專題10概率、統(tǒng)計及隨機變量分布列題型概覽題型01隨機抽樣及頻率分布直方圖題型02樣本的數(shù)字特征題型03一元線性回歸模型題型04列聯(lián)表與獨立性檢驗題型05古典概型題型06條件概率及全概率公式題型07離散型隨機變量期望、方差及其分布列題型01隨機抽樣及頻率分布直方圖題型011．（2025年山東威海市三模）某校從高二年級隨機抽取部分學生參加交通安全知識測試，所得成績的頻率分布直方圖如圖所示，則可估計該校高二年級學生的交通安全知識測試成績的中位數(shù)為（

）A．87.5 B．85 C．82.5 D．80【答案】C【分析】由中位數(shù)的定義，列出方程計算可得到結果.【詳解】成績落在的頻率為，成績落在的頻率為，成績落在的頻率為，因為，，所以中位數(shù)落在內(nèi)，設中位數(shù)為，則，解得，故選：C.2．（2025·遼寧沈陽·三模）近日，數(shù)字化構建社區(qū)服務新模式成為一種趨勢．某社區(qū)為了優(yōu)化數(shù)字化社區(qū)服務，通過問卷調(diào)查的方式調(diào)研數(shù)字化社區(qū)服務的滿意度，滿意度采用計分制（滿分100分）進行統(tǒng)計，根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制成如下頻率分布直方圖，圖中，則滿意度計分的第一四分位數(shù)約為（

）A．87.5 B．85 C．70 D．62.5【答案】C【分析】由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得的值，再由百分位數(shù)的定義代入計算，即可得到結果.【詳解】由題意可得，解得，且第一個小矩形面積為，第二個小矩形面積為，則第一四分位數(shù)即第百分位數(shù)為.故選：C3．（多選）（2025·廣東揭陽·二模）洛陽是我國著名的牡丹之鄉(xiāng)，以“洛陽地脈花最宜，牡丹尤為天下奇”流傳于世.某種植基地通過植株高度研究牡丹的生長情況，從同一批次牡丹中隨機抽取100株的植株高度（單位：）作為樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結論正確的是（

）

A．基地牡丹植株高度的極差的估計值大于50B．基地牡丹植株高度不高于70的頻率估計值為30%C．基地牡丹植株高度的眾數(shù)與中位數(shù)的估計值相等D．基地牡丹植株高度的第75百分位數(shù)的估計值小于80【答案】BC【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)可得出極差，判斷A項；計算各小組頻率可判斷B項；分析可知中位數(shù)位于，列方程計算即可得出中位數(shù)，根據(jù)頻率分布直方圖可直接估算眾數(shù)；根據(jù)各小組的概率可知基地牡丹植株高度的第75百分位數(shù)的估計值應在內(nèi).【詳解】對于A項，由圖象可知，基地牡丹植株高度范圍在之間，所以極差的估計值應不大于50，故A錯誤；對于B項，基地牡丹植株高度不高于70的頻率為.故B正確；對于C項，由頻率分布直方圖可知，基地牡丹植株高度不高于70的頻率為，不高于的頻率為，所以中位數(shù)位于，設為，則應有，計算可得.眾數(shù)估計為的中點，也是，與中位數(shù)相同.故C正確；對于D項，基地牡丹植株高度不高于的頻率為，不高于的頻率為，所以，基地牡丹植株高度的第75百分位數(shù)的估計值應在內(nèi).故D錯誤.故選：BC.4．（多選）（2025·四川省自貢市·三模）為了解本地區(qū)居民用水情況，甲、乙兩個興趣小組同學利用假期分別對、兩個社區(qū)隨機選擇100戶居民進行了“家庭月用水量”的調(diào)查統(tǒng)計，利用調(diào)查數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.甲組同學所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、標準差分別記為、、、，乙組同學所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、標準差分別記為、、、.則下列判斷正確的有（

）.A．且. B．且.C．且. D．.【答案】ABD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的中位數(shù)，平均數(shù)公式，眾數(shù)公式，可判斷結果，標準差是衡量數(shù)據(jù)的離散程度，數(shù)據(jù)越集中，標準差越小，從而可判斷標準差.【詳解】中位數(shù)的計算與比較：由圖甲可判斷甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)在[7，10.5)內(nèi)，第一組[0，3.5)的數(shù)據(jù)的頻率為0.01×3.5=0.035，第二組[3.5，7)頻率為0.10×3.5=0.35，則，解得，由圖乙可判斷乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)在[10.5，14)內(nèi)，則，解得，所以<.平均數(shù)的計算與比較：甲組平均數(shù)：.乙組平均數(shù)：.所以.眾數(shù)的計算與比較：由圖甲可得甲組眾數(shù)?；由圖乙可得乙組眾數(shù)，所以.標準差的比較：因甲組數(shù)據(jù)分布相對分散，乙組數(shù)據(jù)相對集中在中間區(qū)間，所以.對于A，由前面計算可知<且，故A正確；對于B，因且，故B正確；對于C，由前分析得，，，，，，故C錯誤；對于D，因，，，則，故D正確.故答案選ABD.5．（2025年河北石家莊三模）某短視頻平臺在2025年上半年推出了新一代的“AI推薦算法”，為了檢測受眾情況，該公司從點贊的用戶中隨機選取100名志愿者統(tǒng)計他們的年齡，并按年齡差異繪制如下頻率分布直方圖.(1)估計這100名志愿者年齡的中位數(shù)（結果精確到0.01）和平均數(shù)；(2)依據(jù)上述調(diào)研結果，按照各年齡段人數(shù)的比例，用分層隨機抽樣的方法從這100名志愿者中隨機選取20名志愿者參加座談會，為了更好地了解年輕人群體，需要從參加座談會的年齡在的人中隨機選出3人作為代表發(fā)言，設隨機變量表示代表年齡在的志愿者人數(shù)，求的分布列及期望.【答案】(1)估計這100名志愿者年齡的中位數(shù)和平均數(shù)分別為和(2)的分布列為：【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的計算公式即可求解；（2）根據(jù)分層抽樣計算出年齡在的人數(shù)，和年齡在的人數(shù).由題知年齡在的志愿者人數(shù)服從超幾何分布，的所有可能取值為，，，，根據(jù)超幾何分布的概率分布列公式求出取每個值對應的概率，即可求解的分布列，根據(jù)離散型隨機變量的期望公式即可求出的期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知：因為前兩組的頻率之和為，前三組的頻率之和為，所以中位數(shù)位于區(qū)間中，中位數(shù)的估計值為；由頻率分布直方圖可知：樣本平均數(shù)的估計值為.故估計這100名志愿者年齡的中位數(shù)和平均數(shù)分別為和.（2）由題可知從中選取的20名志愿者中，年齡在的有人，其中年齡在的有人.由題知年齡在的志愿者人數(shù)服從超幾何分布，的所有可能取值為，，，，，，，，所以的分布列為：的期望.6．（2025年廣東省廣州市天河區(qū)三模）為減少環(huán)境污染，保護生態(tài)環(huán)境，某校進行了“垃圾分類知識普及活動”，并對高一、高二全體學生進行了相關知識測試．現(xiàn)從高一、高二各隨機抽取了20名學生，對他們的成績（百分制）進行了整理和分析后得到如下信息：高一年級成績分布表成績?nèi)藬?shù)123410高二年級成績頻率分布直方圖(1)從高一和高二樣本中各抽取一人，求這兩人成績都不低于90分的概率；(2)用頻率估計概率，分別從高一全體學生中抽取一人，從高二全體學生中抽取兩人，隨機變量表示這三人中成績不低于90分的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析；.【分析】（1）首先求出高一年級成績不低于90分的概率，然后求出高二年級成績不低于90分的概率，最后根據(jù)獨立事件概率公式求出高一年級高二年級各抽取1人成績都不低于90分的概率.（2）首先確定的可能取值，然后對每個取值情況下求取概率值，最后根據(jù)數(shù)學期望的公式求出的期望.【詳解】（1）從高一年級成績分布表可以看出，成績不低于90分的概率為.從高二年級成績頻率分布直方圖中可以看出，成績不低于90分的概率為.所以從高一和高二樣本中各抽取1人，這兩人的成績都不低于90分的概率為：.（2）根據(jù)題意可知，的可能取值為0，1，2，3.當時，即這三個人中成績都低于90分，此時概率為：.當時，即這三個人中成績只有1人的成績是不低于90分的，此時概率為：.當時，即這三個人中成績只有2人的成績是不低于90分的，此時概率為：.當時，即這三個人的成績都是不低于90分的，此時概率為：.所以的分布列為：0123所以數(shù)學期望為.題型02樣本的數(shù)字特征題型021．（2025·河北省張家口·三模）某同學記錄了自己升入高三以來8次的數(shù)學考試成績，分別為125，117，129，132，115，119，126，130，則該同學這8次的數(shù)學考試成績的第40百分位數(shù)為（

