目錄思維導(dǎo)圖 2高考分析 2學(xué)習(xí)目標(biāo) 3知識要點(diǎn) 3解題策略 9題型歸納 10題型01：求直線方程 10題型02：三角形中線所在直線問題 16題型03：三角形高所對應(yīng)直線方程 20題型04：解三角形角平分線對應(yīng)直線 23題型05：距離問題 31題型06：求三角形邊對應(yīng)的直線方程 33題型07：截距與長度 35題型08：面積最值 38題型09：折疊問題 43題型10：三條直線問題 46題型11：直線與曲線方程 48題型12：直線方程的應(yīng)用題 49鞏固提升 51直線方程相關(guān)內(nèi)容在高考中較少以獨(dú)立綜合大題的形式出現(xiàn)，更多是作為解析幾何的基礎(chǔ)內(nèi)容，融入到其他綜合大題中進(jìn)行考查?？疾樾问脚c分值：直線方程相關(guān)考點(diǎn)單獨(dú)出解答題的頻率較低，一般會與圓、圓錐曲線等結(jié)合，作為綜合大題中的某一問，如在求圓錐曲線的弦長、直線與圓錐曲線交點(diǎn)坐標(biāo)等問題中，先設(shè)出直線方程再聯(lián)立求解。若在綜合題中涉及，分值大概占4-8分。?常見考點(diǎn)1.直線方程的建立與求解：根據(jù)已知條件（如兩點(diǎn)坐標(biāo)、一點(diǎn)和斜率、直線所過定點(diǎn)及其他約束條件）選擇合適的直線方程形式準(zhǔn)確求出直線方程，這是解決后續(xù)問題的基礎(chǔ)。2.直線與其他圖形的位置關(guān)系：與圓結(jié)合時，常考直線與圓的相交、相切問題，涉及弦長計(jì)算、切線方程求解等，需利用點(diǎn)到直線距離公式等；與圓錐曲線結(jié)合時，主要考查直線與圓錐曲線的交點(diǎn)情況，通過聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理解決弦長、中點(diǎn)、定點(diǎn)、定值、最值等問題。3.距離與對稱問題：包括點(diǎn)到直線的距離、兩平行直線間的距離等的計(jì)算，以及點(diǎn)關(guān)于直線對稱、直線關(guān)于直線對稱等問題，常作為解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)出現(xiàn)。?命題特點(diǎn)與趨勢1.注重基礎(chǔ)與綜合：對直線方程的基本概念、公式等基礎(chǔ)內(nèi)容要求熟練掌握，同時強(qiáng)調(diào)其與其他知識板塊的融合，突出知識的綜合性和交匯性，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力。2.難度與計(jì)算量趨于穩(wěn)定：整體難度適中，一般不會出現(xiàn)特別復(fù)雜的直線方程推導(dǎo)或計(jì)算。隨著高考命題對數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng)考查的加強(qiáng)，更注重通性通法的應(yīng)用，減少繁瑣計(jì)算，強(qiáng)調(diào)思維的靈活性和邏輯性。3.數(shù)學(xué)思想滲透明顯：重點(diǎn)滲透數(shù)形結(jié)合思想，要求學(xué)生能將直線方程的代數(shù)形式與幾何圖形相互轉(zhuǎn)化，通過圖形直觀分析問題，再利用代數(shù)運(yùn)算求解，同時也會涉及函數(shù)與方程、分類討論等思想。備考時，應(yīng)熟練掌握直線方程的各類基礎(chǔ)知識和基本方法，加強(qiáng)直線與圓、圓錐曲線等綜合題的訓(xùn)練，提升分析問題和解決問題的能力，尤其要注重對數(shù)學(xué)思想方法的理解與運(yùn)用。1.概念理解：掌握直線的傾斜角、斜率的定義及計(jì)算方法，理解直線方程與直線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系。2.方程形式：熟練掌握點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式等直線方程的推導(dǎo)過程、適用條件及相互轉(zhuǎn)化。3.應(yīng)用能力：能根據(jù)已知條件（如兩點(diǎn)、一點(diǎn)和斜率、截距等）準(zhǔn)確求出直線方程；能利用直線方程解決兩直線的位置關(guān)系（平行、垂直）判斷、交點(diǎn)坐標(biāo)求解等問題。4.思想運(yùn)用：體會數(shù)形結(jié)合思想，能將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解，反之能用代數(shù)運(yùn)算解釋幾何意義。一．直線的方程五種形式的選擇1．直線的點(diǎn)斜式方程(1)直線的點(diǎn)斜式方程的定義：

設(shè)直線l經(jīng)過一點(diǎn)，斜率為k，則方程叫作直線l的點(diǎn)斜式方程.

(2)點(diǎn)斜式方程的使用方法：

①已知直線的斜率并且經(jīng)過一個點(diǎn)時，可以直接使用該公式求直線方程.②當(dāng)已知直線的傾斜角時，若直線的傾斜角，則直線的斜率不存在，其方程不能用點(diǎn)斜式表示，但因?yàn)閘上每一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以直線方程為x=x1；若直線的傾斜角，則直線的斜率，直線的方程為.2．直線的斜截式方程(1)直線的斜截式方程的定義：

設(shè)直線l的斜率為k，在y軸上的截距為b，則直線方程為y=kx+b，這個方程叫作直線l的斜截式方程.(2)斜截式方程的使用方法：

已知直線的斜率以及直線在y軸上的截距時，可以直接使用該公式求直線方程.3．直線的兩點(diǎn)式方程(1)直線的兩點(diǎn)式方程的定義：設(shè)直線l經(jīng)過兩點(diǎn)()，則方程叫作直線l的兩點(diǎn)式方程.

