ADN＝∠DAK，證明△CMH≌△FMG（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出CH＝FG，證明△ACH≌△DFG（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AC＝DF．【解答】（1）解：①∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠DEC＝90°，∵∠DBA＝∠DCA，AC＝CD，∴△ABE≌△DCE（AAS），∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝45°；②AC＝2DE+BD．理由：∵△ABE≌△DCE，∴BE＝CE，AE＝DE，∴AC＝AE+CE＝DE+DE+BD＝2DE+BD；（2）證明：過點F作FG⊥AM，交AM的延長線于點G，過點C作CH⊥AM于點H，過點A作AN⊥BD，交BD的延長線于點N，過點D作DK⊥AC于點K，∵∠ABD＝∠DCA，∠DKC＝∠ANB＝90°，AB＝CD，∴△ABN≌△DCK（AAS），∴AN＝DK，又∵AD＝DA，∴Rt△ADN≌Rt△DAK（HL），∴∠ADN＝∠DAK，∵∠ADN＝∠FDG，∴∠FDG＝∠DAK，∵M(jìn)為CF的中點，∴CM＝FM，∵∠CMH＝∠FMG，∠CHM＝∠FGM，∴△CMH≌△FMG（AAS），∴CH＝FG，∵∠AHC＝∠G＝90°，∴△ACH≌△DFG（AAS），∴AC＝DF．【點評】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點T（t，0），直線l經(jīng)過點T且與x軸垂直．對于圖形M和圖形N，給出如下定義：將圖形M關(guān)于y軸對稱的圖形記為M1，圖形M1關(guān)于直線l對稱的圖形記為M2，若圖形M2與圖形N有公共點，則稱圖形M是圖形N的“雙稱圖形”．例如，如圖1，當(dāng)t＝﹣2時，對于點P（1.5，﹣2.5）和第三象限角平分線OQ，點P關(guān)于y軸的對稱點是P1（﹣1.5，﹣2.5），點P1關(guān)于直線l的對稱點P2（﹣2.5，﹣2.5）在射線OQ上，則點P是射線OQ的“雙稱圖形”．已知點A（2t，1），B（2t+3，1），圖形N是以線段AB為一邊在直線AB上方所作的正方形ABCD．（1）當(dāng)t＝1時，直線l和正方形ABCD如圖2所示．①在H（0，3），R（﹣4，2），K（3，4）這三個點中，點H、K是圖形N的“雙稱圖形”；②點E（m，2），F(xiàn)（m+2，2），G（m+1，3），△EFG是圖形N的“雙稱圖形”，求m的取值范圍；（2）若圖形N是它自身的“雙稱圖形”，直接寫出t的取值范圍．【分析】（1）由于兩條對稱軸都垂直于x軸，所以經(jīng)過兩次對稱變化后，點的縱坐標(biāo)不變；根據(jù)正方形的性質(zhì)，寫出A，B，C，D的坐標(biāo)；①設(shè)點（x，y）是圖形N的“雙稱圖形”，根據(jù)兩次對稱變化的坐標(biāo)變化，求出x，y的取值范圍，然后判斷H，R，K是否是圖形N的“雙稱圖形”；②根據(jù)①得出的x，y的變化規(guī)律，求出E，F(xiàn)，G的兩次對稱后的坐標(biāo)，然后判斷當(dāng)兩次對稱后的三角形與正方形有交點時m的取值即可；（2）根據(jù)（1）中兩次對稱后坐標(biāo)的變化規(guī)律，得出A，B，C，D兩次對稱后的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩個正方形有交點求出t的取值范圍即可．