）A．119 B．122 C．125 D．132【答案】C【分析】由百分位數(shù)的計算公式即可求解.【詳解】從小到大排序：115,117,119,125,126,129,130,132，，所以第40百分位數(shù)為第四個數(shù)，即125.故選：C2．（2025·湖南省郴州市·三模）馬拉松愛好者小麗月份每個月的跑步里程（單位：公里）如下表所示，則小麗7月份每個月的跑步里程的分位數(shù)為（

）月份7月8月9月10月11月12月跑步里程310254220210248300A．210公里 B．251公里 C．254公里 D．248公里【答案】C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的公式計算即可.【詳解】將小麗月份每個月的跑步里程從小到大排列：.因為6，所以小麗月份每個月的跑步里程的分位數(shù)為254公里.故選：C.3．（2025·陜西省安康市·三模）有一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，方差為，若樣本數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，方差為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)樣本平均數(shù)和方差的性質(zhì)，即可求解.【詳解】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)公式可知，，方差.故選：C4．（2025年山東省泰安市三模）在某次高三模擬考試后，數(shù)學老師隨機抽取了6名同學第一個解答題的得分情況如下：7，9，5，8，4，1，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和極差分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平均數(shù)，極差的定義求解.【詳解】根據(jù)題意，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，極差為.故選：A.5．（2025年江蘇如皋市三模）已知9個數(shù)據(jù)：，，，，的均值為，方差為2，現(xiàn)將加入，則新數(shù)據(jù)的方差為（

）A． B．2 C． D．18【答案】A【分析】由題意得，由方差公式即可求解.【詳解】由題意得，，則新數(shù)據(jù)的方差，故選：A．6．（多選）（2025·浙江省金華市義烏市·三模）有兩組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)A：1，3，5，7，9和數(shù)據(jù)B：1，2，4，8，16，則（

）A．數(shù)據(jù)A的平均數(shù)小于數(shù)據(jù)B的平均數(shù)B．數(shù)據(jù)A的方差小于數(shù)據(jù)B的方差C．數(shù)據(jù)A的極差小于數(shù)據(jù)B的極差D．數(shù)據(jù)A的中位數(shù)小于數(shù)據(jù)B的中位數(shù)【答案】ABC【分析】依次算出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，極差，中位數(shù)即可比較大小.【詳解】設數(shù)據(jù)A：1，3，5，7，9的平均數(shù)，方差，極差，中位數(shù)依次為，數(shù)據(jù)B：1，2，4，8，16的平均數(shù)，方差，極差，中位數(shù)依次為，對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：ABC.7．（2025·四川省綿陽市·三模）某家電公司生產(chǎn)了兩種不同型號的空調(diào)，公司統(tǒng)計了某地區(qū)2024年的前6個月這兩種型號空調(diào)的銷售情況，得到銷售量的折線統(tǒng)計圖如圖所示，分析這6個月的銷售數(shù)據(jù)，下列說法不正確的是（

）A．型號空調(diào)月銷售量的極差比型號空調(diào)月銷售量的極差大B．型號空調(diào)月平均銷售量比型號空調(diào)月平均銷售量大C．型號空調(diào)月銷售量的上四分位數(shù)比型號空調(diào)銷售量的上四分位數(shù)大D．型號空調(diào)月銷售量的方差比型號空調(diào)月銷售量的方差小【答案】D【分析】結合題中數(shù)據(jù)，根據(jù)極差、平均數(shù)、上四分位數(shù)、方差的定義求解判斷即可.【詳解】由圖可知，型號空調(diào)月銷售量的極差為，型號空調(diào)月銷售量的極差為，故A正確；型號空調(diào)月平均銷售量為，型號空調(diào)月平均銷售量為，故B正確；將型號空調(diào)月銷售量數(shù)據(jù)從小到大排列為：25，27，28，38，42，50，由，則型號空調(diào)月銷售量的上四分位數(shù)為42，將型號空調(diào)月銷售量數(shù)據(jù)從小到大排列為：22，25，30，37，40，45，由，則型號空調(diào)月銷售量的上四分位數(shù)為40，故C正確；型號空調(diào)月銷售量的方差為，型號空調(diào)月銷售量的方差為，故D錯誤.故選：D.8．（多選）（2025·湖南省永州市·三模）下列說法中，正確的有（

）A．具有相關關系的兩個變量x，y的相關系數(shù)r越大，則x，y之間的線性相關程度越強B．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則C．數(shù)據(jù)27，30，37，39，40，50的第30百分位數(shù)是30D．若一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)【答案】BCD【分析】根據(jù)相關系數(shù)的性質(zhì)判斷A；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解即可判斷B；根據(jù)百分位數(shù)的概念求解第30百分位數(shù)即可判斷C；利用頻率分布直方圖的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對于A，具有相關關系的兩個變量x，y的相關系數(shù)越大，則x，y之間的線性相關程度越強，故A不正確；對于B，隨機變量服從正態(tài)分布，又，所以，則，故B正確；對于C，因為，所以數(shù)據(jù)27，30，37，39，40，50的第30百分位數(shù)是30，故C正確；對于D，由對稱性知若頻率分布直方圖左右對稱，則平均數(shù)等于中位數(shù)，而若頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，則平均數(shù)大于中位數(shù)，故D正確.故選：BCD.9．（多選）（2025年廣東省廣州市天河區(qū)三模）某次測驗中，高三（1）班m位同學參加考試，平均分為，方差為，高三（2）班n位同學參加考試，平均分為，方差為，兩個班總的平均分為，方差為，則下列說法一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)平均數(shù)的公式和方差的公式對每個選項進行推導即可判斷正確性.【詳解】根據(jù)題意可知，兩個班的平均分，方差對于選項A：若，則，所以選項A正確.對于選項B：若，則，選項B正確.對于選項C：若，則，那么.而，因為正負不確定，所以不等式不一定成立，選項C不正確.對于選項D：若，則，那么，故選項D正確.故選：ABD.10．（2025年湖北武漢市武昌區(qū)三模）某商場為優(yōu)化服務，對顧客做滿意度問卷調(diào)查，滿意度采用計分制（滿分100）．現(xiàn)隨機抽取了其中10個數(shù)據(jù)依次為80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為．【答案】88【詳解】10個數(shù)據(jù)從小到大為80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，則，故這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為88.故答案為：88.題型03一元線性回歸模型題型031．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）已知變量x，y線性相關，其一組樣本數(shù)據(jù)，滿足，用最小二乘法得到的經(jīng)驗回歸方程為．若增加一個數(shù)據(jù)后，得到修正后的回歸直線的斜率為2.1，則數(shù)據(jù)的殘差為（