(2)兩點(diǎn)式方程的使用方法：

①已知直線上的兩個點(diǎn)，且時，可以直接使用該公式求直線方程.

②當(dāng)時，直線方程為(或).

③當(dāng)時，直線方程為(或).4．直線的截距式方程(1)直線的截距式方程的定義：設(shè)直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且a≠0，b≠0，則方程叫作直線l的截距式方程.

(2)直線的截距式方程的適用范圍：

選用截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線l在兩條坐標(biāo)軸上的截距非零，所以截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都不為0時，可以直接使用該公式求直線方程.

②已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都為0時，可設(shè)直線方程為y=kx，利用直線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)求解k，得到直線方程.、5．直線的一般式方程(1)直線的一般式方程的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0)叫作直線的一般式方程.對于方程Ax+By+C=0(A,B不全為0)：當(dāng)B≠0時，方程Ax+By+C=0可以寫成y=x，它表示斜率為，在y軸上的截距為的直線.特別地，當(dāng)A=0時，它表示垂直于y軸的直線.當(dāng)B=0時，A≠0，方程Ax+By+C=0可以寫成x=，它表示垂直于x軸的直線.(2)一般式方程的使用方法：直線的一般式方程是直線方程中最為一般的表達(dá)式，它適用于任何一條直線.直線方程的五種形式方程形式直線方程局限性選擇條件點(diǎn)斜式不能表示與x軸垂直的直線①已知斜率；②已知

一點(diǎn)斜截式y(tǒng)=kx+b不能表示與x軸垂直的直線①已知在y軸上的截距；②已知斜率兩點(diǎn)式不能表示與x軸、

y軸垂直的直線①已知兩個定點(diǎn)；②已知兩個截距截距式不能表示與x軸垂直、與y軸垂直、過原點(diǎn)的直線①已知兩個截距；②已知直線與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積一般式Ax+By+C=0

