【第31講：直線(xiàn)的傾斜角與斜率，直線(xiàn)的方程】【新高考課程標(biāo)準(zhǔn)要求】1.直線(xiàn)的傾斜角與斜率：理解直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率的計(jì)算公式，能根據(jù)兩條直線(xiàn)的斜率判定這兩條直線(xiàn)平行或垂直。2.直線(xiàn)的方程：掌握直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式，了解直線(xiàn)方程與一次函數(shù)的關(guān)系，會(huì)用代數(shù)的方法解決直線(xiàn)的有關(guān)問(wèn)題，如求兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，判斷兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系等?！局R(shí)梳理】一、直線(xiàn)的傾斜角與斜率（一）核心知識(shí)梳理1.傾斜角：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線(xiàn)，把x軸正方向按逆時(shí)針?lè)较蚶@著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線(xiàn)重合時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角，叫做直線(xiàn)的傾斜角。當(dāng)直線(xiàn)與x軸平行或重合時(shí)，其傾斜角為，傾斜角的取值范圍是。2.斜率：當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角時(shí)，其斜率；當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角時(shí)，直線(xiàn)的斜率不存在。過(guò)兩點(diǎn)，（）的直線(xiàn)的斜率公式為。3.斜率與傾斜角的關(guān)系：傾斜角在時(shí)，斜率，且越大，越大；傾斜角在時(shí)，斜率，且越大，越大。4.兩直線(xiàn)斜率與位置關(guān)系：設(shè)兩條不重合直線(xiàn)，的斜率分別為，，若，則（當(dāng)兩直線(xiàn)斜率都不存在時(shí)，兩直線(xiàn)也平行）；若，則（當(dāng)一條直線(xiàn)斜率為，另一條直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，兩直線(xiàn)也垂直）。（二）常用結(jié)論1.若直線(xiàn)的斜率為，則傾斜角滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。2.已知兩點(diǎn)，，若，則直線(xiàn)垂直于x軸，傾斜角為，斜率不存在；若，則直線(xiàn)平行于x軸，傾斜角為，斜率為。3.若兩條直線(xiàn)：，：，則且；與重合且。（三）微點(diǎn)提醒1.傾斜角的范圍是，不是，解題時(shí)切勿忽略該范圍導(dǎo)致錯(cuò)誤，比如認(rèn)為傾斜角為，這是不符合定義的。2.斜率不存在的直線(xiàn)是垂直于x軸的直線(xiàn)，在求直線(xiàn)方程或判斷直線(xiàn)位置關(guān)系時(shí)，不能只考慮斜率存在的情況，要兼顧斜率不存在的特殊情形，否則易漏解。3.利用斜率公式計(jì)算時(shí)，要注意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)不能相等，若橫坐標(biāo)相等，直接判斷斜率不存在，避免因代入公式計(jì)算導(dǎo)致無(wú)意義的結(jié)果。二、直線(xiàn)的方程（一）核心知識(shí)梳理1.點(diǎn)斜式：已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，斜率為（斜率存在），則直線(xiàn)方程為。該形式不能表示垂直于x軸的直線(xiàn)。2.斜截式：已知直線(xiàn)斜率為，在y軸上的截距為（斜率存在），則直線(xiàn)方程為。同樣不能表示垂直于x軸的直線(xiàn)。3.兩點(diǎn)式：已知直線(xiàn)過(guò)兩點(diǎn)，（，），則直線(xiàn)方程為。不能表示垂直于x軸和垂直于y軸的直線(xiàn)。4.截距式：已知直線(xiàn)在x軸上的截距為，在y軸上的截距為（，），則直線(xiàn)方程為。不能表示過(guò)原點(diǎn)、垂直于x軸和垂直于y軸的直線(xiàn)。5.一般式：任何直線(xiàn)都可以表示為（，不同時(shí)為）的形式。當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)斜率為；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)垂直于x軸，斜率不存在。（二）常用結(jié)論1.過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)方程：若直線(xiàn)方程中含有參數(shù)，可通過(guò)整理方程，將參數(shù)分離，令參數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為，求解方程組得到直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)。例如，直線(xiàn)（為參數(shù)），整理為，令，得定點(diǎn)。2.直線(xiàn)在坐標(biāo)軸上截距的求法：在直線(xiàn)方程中，令，得x軸截距（）；令，得y軸截距（）。3.兩直線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法：求兩條直線(xiàn)：，：的交點(diǎn)，只需解方程組，方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo)。（三）微點(diǎn)提醒1.利用不同形式的直線(xiàn)方程求解時(shí)，要注意各自的適用條件，避免因忽略限制條件而導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解。比如用截距式求直線(xiàn)方程時(shí)，不能遺漏過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)情況。2.直線(xiàn)的截距是直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)，可正、可負(fù)、可為，不要誤認(rèn)為截距一定是正數(shù)，比如直線(xiàn)在x軸和y軸上的截距都為。3.將直線(xiàn)方程化為一般式時(shí)，要保證，不同時(shí)為，且通常使為非負(fù)數(shù)，若為負(fù)數(shù)，可兩邊同乘進(jìn)行整理，符合一般式的規(guī)范形式，方便后續(xù)計(jì)算和判斷。【課前自測(cè)】一、單選題1．（2025·寧夏中衛(wèi)·三模）若直線(xiàn)：與直線(xiàn)：平行，則（

）A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4【答案】D【分析】根據(jù)直線(xiàn)一般方程的平行關(guān)系求的值，并代入檢驗(yàn)即可.【詳解】依題意得，，得，解得或，若時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，符合題意；若時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，符合題意；綜上所述：或．故選：D2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離是（