）A． B． C．0.1 D．0.2【答案】B【分析】根據(jù)已知求原數(shù)據(jù)的樣本中心，再確定增加數(shù)據(jù)后的樣本中心，進而得到修正后的回歸直線方程，估計的對應值，最后由殘差的定義求解即可.【詳解】由題設，則，增加數(shù)據(jù)后，，，且回歸直線為，所以，則，所以時，有，故殘差為，故選：B．2．（2025年山西省呂梁市三模）已知變量x和變量y，根據(jù)最小二乘法估計得到成對數(shù)據(jù)組的經(jīng)驗回歸方程，成對數(shù)據(jù)組的經(jīng)驗回歸方程，記，則（

）（參考公式，對于一組成對數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式為：）A．直線經(jīng)過點B．直線不經(jīng)過點 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)回歸方程的性質(zhì)判斷選擇即可.【詳解】根據(jù)回歸方程的性質(zhì)得出直線經(jīng)過點樣本中心點，A選項正確；直線直線經(jīng)過點樣本中心點，B選項錯誤；回歸直線，，不能確定，的大小關系，C，D選項錯誤；故選：A.3．（2025年山東省泰安市三模）對于響應變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的稱為預測值，觀測值減去預測值稱為殘差.將某公司新產(chǎn)品自上市起的月份與該月的對應銷量（單位：萬件）整理成如下表格：月份x12345銷量y0.511.4建立y與x的線性回歸方程為，則第2個月和第4個月的殘差和為（

）A．-0.919 B．-0.1 C．0.1 D．0.919【答案】C【分析】先求平均值，將其代入回歸方程，故，將2，4代入線性回歸方程，根據(jù)殘差概念計算即可.【詳解】由題意可得，，將其代入回歸方程，得，故，將2，4代入線性回歸方程，則第2，4個月的預測值分別為，，故第2個月和第4個月的殘差和為.故選：C.4．（多選）（2025·四川省攀枝花·三模）小張同學對具有線性相關的兩個變量x和y進行了統(tǒng)計分析，得到了右表，其中一些數(shù)據(jù)丟失，只記得這組數(shù)據(jù)擬合出的y關于x的經(jīng)驗回歸方程為，若成等差數(shù)列，則（

）x4681012ya2bc6A．變量x與y的樣本相關系數(shù) B．C．當時，殘差為 D．當時，y的預測值為【答案】BCD【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可計算平均數(shù)：，，又因為成等差數(shù)列，所以，則，根據(jù)經(jīng)驗回歸方程為必過點，則，解得,故B正確；由于經(jīng)驗回歸方程為是遞增的一次函數(shù)，所以兩個變量是正相關，則樣本相關系數(shù)，故A錯誤；當時，，所以殘差為，故C正確；當時，，所以y的預測值為，故D正確；故選：BCD．5．（2025·四川省成都市·三模）隨著粵港澳大灣區(qū)建設、黃河流域生態(tài)保護和高質(zhì)量發(fā)展等區(qū)域重大戰(zhàn)略實施取得新成效，城鄉(xiāng)融合和區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展繼續(xù)推進，年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率增長至.下圖為年年末常住人口城鎮(zhèn)化率的折線圖.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合常住人口城鎮(zhèn)化率與年份代碼的關系.請建立關于的回歸方程；(2)從這年中任取年，記常住人口城鎮(zhèn)化率超過的年數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法公式分別為：，.【答案】(1)；(2)分布列見解析，【分析】（1）求出、的值，將樣本數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回歸直線方程；（2）由題意可知，隨機變量的取值可能為、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得的值.【詳解】（1）設年份代碼的平均數(shù)為，則.設常住人口城鎮(zhèn)化率的平均數(shù)為，則.因為，，所以.所以.所以關于的回歸方程為.（2）由圖可知，第、、年常住人口城鎮(zhèn)化率超過，由題意可知，的取值可能為、、，因為；；.所以的分布列為：所以的數(shù)學期望為.題型04列聯(lián)表與獨立性檢驗題型041．（2025·湖南省郴州市·三模）某興趣小組調(diào)查了某校100名學生100米短跑成績的情況，其中有60名學生的短跑成績合格.這100名學生中有45名學生每周的鍛煉時間超過5小時，60名短跑成績合格的學生中有35名學生每周的鍛煉時間超過5小時.(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成以下表格，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，是否可以推斷學生短跑成績合格與每周的鍛煉時間超過5小時有關？單位：人每周的鍛煉時間短跑成績合計短跑成績合格短跑成績不合格每周的鍛煉時間超過5小時每周的鍛煉時間不超過5小時合計(2)正確的跑步姿勢和起跑技巧等都可以讓跑步者更好地發(fā)揮自己的能力.現(xiàn)對短跑成績不合格的學生進行跑步技巧培訓，已知每周的鍛煉時間超過5小時的學生參加跑步技巧培訓后，學生的短跑成績合格的概率為，每周的鍛煉時間不超過5小時的學生參加跑步技巧培訓后，學生的短跑成績合格的概率為.用頻率代替概率，從短跑成績不合格的學生中隨機抽取1名學生（記為甲）進行跑步技巧培訓，求學生甲參加培訓后短跑成績合格的概率.參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析，有關(2).【分析】（1）分析數(shù)據(jù)，填入表格，計算出卡方，與7.879比較后得到結論；（2）設出事件，利用全概率公式進行計算，得到答案.【詳解】（1）表格如下：單位：人每周的鍛煉時間短跑成績合計短跑成績合格短跑成績不合格每周的鍛煉時間超過5小時351045每周的鍛煉時間不超過5小時253055合計6040100零假設為：學生短跑成績合格與每周鍛煉時間相互獨立.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以推斷不成立，即認為學生短跑成績合格與每周的鍛煉時間超過5小時有關.（2）由（1）的列聯(lián)表可知，短跑成績不合格的學生共有40名，其每周鍛煉時間超過5小時的有10人，不超過5小時的有30人.從短跑成績不合格的40名學生中隨機抽取一名學生，記為甲，設事件“甲參加跑步技巧培訓后短跑成績合格”，事件“甲每周的鍛煉時間超過5小時”，“甲每周的鍛煉時間不超過5小時”，用連列表中的數(shù)據(jù)計算頻率并替代概率后得又已知，由全概率公式可得，所以學生甲參加跑步技巧培訓后短跑成績合格的概率為.2．（2025·四川省自貢市·三模）2025年4月24日，搭載“神舟二十號”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關新聞.某機構將關注這件事的時間在2小時以上的人稱為“航天愛好者”，否則稱為“非航天愛好者”，該機構通過調(diào)查，從參與調(diào)查的人群中隨機抽取200人進行分析，得到下表（單位：人）：航天愛好者非航天愛好者合計女4060100男7030100合計11090200(1)能否有99%的把握認為“航天愛好者”或“非航天愛好者”與性別有關？(2)現(xiàn)從這100名男生與100名女生中，按“航天愛好者”和“非航天愛好者”這兩種類型分別進行分層抽樣抽取男生10人，女生5人.將這15人中航天愛好者記為A組，非航天愛好者記為B組.現(xiàn)從這兩組中各任意選取一人進行交換，求經(jīng)過一次交換后，A組中女生人數(shù)的分布列和數(shù)學期望.附：，其中，0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有99.9%的把握認為“航天愛好者”或“非航天愛好者”與性別有關(2)分布列見解析，【分析】（1）由列聯(lián)表計算出卡方，與參考數(shù)值比較，即可判斷；（2）按分層抽樣得到A、B組的男女生人數(shù)，則A組中女生人數(shù)的可能值為1，2，3，從而求出取值對應的概率，進而得到分布列和數(shù)學期望.【詳解】（1）所以有99.9%的把握認為“航天愛好者”或“非航天愛好者”與性別有關.（2）按分層抽樣，100名男生中，抽取“航天愛好者”有7人，“非航天愛好者”有3人，100名女生中，抽取“航天愛好者”有2人，“非航天愛好者”有3人.故A組有男生7人，女生2人，B組有男生3人，女生3人.從這兩組中各任意選取一人進行交換，經(jīng)過一次交換后，A組中女生人數(shù)為，則的可能值為1，2，3.，，.X的分布列如下表：123.3．（2025·四川省攀枝花·三模）一家調(diào)查機構在某地隨機抽查800名成年居民對新能源車與燃油車的購買傾向，得到如下列聯(lián)表：傾向于購買新能源車傾向于購買燃油車合計女性居民80男性居民400合計800已知從這800名居民中隨機抽取1人，這個人傾向于購買燃油車的概率為0.8(1)完成列聯(lián)表；(2)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析對新能源車與燃油車的購買傾向是否存在性別差異；(3)從上述傾向于購買燃油車的居民中用分層隨機抽樣的方法抽取8人，再從這8人中抽取3人調(diào)查其傾向于購買燃油車的原因，用表示3人中女性居民的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．附：，0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)分布列見解析，【分析】（1）利用概率計算出傾向于購買燃油車的人數(shù)，則可列出二聯(lián)表；（2）利用獨立性檢驗規(guī)則，即可作出判斷；（3）利用超幾何分布概率公式可得概率分布列，從而可求期望.【詳解】（1）由從這800名居民中隨機抽取1人，這個人傾向于購買燃油車的概率為0.8，可知道傾向于購買燃油車的人數(shù)為人