(A,B不全為0)表示所有的直線求直線方程的最后結(jié)果均可以化為一般式方程二．中點(diǎn)坐標(biāo)及重心坐標(biāo)公式中點(diǎn)坐標(biāo)公式，，為的中點(diǎn)，則：三角形重心坐標(biāo)公式三．兩條直線的位置關(guān)系1．兩直線的平行關(guān)系(1)對于兩條不重合的直線，其斜率為，有.(2)對于兩條直線，有.兩條直線平行或重合的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要條件是A1B2－A2B1＝0.2．兩條直線的垂直關(guān)系(1)對于兩條直線，其斜率為，有.(2)對于兩條直線，有.直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0.3.兩條直線的交點(diǎn)（1）.兩條直線相交：對于兩條直線，若，則方程組有唯一解，兩條直線就相交，方程組的解就是交點(diǎn)的坐標(biāo).（2）.兩條直線，聯(lián)立方程組，若方程組有無數(shù)組解，則重合．或者．若有，則方程組有無窮多個解，此時兩直線重合；若有，則方程組無解，此時兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時兩直線相交，此解即兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)．四．距離公式1．兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)兩點(diǎn)，則.2．點(diǎn)到直線的距離公式設(shè)點(diǎn)，直線，則點(diǎn)到直線的距離.3．兩平行線間的距離公式設(shè)兩條平行直線，則這兩條平行線之間的距離.五．對稱問題1.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：2.中心對稱：點(diǎn)A(x0，y0)關(guān)于點(diǎn)P(m，n)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(2m－x0,2n－y0)；曲線(直線)f(x，y)＝0關(guān)于點(diǎn)P(m，n)對稱的曲線(直線)方程為f(2m－x,2n－y)＝0；特別地，點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為3.軸對稱：（1）點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0的對稱點(diǎn)P0(x0，y4.特殊的軸對稱：（i）點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于x軸、y軸，x＝m，y＝n，y＝x，y＝－x，y＝x＋m，y＝－x＋n的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)依次為(x0，－y0)、(－x0，y0)、(2m－x0，y0)、(x0,2n－y0)、(y0，x0)、(－y05.曲線(直線)f(x，y)＝0關(guān)于x軸，y軸，x＝m、y＝n、y＝x、y＝－x、y＝x＋m、y＝－x＋n對稱的曲線(直線)方程依次為：f(x，－y)＝0、f(－x，y)＝0、f(2m－x，y)＝0、f(x,2n－y)＝0、f(y，x)＝0、f(－y，－x)＝0、f(y－m，x＋m)＝0、f(－y＋n，－x＋n)＝0．（一）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有可得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（二）點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，則垂直平分，所以，且為中點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上，故可得，解出即可．（三）直線關(guān)于點(diǎn)對稱法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；法二：求出一個對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．（四）直線關(guān)于直線對稱求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對稱直線第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)），利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出對稱點(diǎn)第三步：利用兩點(diǎn)式寫出方程（五）常見的一些特殊的對稱點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．六.直線系方程的應(yīng)用(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.直線方程綜合性大題解題策略1.定方向：明確問題核心快速拆解題目，確定核心任務(wù)，如求直線方程、判斷位置關(guān)系、計(jì)算距離或與圓/圓錐曲線結(jié)合的綜合問題。識別關(guān)鍵條件，如定點(diǎn)、斜率、截距、位置關(guān)系（平行/垂直）等，關(guān)聯(lián)對應(yīng)的直線方程形式或公式。2.選形式：巧設(shè)直線方程根據(jù)已知條件選擇最優(yōu)方程形式，避免漏解或復(fù)雜計(jì)算。已知一點(diǎn)和斜率/傾斜角：用點(diǎn)斜式。已知斜率和y軸截距：用斜截式。已知兩點(diǎn)坐標(biāo)：用兩點(diǎn)式或先求斜率再用點(diǎn)斜式。已知x、y軸截距：用截距式（注意截距為0時不適用）。含參數(shù)或需統(tǒng)一形式時：用一般式（Ax+By+C=0）。處理斜率不確定的情況（如直線過定點(diǎn)），優(yōu)先設(shè)點(diǎn)斜式，并補(bǔ)充討論斜率不存在的情形（即垂直于x軸的直線），避免丟解。3.聯(lián)方程：解決交匯問題當(dāng)直線與圓、橢圓、拋物線等結(jié)合時，按“聯(lián)立方程→消元化簡→利用韋達(dá)定理/判別式”的流程解題。1.設(shè)出直線方程（含參數(shù)時需標(biāo)注參數(shù)范圍）。2.聯(lián)立直線方程與曲線方程，消去x或y，得到一元二次方程（ax2+bx+c=0）。3.計(jì)算判別式Δ=b2-4ac，判斷交點(diǎn)個數(shù)（Δ>0相交，Δ=0相切，Δ<0無交點(diǎn)）。4.若有交點(diǎn)，用韋達(dá)定理得x?+x?=-b/a、x?x?=c/a，為后續(xù)求弦長、中點(diǎn)、定點(diǎn)等鋪墊。4.用公式：突破關(guān)鍵計(jì)算5.重思想：優(yōu)化解題邏輯數(shù)形結(jié)合：通過畫圖直觀分析直線與曲線的位置關(guān)系、定點(diǎn)位置等，輔助確定解題思路。分類討論：當(dāng)直線斜率是否存在、參數(shù)取值范圍不確定時，需分情況討論，確保答案全面。函數(shù)與方程思想：將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程問題，通過解方程或分析函數(shù)性質(zhì)（如最值）求解。6.驗(yàn)結(jié)果：規(guī)避常見錯誤檢查直線方程形式的適用條件，如斜截式是否遺漏斜率不存在的直線。