）A． B．2 C． D．不存在【答案】D【分析】求出直線(xiàn)l所過(guò)的定點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式并結(jié)合判斷是否存在最值，即可求解答案.【詳解】直線(xiàn)即，令，解得，即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，設(shè)為B，當(dāng)直線(xiàn)與l垂直時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大，即為，此時(shí)的斜率為，則l的斜率為2，故，方程無(wú)解，即直線(xiàn)l和不可能垂直，則點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離小于，不存在最大值，故選：D二、多選題3．（25-26高二上·全國(guó)·期中）已知直線(xiàn)：，直線(xiàn)：，則（

）A．當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)是B．直線(xiàn)與都恒過(guò)C．若，則D．，使得【答案】ABC【分析】將代入，聯(lián)立兩直線(xiàn)方程即可求得交點(diǎn)，則A可解；由直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題可求B；由直線(xiàn)垂直的條件可判斷C；由直線(xiàn)平行的條件可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，直線(xiàn)，聯(lián)立，解得，所以?xún)芍本€(xiàn)的交點(diǎn)為，故A正確；對(duì)于B，將點(diǎn)代入的方程，兩方程對(duì)任意參數(shù)都成立，所以直線(xiàn)與都恒過(guò)，故B正確；對(duì)于C：若，則，解得，故C正確；對(duì)于D，假設(shè)存在，使，則，解得或，當(dāng)，，，兩直線(xiàn)重合，舍去，當(dāng)時(shí)，，即，，即，兩直線(xiàn)重合，舍去，所以不存在，使，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.4．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知直線(xiàn)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的充要條件為或B．若，則C．若直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第四象限，則D．若，則將直線(xiàn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，再向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，所得直線(xiàn)方程為【答案】BCD【分析】利用兩直線(xiàn)平行的結(jié)論結(jié)合充要條件的定義可判斷A；.根據(jù)兩直線(xiàn)垂直的結(jié)論可判斷B；由直線(xiàn)方程，求得斜率與截距，建立不等式組，求解即可判斷；先得到逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的直線(xiàn)方程，再根據(jù)左右平移求出平移后的直線(xiàn)方程，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，顯然直線(xiàn)的斜率存在，若，則，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，這兩條直線(xiàn)重合，所以，故充要條件不是“或”．故A不正確；對(duì)于B，若，則，解得．故B正確；對(duì)于C，若直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第四象限，則，解得．故C正確；對(duì)于D，若，則直線(xiàn)，將其繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到直線(xiàn)，再向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，所得直線(xiàn)方程為，故D正確.故選：BCD三、填空題5．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）若直線(xiàn)的截距之和為2，且，則的最小值為.【答案】【分析】將直線(xiàn)方程化成截距式，依題得到，利用“1”的妙用結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】將直線(xiàn)轉(zhuǎn)換為截距式，即，則，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故得的最小值為.故答案為：.6．（2025·陜西漢中·三模）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且其一個(gè)方向向量為，則直線(xiàn)的方程為.【答案】【分析】用直線(xiàn)的方向向量可以確定直線(xiàn)的斜率，然后利用點(diǎn)斜式方程求出直線(xiàn)方程.【詳解】由題意可知，直線(xiàn)的斜率為.而直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)方程為，即：.故答案為：.7．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）直線(xiàn)傾斜角的取值范圍是．【答案】【分析】先求斜率的取值范圍，根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】由.所以直線(xiàn)的斜率為：.設(shè)傾斜角為，則（）.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，傾斜角的取值范圍為：.故答案為：8．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)的最大值為，最小值為．【答案】/0【分析】方法一，利用輔助角公式：（為輔助角）；方法二，利用幾何意義求解.【詳解】方法一：可化為，即，即，解得．方法二：的幾何意義是過(guò)和兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率，而在單位圓上，因此表示過(guò)點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率，如圖所示，要求的最值在直線(xiàn)和圓相切時(shí)取得．顯然直線(xiàn)的斜率存在，令直線(xiàn)方程為，即，則原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，即，解得或，故函數(shù)的最大值為，最小值為0．故答案為：①；②0.題型題型分類(lèi)知識(shí)講解與?？碱}型【考點(diǎn)一：直線(xiàn)的傾斜角與斜率】【例題】1．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列敘述正確的是（