傾向于購買新能源車傾向于購買燃油車合計女性居民80240320男性居民80400480合計160640800（2）零假設：對新能源車與燃油車的購買傾向相互獨立，不存在性別差異，則根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為對新能源車與燃油車的購買傾向存在性別差異，且該推斷犯錯誤的概率不超過；（3）從上述傾向于購買燃油車的居民中用分層隨機抽樣的方法抽取8人，則女性居民有3人，男性居民有5人，再從這8人中抽取3人調(diào)查其傾向于購買燃油車的原因，用表示3人中女性居民的人數(shù)，則的可能取值有，，，，，則的分布列為：0123所以.4．（2025·重慶市·三模）隨機詢問80名不同職業(yè)的人在購買食品時是否看營養(yǎng)說明，得到如下調(diào)查結果：職業(yè)買食品時是否看營養(yǎng)說明合計不看營養(yǎng)說明看營養(yǎng)說明從事與醫(yī)療相關行業(yè)122840從事與醫(yī)療無關行業(yè)182240合計305080(1)從這80名受訪者中隨機抽出1人，已知此人在購買食品時要看營養(yǎng)說明，求這名受訪者從事與醫(yī)療無關行業(yè)的概率；(2)依據(jù)小概率的獨立性檢驗，能否推斷兩個群體在購買食品時是否看營養(yǎng)說明存在差異？參考公式：獨立性檢驗中常用小概率值和相應臨界值：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)；(2)無差異【分析】（1）根據(jù)條件概率及古典概型計算即可；（2）代入公式計算的值，結合臨界值判斷即可.【詳解】（1）用A表示事件“受訪者在購買食品是要看營養(yǎng)說明”，B表示事件“受訪者從事醫(yī)療無關行業(yè)”，“已知此人在購買食品時要看營養(yǎng)說明，求這名受訪者從事與醫(yī)療無關行業(yè)”的概率就是在“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概率，記為，，，所以；（2）零假設為：職業(yè)與看營養(yǎng)說明相互獨立，即兩個群體在購買食品時是否看營養(yǎng)說明無差異，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，所以可以認為成立，即認為兩個群體在購買食品時是否看營養(yǎng)說明無差異.5．（2025年四川宜賓市三模）為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行小白鼠試驗.現(xiàn)將300只小白鼠分為甲、乙兩組，甲組200只，乙組100只.研究人員將疫苗注射到甲組的200只小白鼠體內(nèi)，一段時間后檢測小白鼠的某項指標值.檢測發(fā)現(xiàn)有150只小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體，其中該項指標值不小于60的占；沒有產(chǎn)生抗體的小白鼠中該項指標值不小于60的占.假設各小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體是相互獨立的.(1)填寫如下列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨立性檢驗，判斷能否認為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關；抗體指標值合計小于60不小于60有抗體沒有抗體合計(2)用甲組中小白鼠產(chǎn)生抗體的頻率估計概率，記乙組小白鼠在注射疫苗后產(chǎn)生抗體的只數(shù)為，當取最大值時，求.參考公式：（其中為樣本容量）參考數(shù)據(jù)：0.10.050.0050.0012.7063.8417.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有關；(2)【分析】（1）根據(jù)已知填表格，計算卡方，再比較臨界值判斷求解；（2）根據(jù)二項分布寫出概率，再列不等式計算求解.【詳解】（1）由題可得，列聯(lián)表如下：抗體指標值合計小于60不小于60有抗體25125150沒有抗體203050合計45155200假設為：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60無關聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得：，根據(jù)的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.（2）由題知每只小白鼠在注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率的估計值為，所以隨機變量，所以，要使最大，則解得：，所以.6．（2025·河南省安陽市·三模）某工廠引進兩條智能化生產(chǎn)線，從這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機抽取100件進行檢驗，得到的數(shù)據(jù)如下表：優(yōu)質(zhì)品合格品總計A生產(chǎn)線9010100B生產(chǎn)線8020100總計17030200(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析A，B兩條智能化生產(chǎn)線的優(yōu)質(zhì)品率是否存在差異；(2)用樣本的頻率估計概率，若B生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是A生產(chǎn)線的2倍，現(xiàn)從A，B兩條生產(chǎn)線同一時間段內(nèi)生產(chǎn)的均勻混合放置的產(chǎn)品里任取一件產(chǎn)品，求其是優(yōu)質(zhì)品的概率；(3)用樣本的頻率估計概率，若從B生產(chǎn)線上隨機抽取3件產(chǎn)品，記X為這3件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．附．α0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)是；(2)(3)分布列見解析，【分析】（1）計算出的觀測值，結合臨界值表可得出結論；（2）根據(jù)全概率公式計算即可；（3）由題意得，即可列出分布列，進而得出數(shù)學期望．【詳解】（1）零假設：A，B兩條智能化生產(chǎn)線的優(yōu)質(zhì)品率是不存在差異.依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可知零假設不成立，可以認為兩條智能化生產(chǎn)線的優(yōu)質(zhì)品率存在差異．（2）設“生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品”為事件，“生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品”為事件，“任取一件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品”為事件，由題可知，，則，所以任取一件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率為．（3）的所有可能取值為0，1，2，3，由題意得，，.所以的分布列為：01230.0080.0960.3840.512所以的數(shù)學期望．題型05古典概型、條件概率及全概率公式題型051．（2025·河南省安陽市·三模）某校從2名女生和4名男生中選出3人去參加一項創(chuàng)新大賽，則選出的3人中至少有1名女生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)古典概型利用組合進行求解公式.【詳解】.故選：C.2．（2025年江西省萍鄉(xiāng)市三模）從雙不同品牌的筷子中任取兩根，若其中一根為品牌的筷子，則另一根筷子也屬于品牌的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設事件為“從所有筷子中任取兩根均為品牌”，設事件為“任取的兩根筷子中有品牌”，求出、的值，結合條件概率公式可求得的值.【詳解】設事件為“從所有筷子中任取兩根均為品牌”，則.設事件為“任取的兩根筷子中有品牌”，則.所求概率即為.3．（2025年河北石家莊三模）已知隨機事件A、B，表示事件B的對立事件，，，則下面結論正確的是（

