江蘇省南通市如皋中學(xué)2026屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在圓上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡記為C，則曲線C的離心率為（）A. B.C. D.2．如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（簡(jiǎn)稱ICME—7）的會(huì)徽?qǐng)D案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長(zhǎng)從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.8 B.9C.10 D.113．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則（）A. B.C. D.4．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)C上的P作y軸的垂線，垂足為Q，若四邊形是菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.5．命題“，則”及其逆命題、否命題和逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.2C.3 D.46．已知，，，若、、三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)A3 B.5C.7 D.97．已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)P為雙曲線右支一點(diǎn)，為的內(nèi)心，若成立，給出下列結(jié)論：①點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a；②離心率；③；④當(dāng)軸時(shí)，上述結(jié)論正確的是（）A.①② B.②③C.①②③ D.②③④8．袋子中有四個(gè)小球，分別寫有“文、明、中、國(guó)”四個(gè)字，有放回地從中任取一個(gè)小球，直到“中”“國(guó)”兩個(gè)字都取到就停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用0，1，2，3代表“文、明、中、國(guó)”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止的概率為（）A. B.C. D.9．已知雙曲線右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A.2 B.C. D.10．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.11．等差數(shù)列中，，則前項(xiàng)的和（）A. B.C. D.12．設(shè)，是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某學(xué)校要從6名男生和4名女生中選出3人擔(dān)任進(jìn)博會(huì)志愿者，則所選3人中男女生都有的概率為___________.（用數(shù)字作答）14．已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓O的切線，則切線方程為___________.15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線左支上點(diǎn)滿足，則的面積為_________16．直線的傾斜角為_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，______；設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和注：作答前請(qǐng)先指明所選條件，如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分18．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）解關(guān)于的不等式；（Ⅱ）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．（12分）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線BM與直線BN的斜率之積為，證明直線l過(guò)定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)20．（12分）為了了解某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品情況，從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為200的樣本，測(cè)量它們的尺寸（單位：），數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求200件樣本中尺寸在內(nèi)的樣本數(shù)；（2）記產(chǎn)品尺寸在內(nèi)為等品，每件可獲利6元；產(chǎn)品尺寸在內(nèi)為不合格品，每件虧損3元；其余的為合格品，每件可獲利4元.若該機(jī)器一個(gè)月共生產(chǎn)2000件產(chǎn)品.以樣本的頻率代替總體在各組的頻率，若單月利潤(rùn)未能達(dá)到9000元，則需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.試判斷是否需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）有1000人參加了某次垃圾分類知識(shí)競(jìng)賽，從中隨機(jī)抽取100人，將這100人的此次競(jìng)賽的分?jǐn)?shù)分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求圖中a的值；（2）估計(jì)總體1000人中競(jìng)賽分?jǐn)?shù)不少于70分的人數(shù)；（3）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)總體1000人的競(jìng)賽分?jǐn)?shù)的平均數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)，，則由題意可得，代入圓方程中化簡(jiǎn)可得曲線C的方程，從而可求出離心率【詳解】設(shè)，，則，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，所以，則所以離心率為，故選：B2、B【解析】由題意可得的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可得周長(zhǎng)及，進(jìn)而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項(xiàng)和，所以，故選：B.3、B【解析】求出，代值計(jì)算可得的值.【詳解】因?yàn)?，則，因此，.故選：B.4、C【解析】根據(jù)題意求出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程中，可整理得到關(guān)于a,c的等式，進(jìn)一步整理為關(guān)于e的方程，解得答案.【詳解】如圖示：由題意可知，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，則，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，將P點(diǎn)坐標(biāo)為代入得：，整理得，故，由于，解得，所以，故選：C.5、D【解析】首先判斷原命題的真假，寫出其逆命題，即可判斷其真假，再根據(jù)互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假，即可判斷；【詳解】解：因?yàn)槊}“，則”為真命題，所以其逆否命題也為真命題；其逆命題為：則，顯然也為真命題，故其否命題也為真命題；故命題“，則”及其逆命題、否命題和逆否命題這四個(gè)命題中，真命題有4個(gè)；故選：D6、A【解析】由空間向量共面原理得存在實(shí)數(shù)，，使得，由此能求出實(shí)數(shù)【詳解】解：，，，、、三個(gè)向量共面，存在實(shí)數(shù)，，使得，即有：，解得，，實(shí)數(shù)故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量共面原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題7、C【解析】利用雙曲線的定義、幾何性質(zhì)以及題意對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于①，設(shè)內(nèi)切圓與的切點(diǎn)分別為，則由切線長(zhǎng)定理可得,因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a，所以①正確，對(duì)于②，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，即，解得，因?yàn)?