驗(yàn)證聯(lián)立方程消元是否正確，韋達(dá)定理應(yīng)用時確保一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0。計(jì)算距離、弦長時，注意公式中符號和根號內(nèi)表達(dá)式的正確性，避免計(jì)算失誤。題型01：求直線方程【典型例題1】.如圖，射線與軸正半軸的夾角分別為和，過點(diǎn)的直線分別交，于點(diǎn)．(1)當(dāng)線段的中點(diǎn)為時，求的方程；(2)當(dāng)線段的中點(diǎn)在直線上時，求的方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）根據(jù)題意可得的方程，再設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)公式求解坐標(biāo)，進(jìn)而求得的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式可得的方程；（2）同（1）將的中點(diǎn)坐標(biāo)代入得到，進(jìn)而求得的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求得的方程即可.（1）由于射線與軸正半軸的夾角分別為和，射線：．：．設(shè)，的中點(diǎn)為點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，．點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)．故的斜率為，又，：．（2）的中點(diǎn)在直線上，，即，，：．【典型例題2】直線l經(jīng)過點(diǎn)，（1）直線l與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是4的直線方程.（2）直線l與兩個坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小時的直線方程.【答案】（1）；（2）.【解析】設(shè)直線方程為，由直線l經(jīng)過點(diǎn)可得，（1）由題可得，解得，，，則直線方程為；（2），，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時面積取最小值，則直線方程為.【變式訓(xùn)練1-1】.在平面直角坐標(biāo)系中，已知菱形的頂點(diǎn)和所在直線的方程為.(1)求對角線所在直線方程；(2)已知直線過點(diǎn)，與直線的夾角余弦值為，求直線的方程.（以上所求方程都以直線的一般式方程作答）【答案】(1)(2)或【解析】（1）由的中點(diǎn)在直線上，結(jié)合垂直關(guān)系得出對角線所在直線方程；（2）由點(diǎn)在直線上，得出直線的傾斜角為或，再由點(diǎn)斜式寫出方程.(1)由題意可知，的中點(diǎn)在直線上，對角線所在直線方程為，即(2)點(diǎn)在直線上，設(shè)直線的傾斜角為，直線與直線的夾角為則直線的傾斜角為或，當(dāng)直線的傾斜角為時，，即故直線的方程為：當(dāng)直線的傾斜角為時，，則直線的方程為，即【變式訓(xùn)練1-2】.已知直線的方程為，直線的方程為.(1)設(shè)直線與的交點(diǎn)為，求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程；(2)設(shè)直線的方程為，若直線與，不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)的取值的集合.【答案】(1)或(2)【解析】（1）通過聯(lián)立和的方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，對直線是否過原點(diǎn)進(jìn)行分類討論，由此求得直線的方程.（2）對于、的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，由此求得的值.（1）由，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時，可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得，所以直線的方程為.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為零時，可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得，所以直線的方程為，即.綜上，直線的方程為或.（2）當(dāng)直線與直線平行時不能構(gòu)成三角形，此時，解得；當(dāng)直線與直線平行時不能構(gòu)成三角形，此時，解得；當(dāng)直線過直線與的交點(diǎn)時不能構(gòu)成三角形，此時，解得.綜上，或或2，故實(shí)數(shù)的取值的集合為.【變式訓(xùn)練1-3】已知函數(shù)與直線均過定點(diǎn)，且直線在軸上的截距依次為和.（1）若直線在軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若直線分別與軸正半軸、軸正半軸交于兩點(diǎn)，求直線與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成三角形?面積最小時直線的方程.【答案】（1）或；（2）8【解析】（1），定點(diǎn)，直線在軸上的截距相等，若時，則直線過原點(diǎn)，設(shè)為，代入得，故直線方程為，即，若時，設(shè)直線為，代入解得，故直線方程為，即，綜上，直線的方程為或；（2）由題可得直線斜率存在，設(shè)為，可得，則直線l的方程為，令，得，令，可得，則?面積，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，三角形面積的最小值為.【變式訓(xùn)練1-4】過點(diǎn)作直線，直線與，軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，為原點(diǎn)．（1）若?ABO的面積為9，求直線的方程；（2）若?ABO的面積為，求的最小值，并求出此時直線的方程．【答案】（1）或；（2）8，．【解析】（1）設(shè)，，其中，，則由直線的截距式方程得直線的方程為．將代人直線的方程，得．依題意得，，即，所以，從而，所以，整理得：，解得，，因此直線的方程為或，整理得，或．（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，因此直線的方程為，即．【變式訓(xùn)練1-5】設(shè)直線的方程為.（1）求證：不論為何值，直線必過一定點(diǎn)；（2）若直線分別與軸正半軸，軸正半軸交于點(diǎn)，，當(dāng)?AOB面積最小時，求?AOB的周長及此時的直線方程；（3）當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為正整數(shù)且a也為正整數(shù)時，求直線的方程.【答案】（1）證明見解析；（2）周長為；直線方程為；（3）.【解析】解：(1)由得，則，解得，所以不論為何值，直線必過一定點(diǎn)；(2)由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.，，?AOB的周長為；直線方程為.(3)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為正整數(shù)，即，均為正整數(shù)，而a也為正整數(shù)，所以直線的方程為.