）A．事件A與B一定是對立事件B．C．D．若事件A、B相互獨立，則【答案】D【分析】舉例判斷AB，由于不確定事件A、B的關系，故不能求解，即可判斷C，結合對立事件概率公式和相互獨立事件乘法公式求解判斷D.【詳解】對于AB，一個密封的盒子中有標號為1,2，3,4,5的5個小球從中任取1球，記事件A：從中取出球的標號為1,2，事件：從中取出球的標號為1,2,3，則，滿足，但不是對立事件，故A錯誤；由上例可知，故B錯誤；對于C，僅在事件A、B相互獨立時才成立，而不知道事件A、B的關系，故不確定的值，錯誤.對于D，若事件A、B相互獨立，則事件A、也相互獨立，所以，正確.故選：D4．（多選）（2025·河南省焦作市·三模）如圖，一個圓形倉鼠籠被分為A，B，C，D四個區(qū)域，相鄰區(qū)域之間用通道相連，開始時將一只倉鼠放入?yún)^(qū)域，倉鼠每次隨機選擇一個通道進入相鄰的區(qū)域，設經(jīng)過次隨機選擇后倉鼠在區(qū)域的概率為，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)全概率公式、概率的乘法公式可得數(shù)列的遞推關系，結合等比數(shù)列的定義與通項公式求出數(shù)列的通項公式，再結合等比中項的定義、以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對選項中的結論逐一判斷即可.【詳解】對于A，因為倉鼠一開始在區(qū)域，經(jīng)過1次選擇后不可能在區(qū)域，所以，故A正確；對于B，記倉鼠經(jīng)過次隨機選擇后在B，C，D區(qū)域的概率分別為，，則有所以，進一步得，因為，所以，所以，所以不成等比數(shù)列，故B錯誤；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，因為，所以，故D正確．故選：ACD5．（2025年廣東省廣州市天河區(qū)三模）一個質(zhì)地均勻的正八面體的八個面上分別標有數(shù)字1到8，將其隨機拋擲兩次，記與地面接觸面上的數(shù)字依次為，事件A：，事件B：，事件C：，則（

）A．A，B互斥 B．C． D．A，B，C兩兩獨立【答案】D【分析】利用互斥事件的定義即可判斷A，根據(jù)并事件的定義即可判斷B，利用獨立事件的定義即可判斷CD.【詳解】對于A：，即事件同時發(fā)生，所以，故A錯誤；對于B：事件發(fā)生，不一定發(fā)生，故B錯誤；對于C：根據(jù)題意，，所以，，故C錯誤；對于D：由，，所以A，B，C兩兩獨立，故D正確，故選：D.6．（多選）（2025·山東省棗莊市·三模）已知，為隨機事件，且，，則下列結論正確的是（）A．若，互斥，則B．若，相互獨立，則C．若，相互獨立，則D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨立事件的概率公式以及條件概率公式逐個計算，分別對每個選項進行分析判斷.【詳解】對于選項，若，互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式.已知，，則，所以選項正確.對于選項，若，相互獨立，則與也相互獨立.因為，所以，所以選項錯誤.對于選項，若，相互獨立，則.根據(jù)概率的加法公式，將，，代入可得：，所以選項正確.對于選項，已知，，則.，.根據(jù)條件概率公式，所以選項正確.故選：ACD.7．（2025年江西九江市三模）某校選拔乒乓球隊隊員，選拔時選手與教練對局．若選手連勝兩局則成功入選，若連負兩局則落選．已知某選手每局測試中（無平局）獲勝的概率為，則該選手成功入選的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題通過定義不同狀態(tài)下成功入選的概率，利用狀態(tài)轉移的思想建立方程組來求解選手成功入選的概率.先根據(jù)不同狀態(tài)下獲勝和失敗的概率建立關于和的方程組，求解出和后，再根據(jù)初始狀態(tài)與、的關系求出.【詳解】定義狀態(tài)(最近一局贏)，(最近一局輸)，成功入選的概率分別為和，初始狀態(tài)成功入選的概率為.建立方程組，將第二個方程代入第一個方程可得：，把代入可得：又因為，將，代入可得：該選手成功入選的概率是，故選：A.8．（多選）（2025·安徽省安慶市·三模）一口袋中有除顏色外完全相同的3個紅球和2個白球，從中無放回的隨機取兩次，每次取1個球，記事件A1：第一次取出的是紅球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個紅球，則（

）A．事件，為互斥事件 B．事件B，C為獨立事件C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)互斥事件、獨立事件的定義判斷AB，由組合知識求得判斷C，根據(jù)條件概率的定義求得判斷D．【詳解】第一次取出的球是紅球還是白球兩個事件不可能同時發(fā)生，它們是互斥的，A正確；由于是紅球有3個，白球有2個，事件發(fā)生時，兩球同為白色或同為紅色，，事件不發(fā)生，則兩球一白一紅，，不獨立，B錯；，C正確；事件發(fā)生后，口袋中有3個紅球1個白球，只有從中取出一個紅球，事件才發(fā)生，所以，D正確．故選：ACD．9．（多選）（2025年湖北武漢市武昌區(qū)三模）某乒乓球比賽采用單淘汰制，即參賽選手按照隨機組合方式逐輪進行比賽，每場比賽負方淘汰，勝方晉級到下一輪，直到最終決出冠亞軍．現(xiàn)有運動員（且）名，隨機編號到對陣位置，且所有運動員在任何一場比賽中獲勝的概率均為．若甲、乙是其中的兩名運動員，則下列結論中正確的有（