）A．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都存在傾斜角和斜率B．若一條直線(xiàn)的斜率為，則此直線(xiàn)的傾斜角為C．與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)的傾斜角是或D．若直線(xiàn)與軸相交，其向上的方向與軸正方向所成的角為，則其傾斜角為【答案】C【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合依次判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】A：任意一條直線(xiàn)都存在傾斜角，但傾斜角為的直線(xiàn)不存在斜率，錯(cuò)；B：由于直線(xiàn)傾斜角的取值范圍是，因此不在此范圍內(nèi)時(shí)不是直線(xiàn)的傾斜角，如當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)斜率，但直線(xiàn)傾斜角為，錯(cuò)；C：與軸垂直的直線(xiàn)的傾斜角是，與軸垂直的直線(xiàn)的傾斜角是，對(duì)；D：如圖，當(dāng)向上方向的部分在軸左側(cè)時(shí)，傾斜角為；當(dāng)向上方向的部分在軸右側(cè)時(shí)，傾斜角為，錯(cuò)．故選：C2．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若過(guò)點(diǎn)，的直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合傾斜角與斜率的關(guān)系，分斜率不存在與斜率存在計(jì)算即可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率不存在，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，即；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率存在，則或，解得或；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.【針對(duì)訓(xùn)練】3．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，若直線(xiàn)與連接點(diǎn)，的線(xiàn)段沒(méi)有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)直線(xiàn)與線(xiàn)段無(wú)交點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求傾斜角的范圍.【詳解】如圖所示，直線(xiàn)與線(xiàn)段沒(méi)有公共點(diǎn)，若為直線(xiàn)的傾斜角，

直線(xiàn)可從直線(xiàn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線(xiàn)的位置，注意包含直線(xiàn)傾斜角為的情況，，，直線(xiàn)的區(qū)域包含傾斜角為的情況，斜率或，從而或，又，結(jié)合正切曲線(xiàn)可得．故答案為：4．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)，，若，則直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍為．【答案】【分析】利用斜率的兩點(diǎn)公式及已知得，結(jié)合正切函數(shù)的圖象及傾斜角的范圍確定直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍.【詳解】若直線(xiàn)的傾斜角為，則且，如下圖示，

由圖知，直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍為.故答案為：5．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)傾斜角，那么的取值范圍是．【答案】【分析】先根據(jù)傾斜角的取值范圍確定直線(xiàn)斜率的取值范圍，在利用表示斜率，解不等式即可.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)傾斜角的取值范圍為，所以直線(xiàn)斜率的取值范圍為：或.又，由；由.所以.故答案為：【解題策略】題型1：求直線(xiàn)的斜率（已知兩點(diǎn)/傾斜角/直線(xiàn)方程）解題步驟：1.判存在性 兩點(diǎn)：若，則斜率不存在，此時(shí)傾斜角；若，則可計(jì)算斜率。 傾斜角：當(dāng)時(shí)，斜率不存在；否則，利用公式計(jì)算斜率。 直線(xiàn)方程（）：若，斜率不存在；若，則。2.代公式計(jì)算 兩點(diǎn)：運(yùn)用公式，注意坐標(biāo)差值與坐標(biāo)差值順序需一致。 傾斜角：當(dāng)時(shí)，為負(fù)值，例如時(shí)，。 方程：可將直線(xiàn)方程化為斜截式，注意符號(hào)問(wèn)題，如，。3.驗(yàn)結(jié)果：確保斜率正負(fù)與傾斜角區(qū)間相匹配，斜率為正，傾斜角；斜率為負(fù)，傾斜角。關(guān)聯(lián)內(nèi)容： 教材（人教版必修二）：P89例1（通過(guò)兩點(diǎn)求斜率）、P90例2（由傾斜角求斜率）。 高考真題：2023年全國(guó)甲卷文T7（已知傾斜角為另一直線(xiàn)傾斜角的2倍，求該直線(xiàn)斜率，需注意）。題型2：求直線(xiàn)的傾斜角（已知斜率/兩點(diǎn)/直線(xiàn)方程）解題步驟：1.求斜率：已知斜率直接使用；若已知兩點(diǎn)或直線(xiàn)方程，先計(jì)算斜率。若斜率不存在，則傾斜角。2.定傾斜角 當(dāng)時(shí)，，例如時(shí)，。 當(dāng)時(shí)，，例如時(shí)，。3.驗(yàn)邊界：需排除傾斜角計(jì)算結(jié)果超出的情況，如、等。當(dāng)時(shí)，。關(guān)聯(lián)內(nèi)容： 教材：P90例3（根據(jù)負(fù)斜率求傾斜角）。 高考真題：2024年浙江高考T3（對(duì)于分段直線(xiàn)，需分（此時(shí)）和（此時(shí)）兩種情況分析傾斜角）。題型3：斜率與傾斜角的范圍互化（含參數(shù)）解題步驟：1.明確轉(zhuǎn)化方向 已知求：將的范圍分為和兩部分，利用正切函數(shù)在和上的單調(diào)性進(jìn)行求解。 已知求：若區(qū)間包含，則；若不包含，直接利用正切函數(shù)單調(diào)性求的范圍。2.畫(huà)圖像輔助：借助在的函數(shù)圖像，直觀(guān)輔助分析，避免推導(dǎo)錯(cuò)誤。3.合并區(qū)間：注意合并區(qū)間時(shí)端點(diǎn)是否包含，例如當(dāng)時(shí)，。關(guān)聯(lián)內(nèi)容： 教材：P91練習(xí)T6（已知求的范圍）。 高考真題：2022年新高考I卷T14（已知，求的范圍為）。題型4：兩直線(xiàn)平行/垂直的斜率判定（含參數(shù)）解題步驟：1.分情況判斜率 均存在（設(shè)為）：兩直線(xiàn)平行，則且截距不相等；兩直線(xiàn)垂直，則。 一存一不存：這種情況下兩直線(xiàn)不可能平行；若一條直線(xiàn)斜率存在，另一條不存在，則兩直線(xiàn)一定垂直。 均不存在：兩直線(xiàn)一定平行，不可能垂直。2.列方程求解（含參數(shù)）：先根據(jù)直線(xiàn)方程求出斜率（注意方程中系數(shù)為0的特殊情況），再依據(jù)平行或垂直條件列出方程求解。3.驗(yàn)結(jié)果：對(duì)于平行的情況，需排除兩直線(xiàn)重合的可能性，例如若兩直線(xiàn)方程系數(shù)成比例，則兩直線(xiàn)重合。關(guān)聯(lián)內(nèi)容： 教材：P93例5（判斷直線(xiàn)與是否平行）。 高考真題：2024年北京高考T8（已知含參數(shù)直線(xiàn)垂直，解得或）。三、避坑思維鏈1.讀題時(shí)圈畫(huà)出“垂直軸”“傾斜角”等特殊條件。2.解題前先判斷“斜率是否存在”，再代入相應(yīng)公式計(jì)算。3.計(jì)算過(guò)程中關(guān)注符號(hào)（如）和范圍。4.對(duì)于平行問(wèn)題，必須驗(yàn)證兩直線(xiàn)是否重合；傾斜角的取值范圍必須在內(nèi)。【考點(diǎn)二：直線(xiàn)方程】【例題】1．（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，求：(1)邊和所在直線(xiàn)的方程；(2)邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程；(3)邊上的垂直平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程；(4)邊上的高所在直線(xiàn)的方程．【答案】(1)，(2)(3)．(4)．