【變式訓(xùn)練1-6】已知直線（1）證明：直線過定點(diǎn)；（2）若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)?AOB的面積為，求的最小值及此時直線的方程．【答案】（1）見解析（2）最小值為4，直線的方程為【解析】（1）證明：由已知得，無論取何值，∴時，，時，，直線過定點(diǎn)．（2）令得點(diǎn)坐標(biāo)為令得點(diǎn)坐標(biāo)為∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．即?AOB的面積的最小值為4，此時直線的方程為．即．題型02：三角形中線所在直線問題【典型例題1】.已知直線，，，記．（1）當(dāng)時，求原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在?ABC中，求邊上中線長的最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)對稱的性質(zhì)，結(jié)合互相垂直的兩條直線的斜率的性質(zhì)，通過解方程組、中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)兩條直線的斜率關(guān)系可以判斷出?ABC是直角三角形，最后利用直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可.（1）當(dāng)時，直線的方程為，所以直線的斜率為2，設(shè)過原點(diǎn)與直線垂直的直線斜率為，所以，因此直線的方程為：，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解，解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，所以有：，即原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）因?yàn)椋灾本€與直線互相垂直，故?ABC是直角三角形，因此邊上中線長為，解方程組：，即，解方程組：，即，因此，當(dāng)時，有最小值，所以邊上中線長的最小值.【典型例題2】已知?ABC的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在的直線方程為．求：(1)直線的一般式方程；(2)求?ABC的邊的長．【答案】(1)(2)【解析】（1）根據(jù)垂直確定，再計(jì)算直線方程得到答案.（2）設(shè)，根據(jù)的中點(diǎn)在直線上，結(jié)合在上，得到答案.（1）邊上的高所在的直線方程為，斜率，故，直線方程為，即；（2）設(shè)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，即，.【變式訓(xùn)練2-1】在?ABC中，頂點(diǎn)A在直線上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為邊的中線所在的直線方程為邊的垂直平分線的斜率為．(1)求直線的方程；(2)若直線l過點(diǎn)B，且點(diǎn)A、點(diǎn)C到直線l的距離相等，求直線l的方程．【答案】(1)；(2)或.【解析】（1）求出直線方程，與直線方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由的中點(diǎn)在直線上，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出直線方程.（2）按直線過的中點(diǎn)及與平行求出方程即得.（1）由邊的垂直平分線的斜率為，得直線方程為，即，而邊中線所在的直線方程為，由，解得，則，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，于是，解得，即點(diǎn)，直線的斜率，所以直線的方程為，即.（2）由（1）知，，， 由直線l過點(diǎn)B，且點(diǎn)A、點(diǎn)C到直線l的距離相等，得直線過邊的中點(diǎn)，或，當(dāng)直線過時，直線的斜率為，方程為，即，當(dāng)直線時，直線的斜率為，方程為，即，所以直線l的方程為或.【變式訓(xùn)練2-2】.在平面直角坐標(biāo)系中，已知?ABC的三個頂點(diǎn)，，.（1）求邊所在直線的一般方程；（2）邊上中線的方程為，且?ABC的面積為4，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）利用點(diǎn)斜式方程寫出直線的方程得解；（2）求出，由點(diǎn)在中線上，得①，由的面積為4得到②，解①②即得解.（1）∵直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點(diǎn)，，∴的斜率為，采用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程為，∴邊所在直線的一般方程為.（2）由題知，中點(diǎn)，代入中線方程，得.∵點(diǎn)在中線上，把點(diǎn)坐標(biāo)代入①，點(diǎn)到直線的距離為，，∵?ABC的面積等于，化簡得②，聯(lián)立①②，求得或，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【變式訓(xùn)練2-3】.已知?ABC的頂點(diǎn)，，邊上的中線的方程為，邊所在直線的方程為(1)求邊所在直線的方程，化為一般式；(2)求頂點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)。(2)【解析】（1）先由已知兩點(diǎn)求出斜率，再利用點(diǎn)斜式寫出直線方程，最后化為一般方程即可；（2）點(diǎn)為中線和直線的交點(diǎn)，聯(lián)立直線和直線的方程即可求解.(1)解：由，所以所以直線的方程為：化為一般式為：(2)解：由題知，點(diǎn)為中線和直線的交點(diǎn)所以聯(lián)立直線和直線的方程：解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為：【變式訓(xùn)練2-4】已知?ABC的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸上，邊上的高所在的直線方程為.(1)求直線的方程；(2)若邊上的中線所在的直線方程為，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，利用的中點(diǎn)在直線上，求出值，再由點(diǎn)在直線上求出值.（1）依題意，由邊上的高所在的直線的斜率為，得直線的斜率為，又，所以直線的方程為，即.（2）由點(diǎn)在軸上，設(shè)，則線段的中點(diǎn)，由點(diǎn)在直線上，得，得，即，又點(diǎn)在直線上，因此，解得，所以的值為.題型03：三角形高所對應(yīng)直線方程【典型例題1】.在?ABC中，，邊上的高所在的直線方程為，邊上中線所在的直線方程為.(1)求點(diǎn)坐標(biāo)：(2)求直線的方程.【答案】(1)C(－4，－2)(2)5x－7y＋6＝0【解析】（1）先求出AC所在的直線的方程，再求兩直線的交點(diǎn)即可；（2）設(shè)出B點(diǎn)坐標(biāo)，表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，利用和CM所在的直線方程解出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的方程.(1)邊AC上的高BE所在的直線方程為，故邊AC所在的直線的斜率為1，