）A．若，則甲、乙在第1輪比賽中相遇的概率為B．若，則甲、乙在第2輪比賽中相遇的概率為C．若（且），則甲、乙兩人在第4輪比賽中相遇的概率為D．若，則甲、乙兩人在比賽中相遇的概率為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意甲確定后，乙還有7個位置選擇然后可計算相遇概率確定A選項；同理甲乙在第2輪相遇，首先甲乙不能同組并同時晉級，再在第二輪相遇可確定B選項；根據(jù)題意甲、乙兩人在第m輪比賽中相遇的概率為即可確定C選項；利用等比數(shù)列求和公式可求甲、乙兩人在比賽中相遇的概率.【詳解】對于A，時，甲的位置確定后，乙需在剩余7個位置中選擇同一組的1個位置，概率為，故A正確；對于B，當時，甲、乙在第2輪相遇，則甲、乙需在第一輪均晉級概率為，又在第2輪同一組的概率為，故所求概率為，故B錯誤；對于C，當時，甲、乙兩人在第m輪比賽中相遇的概率為，所以甲、乙兩人在第4輪比賽中相遇的概率為，故C正確；對于D，當時，甲、乙兩人在比賽中相遇的概率為，故D正確；故選：ACD.10．（多選）（2025·陜西省安康市·三模）在平面直角坐標系上的一只螞蟻從原點出發(fā)，每次隨機地向上?下?左?右四個方向移動1個單位長度，移動6次，則（

）A．螞蟻始終未遠離原點超過1個單位長度的概率是B．螞蟻移動到點的概率為C．螞蟻回到原點的概率為D．螞蟻移動到直線上的概率為【答案】ACD【分析】對于A，由題意可知螞蟻每一步的位置只能是或原點的上下左右四個點，第一次從坐標原點出發(fā)，有上下左右4種走法，第二次移動只能回到原點，即只有1種走法，同理可得后面四次的走法，利用分步乘法計數(shù)原理可得符合題意的路徑數(shù)，而總路徑數(shù)易得為種，利用古典概型可算得其概率；對于B，螞蟻移動到點，則需恰好右移3次，上移3次，路徑數(shù)為種，利用古典概型可算得其概率；對于C，要回到原點，則左右移動次數(shù)相等，需要分類討論，求出符合題意的路徑數(shù)，再除以總路徑數(shù)即可求得其概率；對于D，可設凈移動的概念，則滿足題意的凈移動取值有，類似C選項的分析，進行分類討論，同時可以考慮問題的對稱性，可求得符合題意的路徑總數(shù)，再除以總路徑數(shù)即可求得其概率.【詳解】對于A，螞蟻始終未遠離原點超過1個單位長度，則每一步的位置只能是或原點的上下左右四個點，最開始螞蟻在原點，第一次移動有上下左右4種走法，第二次移動只能回到原點，即只有1種走法，同理，第三次移動有上下左右4種走法，第四次移動只能回到原點，即只有1種走法，第五次移動有上下左右4種走法，第六次移動只能回到原點，即只有1種走法，所以滿足題意的共有種路徑，而移動6次，每次有4種走法，即總路徑數(shù)為，由古典概型可知螞蟻始終未遠離原點超過1個單位長度的概率為，故A正確；對于B，螞蟻移動到點，則需恰好右移3次，上移3次，路徑數(shù)為種，所以螞蟻移動到點的概率為，故B錯誤；對于C，要回到原點，則左右移動次數(shù)相等，均為次；上下移動次數(shù)相等，均為次，總次數(shù)滿足，即，可能的組合有：①，即左右都3次，路徑數(shù)為種；②，即左右均2次，上下均1次，路徑數(shù)為種；③，即左右均1次，上下均2次，路徑數(shù)為種；④，即上下都3次，路徑數(shù)為種；所以路徑總數(shù)為種，故螞蟻移動到點的概率為，故C正確；對于D，螞蟻要移動到直線上，則水平凈移動（向右移動次數(shù)減去向左移動次數(shù)）要等于垂直凈移動（向上移動次數(shù)減去向下移動次數(shù)），例如，向右移動3次，向左移動1次，則水平凈移動為，向上移動2次，向下移動0次，則垂直凈移動為次，此時螞蟻位于，符合題意，設水平凈移動為，則垂直凈移動也為，當時，水平和垂直凈移動均為0，即回到坐標原點，也即C選項所考慮的結果，共400種；當時，水平和垂直凈移動均為1，設向左次數(shù)為，則向右次數(shù)為；設向下次數(shù)為，則向上次數(shù)為，總移動次數(shù)，所以可能的組合有：①，此時向右1次，向左0次，向上3次，向下2次，路徑數(shù)為種；②，此時向右2次，向左1次，向上2次，向下1次，路徑數(shù)為種；③，此時向右3次，向左2次，向上1次，向下0次，路徑數(shù)為種；所以當時，路徑總數(shù)為種；由對稱性，可知當時，路徑總數(shù)也為種；當時，水平和垂直凈移動均為2，設向左次數(shù)為，則向右次數(shù)為；設向下次數(shù)為，則向上次數(shù)為，總移動次數(shù)，所以可能的組合有：①，此時向右2次，向左0次，向上3次，向下1次，路徑數(shù)為種；②，此時向右3次，向左1次，向上2次，向下0次，路徑數(shù)為種；所以當時，路徑總數(shù)為種；由對稱性，可知當時，路徑總數(shù)也為種；當時，水平和垂直凈移動均為3，設向左次數(shù)為，則向右次數(shù)為；設向下次數(shù)為，則向上次數(shù)為，總移動次數(shù)，所以可能的組合只有：，此時向右3次，向左0次，向上3次，向下0次，路徑數(shù)為種；由對稱性，可知當時，路徑總數(shù)也為種；當或絕對值更大時，總移動次數(shù)會超過6次，不符合題意，故螞蟻移動到直線上的總路徑數(shù)為種，所以概率為，故D正確；故選：ACD.11．（2025年四川宜賓市三模）從集合中任取4個不同的數(shù)，組成無重復數(shù)字的四位數(shù).若該四位數(shù)能被3整除的概率為；若取出的4個數(shù)按從小到大排列，中間兩個數(shù)的和為7的概率為，則.【答案】【詳解】從集合中任取4個不同的數(shù)，可得無重復數(shù)字的四位數(shù)共，四位數(shù)能被3整除，即四個數(shù)的和是3的倍數(shù)，共有5種情況，故共有種，若取出的4個數(shù)按從小到大排列，共有種，中間兩個數(shù)的和為7，只能時或，若中間為，兩端只能為，一種情況，若中間為，第一個數(shù)可以從選，第四個數(shù)可以從選，有,故共有種，所以，，所以。12．（2025年山東威海市三模）有甲、乙兩袋，甲袋中有4個白球，1個紅球；乙袋中有2個白球，2個紅球．現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，則此球為紅球的概率為．【答案】/0.4【分析】將問題拆分為兩步，先從甲袋中取球，再從乙袋中取球，然后根據(jù)從甲袋中取出球的顏色情況，分情況計算乙袋中取出紅球的概率，再根據(jù)全概率公式，用兩種情況發(fā)生的概率乘以取到紅球的概率，再相加即可得解.【詳解】由題意可知從甲袋中任取2個球有兩種情況，2個白球或1個白球1個紅球.①從甲袋中取出2個白球的概率為，放入乙袋后，乙袋此時有4個白球，2個紅球，取到紅球的概率為；②從甲袋中取出1個白球1個紅球的概率為，放入乙袋后，乙袋此時有3個白球，3個紅球，取到紅球的概率為，綜上兩種情況可知，從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取一球為紅球的概率為.13．（2025·四川省德陽市·三模）根據(jù)洛書記載：“以五居中，五方皆為陽數(shù)，四隅皆為陰數(shù)”意為九官格中5位于居中位置，四個頂角填偶數(shù)，其余位置填奇數(shù)（用完1到9九個數(shù)字）.按洛書的填寫方法，記事件“滿足圖案中每行、每列及對角線上的三個數(shù)字和都相等，且”，則.