【解答】解：（1）當(dāng)t＝1時，A（2，1），B（5，1），∴AB＝3，∵四邊形ABCD為正方形，∴C（2，4），D（5，4），①設(shè)點（x，y）是圖形N的“雙稱圖形”，第一次對稱后的坐標(biāo)為（﹣x，y），第二次對稱軸的坐標(biāo)為（2+x，y），∴2≤2+x≤5，1≤y≤4，∴0≤x≤3，1≤y≤4，∴H和K是圖形N的“雙稱圖形”，故答案為：H、K；②由①可知，E2（2+m，2），F(xiàn)2（m+4，2），G2（m+3，3），當(dāng)△E2F2G2與正方形ABCD有交點時，，∴﹣2≤m≤0或1≤m≤3；（2）設(shè)點（x，y）是圖形N的“雙稱圖形”，第一次對稱后的坐標(biāo)為（﹣x，y），第二次對稱軸的坐標(biāo)為（2t+x，y），∴A2（4t，1），B2（4t+3，1），C2（4t，4），D2（4t+3，1），∵正方形ABCD和正方形A2B2C2D2有交點，∴，∴﹣≤t≤．【點評】本題主要考查了四邊形的綜合題，根據(jù)對稱的性質(zhì)得出坐標(biāo)變化規(guī)律是本題解題的關(guān)鍵．四、選做題（共10分，第25題4分，第26題6分）25．如圖，△ABC是等邊三角形．點D是BC延長線上的一個動點，連接AD，點E在AD的垂直平分線上，且BE平分∠ABD，連接EA，ED，過點E作EF⊥BD于點F．（1）當(dāng)∠EDF＝45°時，的值為2；（2）給出下面四個結(jié)論：①點E一定在BD的垂直平分線上；②點F一定是線段CD的中點；③當(dāng)DF＝BC時，AB⊥AD；④點D運動過程中，∠AED的大小始終不變．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是②④．【分析】（1）由EF⊥BD于點F，得∠DFE＝∠BFE＝90°，則∠DEF＝∠EDF＝45°，所以FD＝FE，由△ABC是等邊三角形，BE平分∠ABD，得∠ABE＝∠DBE＝∠ABD＝30°，則FE＝BE，所以＝＝2，于是得到問題的答案；（2）當(dāng)∠EDF＝45°時，由BE＝2FE，DE＝＝FE，得BE≠DE，則點E不在BD的垂直平分線上，可判斷①錯誤；連接CE，由AB＝CB，BE平分∠ABC，得BE垂直平分AC，則AE＝CE，因為點E在AD的垂直平分線上，所以AE＝DE，則CE＝DE，所以點F是線段CD的中點，可判斷②正確；連接AF，可證明CF＝AC＝BC，則∠CFA＝∠CAF＝30°，所以∠BAF＝90°，則AB⊥AF，所以AD與AD不垂直，可判斷③錯誤；由∠BFE＝90°，∠FBE＝30°，得∠BEF＝60°，再證明∠AEC＝2∠CEB，∠DEC＝2∠CEF，則∠AED＝2∠BEF＝120°，可判斷④正確，于是得到問題的答案．【解答】解：（1）如圖1，∵EF⊥BD于點F，∴∠DFE＝∠BFE＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠DEF＝∠EDF＝45°，∴FD＝FE，∵△ABC是等邊三角形，點D在BC延長線上，BE平分∠ABD，∴∠ABD＝60°，∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABD＝30°，∴FE＝BE，∴＝＝2，故答案為：2．（2）如圖1，∵BE＝2FE，DE＝＝FE，∴BE≠DE，∴點E不在BD的垂直平分線上，∴點E不一定在BD的垂直平分線上，故①錯誤；如圖2，連接CE，∵AB＝CB，BE平分∠ABC，∴BE垂直平分AC，∴AE＝CE，∵點E在AD的垂直平分線上，∴AE＝DE，∴CE＝DE，∵EF⊥CD于點F，∴CF＝DF，∴點F是線段CD的中點，故②正確；如圖3，連接AF，∵DF＝BC＝AC，CF＝DF，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴CF＝AC＝BC，∴∠CFA＝∠CAF，∴∠ACB＝∠CFA+∠CAF＝2∠CAF＝60°，∴∠CAF＝30°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝90°，∴AB⊥AF，∴AD與