所以邊AC所在的直線的方程為，即，因?yàn)镃M所在的直線方程為4x－5y＋6＝0，由解得，所以C(－4，－2)(2)設(shè)B(x0，y0)，M為AB中點(diǎn)，則M的坐標(biāo)為，由，解得，

所以B（3，3），又因?yàn)镃(－4，－2)，所以直線BC的方程為，化簡得5x－7y＋6＝0.【典型例題2】.已知?ABC的頂點(diǎn)，邊上的高BH所在直線為，邊上的中線AD所在直線方程為．(1)求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求直線的方程.（結(jié)果用一般式方程表示）．【答案】(1)(2)【解析】（1）由，求所在直線方程，與AD所在直線方程聯(lián)立方程組求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）設(shè)，則，分別代入BH所在直線和AD所在直線方程，求出，可求直線的方程.（1），所在直線方程為，即，由，得：，所以（2）設(shè)，則，分別代入BH所在直線和AD所在直線方程，即，解得：，即，所以，即直線的方程.【變式訓(xùn)練3-1】.已知?ABC的頂點(diǎn)，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC的邊上的高BH所在直線方程為．(1)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求直線BC的方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)，利用點(diǎn)C在AB邊上的中線CM上和直線AC與高線BH垂直求解；（2）設(shè)，利用點(diǎn)B在BH上和AB的中點(diǎn)M在直線CM上求解；(1)解：設(shè)，∵AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為．∴，解得．∴．(2)設(shè)，則，解得．∴．∴．∴直線BC的方程為，即為．【變式訓(xùn)練3-2】.已知?ABC的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在直線的方程為.分別求，邊所在直線的方程.【答案】邊所在直線方程為，邊所在直線方程為.【解析】由邊上的高所在直線的方程可求得直線的斜率，又直線AC過點(diǎn)，從而根據(jù)點(diǎn)斜式即可求解邊所在直線方程；由是中線所在直線方程，設(shè)中點(diǎn)，則，根據(jù)點(diǎn)B在直線上，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，從而即可求解邊所在直線的方程.解：因?yàn)檫吷系母咚谥本€的方程為，所以邊上的高所在直線的斜率為，所以，又直線AC過點(diǎn)，所以邊所在直線方程為，即；因?yàn)槭侵芯€所在直線方程，所以設(shè)中點(diǎn)，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)B在直線上，所以，解得，所以，因?yàn)樗诘闹本€的斜率為，所以邊所在直線方程為，即.【變式訓(xùn)練3-3】已知?ABC的頂點(diǎn)，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線的方程．【答案】(1)；(2).【解析】（1）由垂直關(guān)系求出直線的方程，再求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即得.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式求出直線方程.（1）由邊上的高線所在的直線方程為，得直線的斜率為1，直線方程為，即，由，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.（2）由點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，于是邊的中點(diǎn)在直線上，因此，解得，即得點(diǎn)，直線的斜率，所以直線的方程為，即.題型04：解三角形角平分線對應(yīng)直線【典型例題1】已知?ABC的頂點(diǎn)邊上的高所在的直線方程為.(1)求直線的方程；(2)在兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并作答.①角的平分線所在直線方程為；②邊上的中線所在的直線方程為.若__________.求直線的方程.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計(jì)分.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)直線垂直，求得斜率，利用點(diǎn)斜式方程，可得答案.（2）聯(lián)立直線方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，選擇條件①，②分別利用角平分線的對稱或中線的對稱，求解即得答案.（1）由邊上的高所在的直線方程為，得直線的斜率，而的頂點(diǎn)，所以直線的方程為：，即.（2）選①，角的平分線所在直線方程為，令該直線與邊交于點(diǎn)，由，解得，即點(diǎn)A坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，解得，即坐標(biāo)為，顯然點(diǎn)在直線上，則直線的斜率，所以直線的方程為，即.選②，邊上的中線所在的直線方程為，由，解得，即點(diǎn)A坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，則的中點(diǎn)在直線上，即，整理得，又點(diǎn)在直線上，即，由，解得，即點(diǎn)，直線的斜率，所以直線的方程為，即.【典型例題2】已知?ABC的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，邊上的中線所在的直線方程為，的平分線所在的直線方程為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線的方程【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)，由中點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，聯(lián)立方程求出的坐標(biāo)；（2）求出關(guān)于的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線的方程.（1）設(shè)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，由中點(diǎn)在上，可得：，即，又由于點(diǎn)在直線上，得，聯(lián)立解得，即；（2）頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則有，解得，即，顯然點(diǎn)在BC邊所在的直線上，且，得直線的方程為：，所以直線的方程為：.【典型例題3】.已知?ABC的一個頂點(diǎn)，且，∠B.的角平分線所在直線的方程依次是，，求的三邊所在直線的方程.