5【答案】【分析】根據(jù)排列求解總情況，然后利用列舉法列舉出符合條件的情況，即可利用古典概型概率公式求解.【詳解】九宮格的中間填5，①③⑤⑦位置填偶數(shù)，②④⑥⑧位置填奇數(shù)，故總的情況共有種情況，要使每一橫行，每一豎列以及兩條對角線上三個數(shù)字之和都等于，則和為15，所以①⑤、③⑦位置填或；滿足，則③處填的數(shù)字不大于6，故符合條件的情況有以下類型：816357492834159672276951438294753618438951276618753294因此，符合條件的有6種情況，故概率為.14．（2025·山東省棗莊市·三模）箱子中裝有4個紅球，2個黃球（除顏色外完全相同），擲一枚質(zhì)地均勻的骰子1次，如果點數(shù)為，則從該箱子中一次性取出個球.規(guī)定：依據(jù)個球中紅球的個數(shù)，判定甲的得分，每一個紅球記1分；依據(jù)個球中黃球的個數(shù)，判定乙的得分，每一個黃球記2分.比如：若一次性取出了2個紅球，2個黃球，則判定甲得分，乙得分.則在1次擲骰子取球的游戲中，.【答案】【分析】利用條件概率和乘法公式分類討論，最后利用全概率公式即可求解.【詳解】設擲骰子得到的點數(shù)的概率為，則，當時，的概率為，若，則需取出的1個球是紅球的概率為，所以，當時，的概率為，若，則需取出的2個球都是紅球的概率為，所以，當時，的概率為，若，則需取出的3個球都是紅球的概率為，所以，當時，的概率為，若，則有兩種可能的情況：第一種情況為取出的4個球都是紅球有種，第二種情況為取出的4個球種有3個紅球，1個黃球，有種，所以概率為，所以，當時，的概率為，若，則需取出全部4個紅球，1個黃球，所以，所以，當時，不滿足題意，所以綜上.故答案為：.15．（2025年山東省泰安市三模）乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：在雙方打成10平后，領先兩分者獲勝.在某校組織的乒乓球比賽中，甲、乙兩名同學已經(jīng)打成了10平.已知下一球乙同學得分的概率為，且對以后的每一球，若乙同學在本球中得分，則他在下一球的得分概率為，若乙同學在本球中未得分，則他在下一球的得分概率為.(1)求在繼續(xù)打了兩個球后比賽結束的條件下，乙同學獲勝的概率；(2)求乙同學最終獲勝的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件概率的計算公式求解；（2）設事件為“乙贏了本局”，事件為“乙贏了上一局”，設事件為“當前乙同學分數(shù)與甲同學分數(shù)之差為時，最終乙同學獲勝”，由于初始，故乙同學最終獲勝的概率等價于，分，，三種情況討論求出概率的表達式，解方程組求出得解.【詳解】（1）在打了兩個球后結束，則甲連勝兩球或乙連勝兩球，設事件為“再打兩球后結束”，事件為“乙贏得比賽”，則，，故.（2）設事件為“乙贏了本局”，事件為“乙贏了上一局”，設事件為“當前乙同學分數(shù)與甲同學分數(shù)之差為時，最終乙同學獲勝”，當時，乙肯定贏了上一局，此時，若贏球則乙直接贏得比賽，若輸球則乙獲勝的概率為，所以，同理，當時，乙肯定輸了上一局，此時，若輸球則輸?shù)舯荣悾糈A球則獲勝的概率為，所以，當時，若乙贏了上一局，此時，若贏球則獲勝的概率為，若輸球則獲勝的概率為，所以，若乙輸了上一局，，同理可得，又初始，故乙同學最終獲勝的概率等價于，所以，解得.所以乙同學最終獲勝的概率為.題型06離散型隨機變量期望、方差及其分布列題型061．（多選）（2025·四川省成都市·三模）已知某地社交媒體用戶的日活躍時長（單位：小時）服從正態(tài)分布，則（