【分析】（1）解法1：利用兩點(diǎn)式和截距式將點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解；解法2：先利用斜率公式求出直線(xiàn)斜率，再利用點(diǎn)斜式求解即可；（2）先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式或利用斜率公式和點(diǎn)斜式求解即可；（3）由垂直平分線(xiàn)的定義，利用斜率公式和點(diǎn)斜式求解即可；（4）由高的定義求得高所在直線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】（1）解法1：由兩點(diǎn)式得邊所在直線(xiàn)方程為，即．由截距式得邊所在直線(xiàn)方程為，即．解法2：因?yàn)?，所以邊所在直線(xiàn)方程為，即．因?yàn)椋赃吽谥本€(xiàn)方程為，即．（2）解法1：設(shè)的中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，由兩點(diǎn)式得所在直線(xiàn)方程為，即．解法2：設(shè)的中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，則，所以所在直線(xiàn)方程為，即．（3）因?yàn)?，的中點(diǎn)，所以邊上的垂直平分線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為，即．（4）因?yàn)?，，所以邊上的高所在直線(xiàn)方程為，即．2．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知直線(xiàn)，，其中為實(shí)數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求過(guò)直線(xiàn)的交點(diǎn)，且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩直線(xiàn)平行，列出關(guān)于m的方程，即可求得答案；（2）解方程組求出直線(xiàn)的交點(diǎn)，再根據(jù)直線(xiàn)的垂直關(guān)系，利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式，即可求得答案.【詳解】（1）由得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意,故；（2）當(dāng)時(shí)，，聯(lián)立，解得，即直線(xiàn)的交點(diǎn)為，又直線(xiàn)的斜率為，故過(guò)直線(xiàn)的交點(diǎn)，且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為，即．【針對(duì)訓(xùn)練】1．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)．(1)從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)，求直線(xiàn)l的方程．條件①：直線(xiàn)l的傾斜角比直線(xiàn)的傾斜角大；條件②：直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為．(2)若點(diǎn)在直線(xiàn)l上，且，求的取值范圍．注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)所選條件見(jiàn)解析，；(2).【分析】（1）根據(jù)所選條件，由傾斜角與斜率的關(guān)系或方向向量求，再應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程；（2）根據(jù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合法求其范圍即可.【詳解】（1）選①：因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以其傾斜角為，則l的傾斜角為，可知l的斜率，所以l的方程為，即．選②：由直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為，可知l的斜率，所以l的方程為，即；（2）表示與點(diǎn)連線(xiàn)的斜率．又是直線(xiàn)l在部分上的動(dòng)點(diǎn)，作圖如下：則，直線(xiàn)AB的斜率不存在，則，即的取值范圍為.2．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）設(shè)m為實(shí)數(shù)，直線(xiàn)在x軸、y軸上截距之和等于1，且與x軸的交點(diǎn)記作A．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A且傾斜角是直線(xiàn)傾斜角的2倍，求直線(xiàn)的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）把直線(xiàn)一般式化為截距式方程，結(jié)合題意進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線(xiàn)斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合二倍角的正切公式、直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋杂?，由題意可知：，因?yàn)椋渣c(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）由（1）可知，所以有直線(xiàn)，設(shè)直線(xiàn)傾斜角為，則有，所以直線(xiàn)的傾斜角為，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則有，所以直線(xiàn)直線(xiàn)的方程為：.3．（23-24高二下·上海·期中）已知點(diǎn)，．(1)設(shè)，若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求的值；(2)求過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)夾角的余弦值為的直線(xiàn)方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)直線(xiàn)垂直即可求解；（2）先對(duì)用正弦定理，得到的正弦值，對(duì)用正弦定理，得到，設(shè)出交點(diǎn)求解二次方程即可求解.【詳解】（1）直線(xiàn)的斜率為，因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以，所以；（2）如圖點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)夾角的余弦值為的直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)為直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)為直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)的交點(diǎn)，，，設(shè)夾角為，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以在中，，所以，因?yàn)?，所以在中，，所以，所以，易知，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以或，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為或，所以直線(xiàn)方程為或，即或.【解題策略】題型1：求直線(xiàn)方程（已知點(diǎn)、斜率、截距等）1.高頻錯(cuò)因 忽略方程適用條件：用點(diǎn)斜式求斜率不存在的直線(xiàn)（如垂直x軸的直線(xiàn)）；用截距式求過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)（截距為0）。 符號(hào)計(jì)算失誤：化一般式為斜截式時(shí)錯(cuò)算斜率；兩點(diǎn)式中分子分母順序顛倒。2.方法提煉 選方程形式前，先判斷斜率是否存在、截距是否為0，確保形式與條件匹配。 