【答案】所在直線的方程是，所在直線的方程，所在直線的方程是.【分析】先求得關(guān)于直線，的對稱點(diǎn)，，由此求得直線的方程，再求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，從而求得直線AB、AC的方程.【詳解】解：記∠B的角平分線交于點(diǎn)，的角平分線交于點(diǎn).由角平分線的性質(zhì)，知點(diǎn)關(guān)于直線，的對稱點(diǎn)，均在直線上.∵直線的方程為，，則，解得，∴.∵直線的方程為，∴同理求得，∴直線的方程是，即，這也是所在直線的方程.由，得，由，得，∴所在直線的方程是，所在直線的方程是.【變式訓(xùn)練4-1】.在中，已知，.(1)若直線過點(diǎn)，且點(diǎn)A，到的距離相等，求直線的方程；(2)若直線為角的內(nèi)角平分線，求直線的方程.【答案】(1)或(2)【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，到的距離相等，所以直線過線段的中點(diǎn)或，分直線過線段的中點(diǎn)和兩種情況討論即可；（2）因?yàn)橹本€為角的內(nèi)角平分線，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在直線上，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線方程．(1)解：因?yàn)辄c(diǎn)，到的距離相等，所以直線過線段的中點(diǎn)或，當(dāng)直線過線段的中點(diǎn)時，線段的中點(diǎn)為，的斜率，則的方程為，即，當(dāng)時，的斜率，則的方程為，即，綜上：直線的方程為或；(2)因?yàn)橹本€為角的內(nèi)角平分線，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在直線上，設(shè)，則有，得，即，所以直線的斜率為，則直線的方程為，即．2.【變式訓(xùn)練4-2】在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，邊上的高線所在的直線方程為,的角平分線所在直線方程為.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線的方程.【答案】(1)(2)【解析】（1）利用直線的斜截式方程及兩直線垂直關(guān)系，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程及兩直線相交求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法即可求解.（2）利用角平分線的性質(zhì)及點(diǎn)關(guān)于線對稱，再根據(jù)（1）的結(jié)論及直線的兩點(diǎn)式方程即可求解.（1）由，得，所以直線的斜率為，因?yàn)?所以，即，所以直線的直線方程為：，即，由，解得.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）由題意根據(jù)內(nèi)角平分線的性質(zhì)，可得關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在直線上.設(shè)，則由和垂直，且的中點(diǎn)在上，可得，解得，所以，所以直線的方程為，即.【變式訓(xùn)練4-3】已知的邊上的高所在的直線方程為，角的平分線所在的直線方程為為邊的中點(diǎn).(1)求邊所在的直線方程；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【解析】（1）利用兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)公式以及兩直線的垂直與斜率的關(guān)系求解；（2）利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的坐標(biāo)公式以及兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.【詳解】（1）由解得,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又為邊的中點(diǎn)，所以，又邊上的高所在的直線方程為，其斜率為，所以直線的斜率為，所以邊所在的直線方程為，即.（2）設(shè)關(guān)于直線方程對稱的點(diǎn)為，則，解得，則，又角的平分線所在的直線方程為，所以點(diǎn)在直線上，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.【變式訓(xùn)練4-4】.已知：的頂點(diǎn)和的角平分線所在直線方程為，求邊所在直線方程．【答案】【解析】根據(jù)斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為的坐標(biāo)，根據(jù)對稱性和直線的兩點(diǎn)式方程求出邊所在直線方程.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，直線的斜率為，于是有解方程組，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)也在邊所在的直線上，所以邊所在直線方程為：，化簡可求得方程為.【變式訓(xùn)練4-5】在中，BC邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線方程為，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）.(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求AC邊上的高所在的直線l的斜截式方程.【答案】(1)，(2)【解析】（1）先求出A的坐標(biāo)，再求出AC所在直線方程和BC所在直線方程，最后聯(lián)立方程求出C的坐標(biāo)；（2）先求出直線l的斜率，再求出直線l的斜截式方程.（1）由已知A是BC邊上的高所在直線與的角平分線所在直線的交點(diǎn)，由，得，故，又因?yàn)?所以直線AB和直線AC的傾斜角互補(bǔ)，所以又所以AC所在直線方程為，BC所在直線方程為，由，得，所以點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)為，；（2）由（1）知AC所在直線方程為，所以直線l的斜率為，因?yàn)?，所以直線l所在的方程為，即，所以直線l的斜截式方程為.【變式訓(xùn)練4-6】已知的頂點(diǎn)，邊上的高線所在的方程為，角的角平分線交邊于點(diǎn)，所在的直線方程為.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線的方程.【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由，所在的直線方程建立方程求解即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，即可求直線方程.（1）設(shè)，則由題意可知①，又，所以②，聯(lián)立①②方程解得，即；（2）