）A．，B．若，則C．D．【答案】ACD【分析】根據(jù)正態(tài)分布知識和對稱性分別求解.【詳解】因為（單位：小時）服從正態(tài)分布，，根據(jù)正態(tài)分布知識，，，A正確；若，則，得，B錯誤；，根據(jù)原則，可得，C正確；，，由對稱性可知，所以，D正確.故選：ACD2．（多選）（2025年江西九江市三模）已知隨機變量，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C． D．【答案】AD【分析】利用二項分布概率公式，通過等式關系求解參數(shù)，判斷A;計算二項分布的方差判斷B;根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，判斷均值右側的概率是否超過判斷C;利用正態(tài)分布的對稱性，驗證對稱區(qū)間概率是否相等判斷D.【詳解】，由，等式化簡為：，故A正確；二項分布方差為：，當時，，此時.對于其他，，故B錯誤；，均值，因此，故C錯誤；由正態(tài)分布的對稱性，2和6關于對稱，根據(jù)對稱性，，故D正確.故選：AD3．（2025年山西省呂梁市三模）某企業(yè)為了提高生產(chǎn)效率，采用智能監(jiān)測器對企業(yè)的生產(chǎn)設備進行監(jiān)測．已知該企業(yè)的生產(chǎn)設備正常的概率，在生產(chǎn)設備異常的情況下，每臺智能監(jiān)測器出現(xiàn)預警信號的概率為；在生產(chǎn)設備正常的情況下，每臺智能監(jiān)測器出現(xiàn)預警信號的概率為．(1)如果用2臺智能監(jiān)測器進行監(jiān)測，且每臺智能監(jiān)測器相互獨立，已知，在生產(chǎn)設備異常的情況下，求智能監(jiān)測器出現(xiàn)預警信號的臺數(shù)X的分布列及數(shù)學期望；(2)如果用1臺智能監(jiān)測器進行監(jiān)測，要使在智能監(jiān)測器出現(xiàn)預警信號的條件下，生產(chǎn)設備異常的概率超過95%，求的范圍．【答案】(1)分布列見解析，；(2)【分析】（1）結合題意得到，再求出對應取值的概率，進而得到分布列和數(shù)學期望即可.（2）設出基本事件并求出概率，再利用全概率公式求得，然后結合對立事件的概率公式，利用條件概率公式求得，列不等式求解即可.【詳解】（1）智能監(jiān)測器出現(xiàn)預警信號的臺數(shù)X的所有可能取值為，則，則，，，則X的分布列為X012P故X的數(shù)學期望為.（2）設生產(chǎn)設備正常為事件，生產(chǎn)設備異常為事件，智能監(jiān)測器出現(xiàn)預警信號為事件，則，，，，由全概率公式知，，所以，解得，又因為，所以的范圍是.4．（2025·陜西省安康市·三模）現(xiàn)有一堆除顏色外其他都相同的小球在甲、乙兩個袋子中，其中甲袋中有3個紅色小球和3個白色小球，乙袋中有2個紅色小球和3個白色小球．小明先從甲袋中任取2個球不放回，若這2個球的顏色相同，則再從乙袋中取1個球；若這2個球的顏色不相同，則再從甲袋中取1個球．(1)求小明第二次取到的球是紅球的概率；(2)記為小明取到的紅球個數(shù)，求的分布列及期望值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用全概率公式求解即可；（2）隨機變量的值為，分別求得對應的概率，可得分布列，進而可求得期望值.【詳解】（1）記小明從甲袋中取2個球的顏色相同為事件，記小明從甲袋中取2個球的顏色不相同為事件，記小明第二次取到的球是紅球為事件，則，，，，所以由全概率公式，得；（2）隨機變量的值為，小明先從甲袋中取2個白球，再從乙袋中取1個白球時，則，小明先從甲袋中取2個球的顏色不相同，則再從甲袋中取1個白球或小明先從甲袋中取2個白球，再從乙袋中取1個紅球時，則，小明先從甲袋中任取2個紅球，再從乙袋中取1個白球或小明先從甲袋中取2個球的顏色不相同，再從甲袋中取1個紅球時，則，小明先從甲袋中任取2個紅球，則再從乙袋中取1個紅球時，則，所以的分布列如下：0123.5．（2025·遼寧沈陽·三模）甲、乙兩個箱子中，各裝有個球，其中甲箱中有個紅球和個白球，乙箱中有個紅球，其余都是白球．擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)為或，則從甲箱中隨機摸出個球；如果點數(shù)為、、、，則從乙箱中隨機摸出個球．已知擲次骰子后，摸出的球都是紅球的概率是．(1)求的值；(2)記摸到紅球的個數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列答案見解析，【分析】（1）設事件為“擲出骰子的點數(shù)為或”，則事件為“擲出骰子的點數(shù)為、、、”，設事件為“摸出的球都是紅球”，利用全概率公式可得出關于的等式，即可解得的值；（2）由題意可知，隨機變量的可能取值有：、、，求出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得的值.【詳解】（1）設事件為“擲出骰子的點數(shù)為或”，則事件為“擲出骰子的點數(shù)為、、、”，則，，設事件為“摸出的球都是紅球”，則，，由全概率公式可得，整理可得，解得或（舍去），故.（2）由題意可知，隨機變量的可能取值有：、、，則，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：則.6．（2025年江蘇如皋市三模）已知一個黑色袋子里裝有2個紅球，4個白球，這些球除顏色不同外，其余均相同，甲同學每次從袋子中任取一個球，不放回，直到把兩個紅球都取出來即終止，記此時袋子里剩余球的個數(shù)為X．(1)求甲同學取球兩次即終止的概率；(2)求隨機變量X的分布列及期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，．【分析】（1）甲同學取球兩次即終止即兩次都取紅球，結合題意由古典概率計算可得；（2）求出X的可能取值，由題意求出相應的概率，列出分布列，利用期望公式求解可得.【詳解】（1）設甲同學取球兩次即終止為事件A，．（2）X的可能取值為0，1，2，3，4，；隨機變量X的分布列為：X01234P答：甲同學取球兩次即終止的概率為，隨機變量X的期望為．7．（2025·浙江省金華市義烏市·三模）某手機廠對屏幕進行兩項獨立檢測：亮度檢測通過率，色準檢測通過率.產(chǎn)品需通過兩項檢測才算合格.隨機抽取3件產(chǎn)品，設合格品數(shù)為X.(1)求單件產(chǎn)品為合格品的概率；(2)求X的分布列及數(shù)學期望；(3)已知合格品利潤100元/件，若改進工藝能使亮度檢測通過率提升至，但每件成本增加1元.是否值得改進？【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)值得改進【分析】（1）根據(jù)概率的乘法公式，可得答案；（2）根據(jù)離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望的計算，可得答案；（3）由（2）所求的期望，結合題意，可得改進前的利潤，利用二項分布的期望，結合題意，可得改進后的利潤，通過比較，可得答案.【詳解】（1）設合格的概率為，則：（亮度通過）（色準通過）.（2），易知，，，，，所以X的分布列為：X0123P0.0270.1890.4410.343數(shù)學期望.（3）改進前：每件產(chǎn)品的合格概率.對于3件產(chǎn)品，期望合格數(shù).總期望利潤元.改進后：每件產(chǎn)品的合格概率，對于3件產(chǎn)品，新的期望合格數(shù).總期望利潤元.凈期望利潤元.改進前的期望利潤是210元，改進后是213元，改進后利潤增加了3元.8．（2025·湖南省永州市·三模）某學校為調(diào)查高三年級的體育開展情況，隨機抽取了20位高三學生作為樣本進行體育綜合測試，體育綜合測試成績分4個等級，每個等級對應的分數(shù)和人數(shù)如下表所示：等級不及格及格良優(yōu)分數(shù)1234人數(shù)3953(1)若從樣本中隨機選取2位學生，求所選的2位學生分數(shù)不同的概率；(2)用樣本估計總體，以頻率代替概率.若從高三年級學生中隨機抽取n位學生，記所選學生分數(shù)不小于3的人數(shù)為X.（?。┤?，求X的分布列與數(shù)學期望；（ⅱ）若，當k為何值時，最大？【答案】(1)(2)（?。┓植剂幸娊馕?，；（ⅱ）時，最大【分析】（1）設事件“選取的2位學生分數(shù)不同”，根據(jù)對立事件結合古典概型計算即可得概率；（2）（ⅰ）時，，結合二項分布求解概率分布列與數(shù)學期望；（ⅱ）時，，由于最大，結合二項分布的概率計算可得解不等式可得符合的的值.【詳解】（1）設事件“選取的2位學生分數(shù)不同”，則，故所選的2位學生分數(shù)不同的概率為；（2）設“學生分數(shù)不小于3”，則，（ⅰ）若，的可能取值為，由題意可得,又，，，，所以的分布列為：由于，則；（ⅱ）若，則，所以，由于最大，所以，即，因為，，所以時，最大.9．（2025年江西省萍鄉(xiāng)市三模）某數(shù)學研究小組對一家商鋪進行了研究分析，發(fā)現(xiàn)每日客流量X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)峰值為，均值為100，且商鋪規(guī)定消費一次可以獲得不同數(shù)量的積分：獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，獲得3分的概率為.每次消費獲取積分相互獨立.(1)求；(2)記某顧客消費兩次累計獲得的積分為Z，求Z的分布列與期望.附：正態(tài)密度函數(shù)，其中為均值，為標準差.，，.【答案】(1)分布列見解析，【分析】（1）先求出，結合特定區(qū)間上的概率可求；（2）利用獨立事件的概率公式求出的分布列后可求其期望.【詳解】（1）由于，所以，所以.那么.（2）依題意，所有可能的取值為2，3，4，5，6.，，，，.所以的分布列如下.23456.10．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）甲、乙兩選手進行象棋比賽，假設每局比賽結果相互獨立，且每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為．(1)若比賽采用三局兩勝制，求甲獲勝的概率；(2)如果比賽采用五局三勝制（當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結束）進行比賽，求比賽的局數(shù)X的分布列和期望；(3)如果每局