已知一點(diǎn)+傾斜角（非90°），優(yōu)先用點(diǎn)斜式；傾斜角為90°，直接寫(xiě)。 已知一點(diǎn)+垂直關(guān)系，先求垂直直線(xiàn)斜率，再用點(diǎn)斜式。 最終方程優(yōu)先化為一般式（，非負(fù)），方便后續(xù)計(jì)算。3.防錯(cuò)要點(diǎn) 草稿紙標(biāo)注適用條件，如“斜率存在→用點(diǎn)斜式”“過(guò)原點(diǎn)→不用截距式”。 計(jì)算時(shí)反復(fù)核對(duì)符號(hào)，尤其是一般式化斜截式的斜率計(jì)算。題型2：直線(xiàn)方程與截距、距離結(jié)合（含參數(shù)）1.高頻錯(cuò)因 截距概念混淆：將截距等同于距離（忽略截距可負(fù)）；忽略截距為0的情況（如“截距相等”漏解過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)）。 參數(shù)討論不全面：含參數(shù)直線(xiàn)求定點(diǎn)時(shí)，不會(huì)分離參數(shù)，錯(cuò)認(rèn)為參數(shù)無(wú)法消去。2.方法提煉 明確截距定義：x軸截距是令的x值，y軸截距是令的y值，截距可正、可負(fù)、可為0。 截距相等問(wèn)題分兩類(lèi)：截距不為0時(shí)用；截距為0時(shí)用。 含參數(shù)直線(xiàn)求定點(diǎn)，用參數(shù)分離法：將含參數(shù)與不含參數(shù)的項(xiàng)分開(kāi)，令系數(shù)均為0，解方程組得定點(diǎn)。 涉及截距的面積計(jì)算，需對(duì)截距取絕對(duì)值，避免符號(hào)錯(cuò)誤。3.防錯(cuò)要點(diǎn) 遇“截距”相關(guān)題目，先寫(xiě)清截距定義，含“截距相等/互為相反數(shù)”必分“截距為0”和“不為0”兩類(lèi)。 參數(shù)分離時(shí)，確保參數(shù)前系數(shù)整理完整，再令系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)為0。題型3：兩直線(xiàn)位置關(guān)系與直線(xiàn)方程結(jié)合1.高頻錯(cuò)因 平行判斷忽略“不重合”驗(yàn)證：僅看斜率相等，未確認(rèn)截距或方程系數(shù)是否成比例，誤將重合當(dāng)平行。 垂直判斷漏算特殊情況：只考慮斜率均存在的情況，忽略“一存一不存”的垂直情形。2.方法提煉 判斷平行：先分斜率“均存在”“一存一不存”“均不存在”三類(lèi)，斜率相等時(shí)必驗(yàn)證截距是否相等（或系數(shù)是否成比例），排除重合。 判斷垂直：先討論斜率是否存在，“一存一不存”時(shí)直接判定垂直；“均存在”時(shí)驗(yàn)證斜率乘積是否為-1。 求過(guò)兩直線(xiàn)交點(diǎn)且滿(mǎn)足特定條件的直線(xiàn)方程：先解方程組求交點(diǎn)，再根據(jù)平行/垂直關(guān)系定斜率，最后用點(diǎn)斜式寫(xiě)方程。3.防錯(cuò)要點(diǎn) 平行判斷必補(bǔ)“不重合”驗(yàn)證，垂直判斷必覆蓋“斜率不存在”情況。 含參數(shù)的位置關(guān)系題，求出參數(shù)后必代入原直線(xiàn)方程驗(yàn)證?！究键c(diǎn)三：直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用】【例題】1．（24-25高二上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知?jiǎng)又本€(xiàn)過(guò)定點(diǎn).(1)求的坐標(biāo)：(2)若直線(xiàn)與、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在直線(xiàn)滿(mǎn)足下列條件：①的周長(zhǎng)為；②的面積為.若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)若直線(xiàn)與、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線(xiàn)的方程.【答案】(1)(2)存在，且直線(xiàn)的方程為(3)【分析】（1）將直線(xiàn)的方程可化為，解方程組，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線(xiàn)的截距式方程，代入定點(diǎn)，再分別表示的周長(zhǎng)和面積，求解參數(shù)、即可；（3）由（1）直線(xiàn)的傾斜角，再根據(jù)三角函數(shù)表達(dá)出，令，再根據(jù)三角函數(shù)的范圍與函數(shù)的單調(diào)性求解即可【詳解】（1）解：直線(xiàn)的方程可化為，由，解得，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．（2）解：設(shè)直線(xiàn)l的方程為，將代入得．①由、，的周長(zhǎng)為，面積為，得，令，則，所以，即，化簡(jiǎn)得，解得，所以有，解得或．其中不滿(mǎn)足①，滿(mǎn)足①．所以存在直線(xiàn)的方程為，即滿(mǎn)足條件．（3）解：由（1）可知直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，直線(xiàn)與軸、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，所以直線(xiàn)的傾斜角，所以，，所以，②令，因?yàn)椋?，所以，所以．則，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．此時(shí)直線(xiàn)l的方程為，即．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題第（3）問(wèn)的關(guān)鍵在于引入角，利用幾何關(guān)系將、用含的三角函數(shù)式表示，再結(jié)合三角恒等變換結(jié)合三角函數(shù)的有界性來(lái)求最值.2．（23-24高二上·安徽六安·期中）過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)交于點(diǎn)（與不重合），則面積的最大值為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)方程可得定點(diǎn)A、B，并且可判斷兩直線(xiàn)垂直，然后利用基本不等式可得.【詳解】動(dòng)直線(xiàn)化為，可知定點(diǎn)，動(dòng)直線(xiàn)化為，令，解得，可知定點(diǎn)，又，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，為交點(diǎn)，.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.即面積的最大值為.故選：B.【針對(duì)訓(xùn)練】1．（23-24高二上·江蘇常州·階段練習(xí)）已知圓，．(1)求過(guò)點(diǎn)且與相切的直線(xiàn)方程；(2)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)，且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．求的最小值，并求此時(shí)直線(xiàn)l的方程．【答案】(1)和；(2)最小值為12，直線(xiàn)l的方程為x+y-5＝0.【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在兩種情況考慮，當(dāng)斜率存在時(shí)，根據(jù)相切時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求切線(xiàn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，根據(jù)A，P，B三點(diǎn)共線(xiàn)得到，然后利用基本不等式求最值即可.