，所以，所以②正確，對(duì)于③，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由雙曲線的定義可得，，因?yàn)?，，所以，所以，所以③正確，對(duì)于④，當(dāng)軸時(shí)，可得，此時(shí)，所以，所以④錯(cuò)誤，故選：C8、A【解析】利用古典概型的概率公式求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：，其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3個(gè)，所以由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止的概率為，故選：A9、B【解析】，得出到漸近線的距離為，由此可得的關(guān)系，從而求得離心率【詳解】因?yàn)?，而，所以是等邊三角形，到直線的距離為，又，漸近線方程取，即，所以，化簡(jiǎn)得故選：B10、C【解析】由，且，可得，再結(jié)合，可得，進(jìn)而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【詳解】由題意，可得，因?yàn)?，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因?yàn)?，所?故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題.雙曲線離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿足的關(guān)系，利用求解；（2）根據(jù)條件列出的齊次方程，利用轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，解方程即可，注意根據(jù)對(duì)所得解進(jìn)行取舍.11、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可求得，根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，，解得：；.故選：D.12、B【解析】先設(shè)，根據(jù)P在橢圓上得到，由，得到的范圍，即為離心率的范圍.【詳解】由橢圓的方程可得，，設(shè)，由，則，即，由P在橢圓上可得，所以，代入可得所以，因?yàn)?，所以整理可得：，消去得：所以，即所?故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.8【解析】由排列組合知識(shí)求得所選3人中男女生都有方法數(shù)及總的選取方法數(shù)后可計(jì)算概率【詳解】從6名男生和4名女生中選出3人的方法數(shù)是，所選3人中男女生都有的方法數(shù)為，所以概率為故答案為：14、或【解析】首先判斷點(diǎn)圓位置關(guān)系，再設(shè)切線方程并聯(lián)立圓的方程，根據(jù)所得方程求參數(shù)k，即可寫出切線方程.【詳解】由題設(shè)，，故在圓外，根據(jù)圓及，知：過(guò)作圓O的切線斜率一定存在，∴可設(shè)切線為，聯(lián)立圓的方程，整理得，∴，解得或.∴切線方程為或.故答案為：或.15、3【解析】由雙曲線方程可得，利用雙曲線定義，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.【詳解】由雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線左支上點(diǎn)滿足，可得:，則，且，故，所以，故，故答案為：316、【解析】由直線的斜率為，得到，即可求解.【詳解】由題意，可知直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，即換線的傾斜角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角的求解問(wèn)題，其中解答中熟記直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）條件選擇見解析，，（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，選①由求解；選②由求解；選③由求解；則，由，利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和公式求解；（2）易知，再利用錯(cuò)位相減法求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，選①得，則，選②得，則，選③得，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則，所以是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋詳?shù)列的前n項(xiàng)和①②①-②得∴，則18、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）用找零點(diǎn)法去絕對(duì)值，然后再解不等式.（Ⅱ）將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)圖像求得其最小值．將恒成立轉(zhuǎn)化為試題解析：（Ⅰ）或或或所以原不等式解集為（Ⅱ），由函數(shù)圖像可知，所以要使恒成立，只需考點(diǎn)：1絕對(duì)值不等式；2恒成立問(wèn)題；3轉(zhuǎn)化思想19、（1）；（2）答案見解析，直線過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）首先根據(jù)頂點(diǎn)為得到，再根據(jù)離心率為得到，從而得到橢圓C的方程.（2）設(shè)，，，與橢圓聯(lián)立得到，利用直線BM與直線BN的斜率之積為和根系關(guān)系得到，從而得到直線恒過(guò)的定點(diǎn).【詳解】（1）一個(gè)頂點(diǎn)為，故，又，即，所以故橢圓的方程為（2）若直線l的斜率不存在，設(shè)，，此時(shí)，與題設(shè)矛盾，故直線l斜率必存在設(shè)，，，聯(lián)立得，∴，∵，即∴，化為，解得或（舍去），即直線過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定點(diǎn)問(wèn)題，一般從三個(gè)方法把握：（1）從特殊情況開始，求出定點(diǎn)，再證明定點(diǎn)、定值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理，計(jì)算，在整個(gè)過(guò)程找到參數(shù)之間的關(guān)系，代入直線，得到定點(diǎn).20、（1）件；（2）需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.【解析】（1）根據(jù)評(píng)論分布直方圖面積之和為1列等式計(jì)算得，用200乘以內(nèi)頻率即可得出答案；（2）根據(jù)題意計(jì)算等品件，不合格品有件，進(jìn)而得合格品有件，根據(jù)題意計(jì)算其利潤(rùn)與9000比較判定需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.【詳解】解：（1）因?yàn)?，解得，所?00件樣本中尺寸在內(nèi)的樣本數(shù)為（件）.（2）由題意可得，這批產(chǎn)品中優(yōu)等品有件，這批產(chǎn)品中不合格品有件，這批產(chǎn)品中合格品有件，元.所以該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品一個(gè)月所獲得的利潤(rùn)為8960元，因?yàn)?，所以需要?duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.【點(diǎn)睛】頻率分布直方圖中的常見結(jié)論（1）眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)；（2）平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和；（3）中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.21、（1）（2）【解析】（1）結(jié)合作差法可直接求解；（2）由錯(cuò)位相減法可直接求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，所以①，②，①-②得，所以.22、（1）0.040；（2）750；（3）76.5.【解析】（1）由頻率