【詳解】（1）因?yàn)閳A，圓心為，半徑為2，，由題知點(diǎn)在圓外，故過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)有兩條，當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，，顯然是的切線(xiàn)；當(dāng)切線(xiàn)斜率存在時(shí)，可設(shè)切線(xiàn)方程為，即，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得：，解得，即，綜上，可得切線(xiàn)方程為：和.（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為，其中a>0，b>0，，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（2，3），所以，因?yàn)锳，P，B三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)a＝5，b＝5時(shí)取等號(hào)，所以，此時(shí)直線(xiàn)l的方程為x+y-5＝0，綜上，的最小值為12，直線(xiàn)l的方程為x+y-5＝0.2．（22-23高二上·福建福州·期中）已知直線(xiàn)的方程為，若直線(xiàn)在軸上的截距為，且．(1)求直線(xiàn)和的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)與的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積為，求直線(xiàn)的方程．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）由，可得直線(xiàn)的斜率，從而可得，聯(lián)立方程組即可求得交點(diǎn)；（2）由題意知的斜率k存在，設(shè)，求得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合面積公式即可求解.【詳解】（1）（1）因?yàn)椋种本€(xiàn)的斜率,所以直線(xiàn)的斜率,則.由所以直線(xiàn)和的交點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）由題意知的斜率k存在，設(shè)令得，令得，因?yàn)橹本€(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交，所以，解得，，解得或，即或.3．（22-23高二上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知直線(xiàn)：，.(1)證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的，求直線(xiàn)的方程；(3)若直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第四象限，求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)或(3)【分析】（1）化簡(jiǎn)方程為直線(xiàn)系方程的形式，組成方程組解出直線(xiàn)過(guò)的點(diǎn)；（2）根據(jù)題意分直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)、不過(guò)原點(diǎn)討論，分析解決即可；（3）分①，②，③，且三種情況進(jìn)行討論分析解決.【詳解】（1）證明：整理直線(xiàn)的方程，得，所以直線(xiàn)過(guò)直線(xiàn)與的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）當(dāng)截距為0時(shí)，直線(xiàn)的方程為，即，當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，則，解得，直線(xiàn)的方程為，即，故直線(xiàn)的方程為或.（3）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，不符合題意；當(dāng)，且時(shí)，，所以解得或，綜上所述，當(dāng)直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第四象限時(shí)，的取值范圍是：.【解題策略】一、核心解題思路總綱直線(xiàn)方程的綜合題（常融合距離、參數(shù)、位置關(guān)系），需遵循“先拆解條件→再選工具（方程形式/公式）→最后驗(yàn)證約束（參數(shù)范圍/幾何意義）”三步原則。核心是：以教材基礎(chǔ)公式（如點(diǎn)到直線(xiàn)距離、斜率與位置關(guān)系）為“根”，以高考真題中“多條件融合”的變形為“枝”，避免因忽略“特殊情況（斜率不存在、截距為0）”或“公式適用前提”導(dǎo)致漏解。二、分題型解題策略（含教材/真題銜接）題型1：直線(xiàn)方程與距離結(jié)合（點(diǎn)到直線(xiàn)、兩平行線(xiàn)距離）解題步驟（固化流程）：1.定“已知”與“待求”：明確已知條件（如定點(diǎn)、已知直線(xiàn)、距離值）和待求目標(biāo)（如直線(xiàn)方程、參數(shù)值），標(biāo)注關(guān)鍵數(shù)據(jù)（如點(diǎn)坐標(biāo)、距離）。2.設(shè)直線(xiàn)方程（選最優(yōu)形式）： 若已知定點(diǎn)，優(yōu)先設(shè)點(diǎn)斜式（），需補(bǔ)“斜率不存在”的特殊情況（直線(xiàn)垂直x軸，方程為）； 若已知直線(xiàn)與某直線(xiàn)平行/垂直，先求斜率（平行→斜率相等，垂直→斜率乘積為-1），再設(shè)對(duì)應(yīng)形式（如平行于，設(shè)為，避免重復(fù)計(jì)算斜率）。3.用距離公式列方程： 點(diǎn)到直線(xiàn)距離：將待求直線(xiàn)化為一般式（），代入公式（必化一般式，否則公式用錯(cuò)）； 兩平行線(xiàn)距離：確保兩直線(xiàn)x、y系數(shù)對(duì)應(yīng)相等（如與），代入公式（系數(shù)不相等時(shí)先整理，如與，先化為與）。4.解方程+驗(yàn)證：求解距離方程得參數(shù)（如斜率、截距），代入直線(xiàn)方程，驗(yàn)證是否符合所有已知條件（如是否過(guò)定點(diǎn)、是否與已知直線(xiàn)平行）。教材銜接（基礎(chǔ)溯源）： 核心公式來(lái)自教材中“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”“兩平行線(xiàn)的距離”定義（如人教版必修二“平面解析幾何”章節(jié)），教材例題多為“單條件距離計(jì)算”（如已知直線(xiàn)和點(diǎn)，求距離），綜合題是在此基礎(chǔ)上增加“待求直線(xiàn)”的條件（如已知距離和定點(diǎn)，求直線(xiàn)方程），本質(zhì)是“公式逆用+分類(lèi)討論”。高考適配（變形應(yīng)對(duì)）： 真題常考“多距離條件融合”，如“求過(guò)點(diǎn)且到點(diǎn)距離為2，同時(shí)到點(diǎn)距離為的直線(xiàn)方程”——需先設(shè)方程，列兩個(gè)距離方程，聯(lián)立求解，最后驗(yàn)證直線(xiàn)是否存在（避免方程無(wú)解的情況）。 防錯(cuò)要點(diǎn)：①距離公式中直線(xiàn)必化一般式；②設(shè)點(diǎn)斜式必補(bǔ)“斜率不存在”的情況（如求過(guò)且到距離為2的直線(xiàn)，斜率不存在時(shí)，距離為2，符合條件，易漏解）。題型2：含參數(shù)的直線(xiàn)方程綜合題（平行/垂直+定點(diǎn)+距離）解題步驟（固化流程）：1.分離參數(shù)：先找“定點(diǎn)”或“不變關(guān)系”： 若直線(xiàn)方程含參數(shù)（如），用“參數(shù)分離法”整理為“參數(shù)×（含x,y的項(xiàng)）+（不含參數(shù)的項(xiàng)）=0”（如），令參數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)均為0，解得定點(diǎn)（如）——這是解決“含參數(shù)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)”的核心方法。2.列條件方程：結(jié)合位置關(guān)系/距離： 若涉及平行/垂直，按位置關(guān)系條件列方程（平行→斜率相等且截距不等，垂直→斜率乘積為-1或一存一不存）； 若涉及距離，代入距離公式列方程（注意直線(xiàn)化一般式）； 若含多個(gè)條件，聯(lián)立方程求解參數(shù)（需注意參數(shù)的取值范圍，如斜率不存在時(shí)的參數(shù)值）。3.驗(yàn)證：排除“無(wú)效參數(shù)”： 代入?yún)?shù)值，檢查直線(xiàn)是否滿(mǎn)足所有條件（如平行時(shí)是否重合、距離是否符合要求），避免因“忽略約束條件”導(dǎo)致增解（如參數(shù)使直線(xiàn)斜率不存在，但題目隱含斜率存在的條件，需排除）。教材銜接（基礎(chǔ)溯源）： 教材中“含參數(shù)的直線(xiàn)方程”多為“單條件求解”（如已知平行求參數(shù)），綜合題是“多條件疊加”（如過(guò)定點(diǎn)+平行+距離），但核心方法仍基于“直線(xiàn)方程形式”“位置關(guān)系判定”“距離公式”，需將教材中的“單考點(diǎn)方法”整合為“多考點(diǎn)聯(lián)立方法”。高考適配（變形應(yīng)對(duì)）： 真題常考“參數(shù)的范圍問(wèn)題”，如“已知直線(xiàn)與圓相交，求k的取值范圍”——先找直線(xiàn)定點(diǎn)，再計(jì)算定點(diǎn)到圓心的距離（2，等于半徑），可知直線(xiàn)過(guò)圓上一點(diǎn)，故k的取值范圍為全體實(shí)數(shù)（除斜率不存在的情況，此處直線(xiàn)斜率為k，存在），避免錯(cuò)用“圓心到直線(xiàn)距離小于半徑”的常規(guī)方法（雖也可解，但找定點(diǎn)更簡(jiǎn)便）。 防錯(cuò)要點(diǎn)：①參數(shù)分離時(shí)確?！皡?shù)項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)完全分離”；②聯(lián)立方程后必驗(yàn)證參數(shù)是否使直線(xiàn)方程有意義（如分母不為0、斜率存在與否符合條件）。三、通用解題思維鏈（避坑版）1.讀題標(biāo)條件：用“△”標(biāo)注“定點(diǎn)”“距離值”“平行/垂直”“參數(shù)”等關(guān)鍵信息，尤其注意“隱含條件”（如“直線(xiàn)與圓相交”→圓心到直線(xiàn)距離小于半徑）；2.選工具匹配：根據(jù)條件選直線(xiàn)方程形式（如定點(diǎn)→點(diǎn)斜式，平行→平行直線(xiàn)系）、選公式（距離→點(diǎn)到直線(xiàn)公式）；3.分情況討論：優(yōu)先考慮“斜率不存在”“截距為0”“參數(shù)使方程無(wú)意義”等特殊情況，再處理一般情況；4.驗(yàn)證收尾：解完后代入所有已知條件，檢查是否漏解（如兩解只算一解）、錯(cuò)解（如符號(hào)錯(cuò)誤）、增解（如參數(shù)使直線(xiàn)重合）。四、實(shí)戰(zhàn)備考建議1.基礎(chǔ)階段：抓教材“單考點(diǎn)”遷移 先練教材中“直線(xiàn)方程+距離”“直線(xiàn)方程+位置關(guān)系”的基礎(chǔ)題，確保能快速寫(xiě)出直線(xiàn)方程形式、準(zhǔn)確代入距離公式，如“求過(guò)點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)方程”，熟練后再疊加條件。2.提升階段：攻高考“多條件”變形 聚焦近5年高考真題中的綜合題，總結(jié)“定點(diǎn)+距離”“參數(shù)+平行/垂直”等常見(jiàn)組合，如“過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成三角形，求面積最小值”，提煉“先設(shè)方程→求截距→列面積函數(shù)→求最值”的固定流程。3.沖刺階段：練“動(dòng)態(tài)參數(shù)”分析 針對(duì)“參數(shù)變化時(shí)直線(xiàn)的位置變化”（如變化時(shí)，直線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)軌跡），用“定點(diǎn)法”分析，避免硬算，提升解題速度。課后針對(duì)訓(xùn)練課后針對(duì)訓(xùn)練一、單選題1．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，直線(xiàn)的傾斜角為，若與平行，則（）A． B．2 C．3 D．62．（24-25高二下·河南南陽(yáng)·期末）已知直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．3．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法一定正確的是（

）A．過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為B．直線(xiàn)在軸上的截距為2C．直線(xiàn)的傾斜角為D．過(guò)，兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為4．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線(xiàn)，當(dāng)變化時(shí)，直線(xiàn)總是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)A，是軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且，若直線(xiàn)的方程為，則直線(xiàn)的方程是（）．A． B．C． D．二、多選題6．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)，，則（

）A．點(diǎn)在直線(xiàn)l上B．直線(xiàn)l的兩點(diǎn)式方程為C．直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為D．直線(xiàn)l的截距式方程為7．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知直線(xiàn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線(xiàn)可能與軸垂直 B．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為C．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)平行 D．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直三、填空題8．（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）直線(xiàn)的傾斜角為．9．（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知定點(diǎn)，若直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)且方向向量是，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)且方向向量是，直線(xiàn)在軸上的截距是，直線(xiàn)在軸上的截距是，則．10．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，若點(diǎn)在線(xiàn)段上，則的取值范圍是．11．（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若三點(diǎn)，，共線(xiàn)，則．四、解答題12．（24-25高二下·上海楊浦·開(kāi)學(xué)考試）已知直線(xiàn).(1)若直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第四象限，求的取值范圍；(2)已知，若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，求最大時(shí)直線(xiàn)的一般式方程.13．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知的兩條邊所在直線(xiàn)的方程分別是：，且它的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)是．(1)求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求這個(gè)平行四邊形另外兩條邊所在直線(xiàn)的斜截式方程；(3)求的面積．14．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知兩直線(xiàn)，．(1)求直線(xiàn)與的交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求過(guò)直線(xiàn)交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線(xiàn)方程；(3)若直線(xiàn)與直線(xiàn)能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)的取值范圍．15．（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）求適合下列條件的直線(xiàn)方程：(1)過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2)過(guò)點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形．參考答案題號(hào)1234567答案DBDBABDBD1．D【分析】根據(jù)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得出的斜率，根據(jù)直線(xiàn)的傾斜角為得出的斜率，由與平行得出，可解出.【詳解】直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率．與平行，，即，解得．故選：D.2．B【分析】根據(jù)直線(xiàn)垂直的充要條件可求解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以，解得.故選：B.3．D【分析】根據(jù)直線(xiàn)方程的不同形式以及直線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)，結(jié)合傾斜角、截距等概念，需要對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析判斷.【詳解】對(duì)A，當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為，故A錯(cuò)誤．對(duì)B，令，，則直線(xiàn)在軸上的截距為，故B錯(cuò)誤．對(duì)C，直線(xiàn),其斜率(為傾斜角)，但是傾斜角，而的取值范圍是，若，則直線(xiàn)的傾斜角不是，故C錯(cuò)誤．對(duì)D，當(dāng)過(guò)點(diǎn)，的直線(xiàn)斜率存在且不為零時(shí)，該直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程為，可化為；當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，方程為，滿(mǎn)足；當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，方程為，滿(mǎn)足．綜上所述，過(guò)，兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，故D正確.故選：D4．B【分析】通過(guò)分離參數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程，即可求解.解法一：直線(xiàn)方程可化為，解方程組，即可求解；解法二（取特殊值）：直線(xiàn)方程中，令，得；令，得.解方程組，即可求解；解法三：設(shè)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則，即，解方程組，即可求解.【詳解】解法一：直線(xiàn)方程可化為，分離參數(shù)后直線(xiàn)交點(diǎn)即為定點(diǎn).令，解得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).解法二（取特殊值）：直線(xiàn)方程中，令，得；令，得.由，解得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).解法三：設(shè)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則，即，則，解得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).故選：B.5．A【分析】求得P、A兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，可得點(diǎn)在直線(xiàn)上，從而可得B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求得直線(xiàn)的方程.【詳解】由直線(xiàn)PA的方程為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，∵，∴點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，即直線(xiàn)上，∴，∴直線(xiàn)的斜率，∴直線(xiàn)的方程為，即．故選：A.6．BD【分析】應(yīng)用兩點(diǎn)式、方向向量求斜率判斷A、C；寫(xiě)出直線(xiàn)的兩點(diǎn)式和截距式判斷B、D.【詳解】A：因?yàn)橹本€(xiàn)l過(guò)點(diǎn)，，所以直線(xiàn)l的斜率為，設(shè)，則，故點(diǎn)不在直線(xiàn)l上，錯(cuò)；B：直線(xiàn)l的兩點(diǎn)式方程為，對(duì)；C：若直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為，則，與A分析不符，錯(cuò)；D：由B中兩點(diǎn)式方程，整理得截距式方程為，對(duì).故選：BD7．BD【分析】由直線(xiàn)的方程得其斜率，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得直線(xiàn)的斜率，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，所以直線(xiàn)的斜率存在且為，不可能與軸垂直，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率為，故其傾斜角為，B正確；，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率為2，故直線(xiàn)與直線(xiàn)不平行，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率為，因?yàn)?，故此時(shí)直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，D正確.故選：BD.8．【分析】利用直線(xiàn)方程來(lái)判斷斜率的大小，再利用反三角來(lái)表示傾斜角大小即可.【詳解】由直線(xiàn)化為斜截式可得：，所以該直線(xiàn)的斜率為，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，即，故答案為：9．2【分析】根據(jù)點(diǎn)以及方向向量分別求解出，的方程，再得到截距即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)方向向量是，所以的的