設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則有的中點(diǎn)在直線上，即，解之得，顯然直線為的角平分線，即直線與重合，則，所以直線的方程為.題型05：距離問題【典型例題1】已知三條直線，，，且與間的距離是．（1）求的值．（2）能否找到一點(diǎn)，使同時滿足下列三個條件？若能，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，說明理由．①點(diǎn)在第一象限；②點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的；③點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到的距離之比是．【解析】解：（1）將直線的方程化為，兩條平行線與間的距離，由，解得．（2）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，．若點(diǎn)滿足條件②，則點(diǎn)在與，平行的直線上，且，解得或，所以或．若點(diǎn)滿足條件③，由點(diǎn)到直線的距離公式，有，即，所以或．由于點(diǎn)在第一象限，所以排除．聯(lián)立方程和，解得（舍去）；聯(lián)立方程和，解得，所以存在點(diǎn)，同時滿足三個條件．【典型例題2】.兩平行直線，分別過，.(1)，之間的距離為5，求兩直線方程；(2)若，之間的距離為d，求d的取值范圍.【答案】(1)或(2)【解析】（1）斜率不存在時，不合題意，斜率存在時，設(shè)斜率為，表示出直線，，利用平行線間的距離公式解出即可；（2）結(jié)合圖像可知當(dāng)，旋轉(zhuǎn)到和垂直時，，之間的距離d最大，求出，即可求得d的取值范圍.(1)當(dāng)，斜率不存在時，易知，，之間的距離為1，不合題意；當(dāng)，斜率存在時，設(shè)斜率為，則，化為一般式得，，由，之間的距離為5，可得，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故兩直線方程為或.(2)如圖：當(dāng)，旋轉(zhuǎn)到和垂直時，，之間的距離d最大為，當(dāng)，旋轉(zhuǎn)到和重合時，距離為0，又兩平行直線，不重合，故.【變式訓(xùn)練5-1】.已知直線過點(diǎn)，且被平行直線：與：所截取的線段長為，求直線的方程．【答案】或【解析】根據(jù)兩條平行線之間的距離及解得的線段的長度，可推測出直線與、的夾角，利用正切函數(shù)的兩角和公式即可求解直線的斜率，進(jìn)而得出直線方程.兩條平行線之間的距離，截得的線段長為，推得直線與、的夾角為45°．設(shè)直線的斜率為，故解得：或則直線的方程為：或.整理得：或.【變式訓(xùn)練5-2】.已知直線與的方程分別為，，直線平行于，直線與的距離為，與的距離為，且，求直線的方程．【答案】或【分析】由平行關(guān)系可設(shè)且，由平行直線間距離公式可構(gòu)造方程求得，由此可得直線方程.【詳解】，可設(shè)且，由兩平行直線間的距離公式得：；又，，則．，，則，或，解得：或，直線的方程為或．題型06：求三角形邊對應(yīng)的直線方程【典型例題】.在等腰中，，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，直角邊所在的直線方程為，求邊和所在的直線方程．【答案】直線為或，直線為．【解析】利用點(diǎn)斜式寫出直線，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，應(yīng)用到角公式求的斜率為，最后由點(diǎn)斜式寫出直線.由題設(shè)，則，故直線為，整理得；由為等腰三角形，若的斜率為，則，解得或，所以直線為或，即或.綜上，直線為，直線為或.【變式訓(xùn)練6-1】.已知過點(diǎn)且斜率為的直線l與x，y軸分別交于P，Q兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)P，Q作直線的垂線，垂足分別為R，S，求四邊形PQSR的面積的最小值．【答案】【解析】設(shè)l的方程，求出P、Q的坐標(biāo)，得到PR和QS的方程，利用平行線間的距離公式求出|RS|，由四邊形PRSQ為梯形，代入梯形的面積公式，再使用基本不等式可求四邊形PRSQ的面積的最小值．直線l的方程為，即令，得，令，得所以，．從而PR和QS的方程分別為和，又，所以．由點(diǎn)到直線的距離公式，得，．所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以四邊形PQSR的面積的最小值為．【變式訓(xùn)練6-2】.已知在第一象限的中，，，，，求：(1)AB邊所在直線的方程；(2)AC邊與BC邊所在直線的方程．【答案】(1)(2)直線的方程為：，直線的方程為：【解析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得直線的方程.（2）結(jié)合直線、的傾斜角和斜率，求得直線和直線的方程.（1）因?yàn)?，，所以軸，所以AB邊所在直線的方程為．（2）因?yàn)椋?，所以直線AC的方程為，即因?yàn)?，所以，所以直線BC的方程為，即.題型07：截距與長度【典型例題1】.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，直線.(1)在直線上找一點(diǎn)使得最小，并求這個最小值和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在直線上找一點(diǎn)使得最大，并求這個最大值和點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)最小值為，(2)最大值為，【解析】（1）首先求出點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為的坐標(biāo)，從而得到直線的方程，再求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可所求點(diǎn)的坐標(biāo)，則的最小值為；（2）首先求出直線的方程，求出直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即為，而的最大值為，即可得解.（1）解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，解得，即，所以直線的方程為，即.當(dāng)為直線與直線的交點(diǎn)時，最小.由，解得，所以，從而的最小值為.（2）解：由題意知直線的方程為，即.當(dāng)為直線與直線的交點(diǎn)時，最大.由，解得，所以，從而的最大值為.【典型例題2】.已知．(1)若直線l過點(diǎn)P，且原點(diǎn)到直線l的距離為2，求直線l的方程．(2)是否存在直線l，使得直線l過點(diǎn)P，且原點(diǎn)到直線l的距離為6？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)或(2)不存在，理由見解析【解析】（1）考慮直線的斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求出直線方程；（2）方法一：求出直線l過點(diǎn)P，且原點(diǎn)到直線l的最大距離，進(jìn)行判斷；方法二：先求出當(dāng)直線的斜率不存在時，原點(diǎn)到直線l的距離，再求出當(dāng)直線l的斜率存在時，得到相應(yīng)的方程，由根的判別式進(jìn)行判斷.（1）①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，符合題意；②當(dāng)直線的方程為，即．，根據(jù)題意，得，解得：，所以直線的方程為．故直線的方程為或．（2）方法一：不存在．理由如下：若直線過點(diǎn)，則當(dāng)原點(diǎn)到直線的距離最大時，直線與垂直，此時最大距離為，而，故不存在這樣的直線．方法二：若直線的斜率不存在，則直線的方程為，易知原點(diǎn)到直線的距離為2，不符合題意．若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，即，則原點(diǎn)到直線的距離為，令，整理得，則，方程無解，所以沒有符合題意的直線．綜上，不存在符合題意的直線．【變式訓(xùn)練7-1】.一條直線經(jīng)過點(diǎn)．分別求出滿足下列條件的直線方程．(1)與直線垂直；(2)交軸、軸的正半軸于，兩點(diǎn)，且取得最小值．【答案】(1)(2)【解析】（1）先利用垂直關(guān)系求出直線的斜率，從而可求直線的方程；（2）設(shè)直線方程為，求出的坐標(biāo)后可求，利用基本不等式可求其最小值，從而可求直線方程.（1）由于直線的斜率，所以所求直線的斜率．故過點(diǎn)，斜率的直線方程為，即．（2）設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，令，得；令，得．從而有，，所以．當(dāng)，即（舍去）時，取得最小值．所求的直線方程為．【變式訓(xùn)練7-2】．已知直線l過兩直線l1:x-2y=0，l2:2x+y-5=0的交點(diǎn)(1)若直線l與3x+4y+5=0垂直，求直線l的方程；(2)當(dāng)PA?PB取最小值時，求出最小值及直線【答案】(1)4x-3y【解析】（1）聯(lián)立兩直線方程，求交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線垂直可設(shè)直線方程，可代入點(diǎn)，解得答案；（2）由題意，設(shè)直線為截距式方程，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意研究所設(shè)字母的取值范圍，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式以及基本不等式，可得答案.【詳解】（1）聯(lián)立直線方程可得：x-2y=02x由直線l與直線3x+4y將P(2,1)代入，解得m=-5，則得l方程為（2）由（1）可知P(2,1)，可設(shè)直線l的方程為2a+1b=1，則Aa∴|PA|?|PB|=(a-2)2+1?4+(b∴|PA|?|PB|【變式訓(xùn)練7-3】直線l過點(diǎn)M(2，1)，且分別交x軸、y軸的正半軸于點(diǎn)A、B．點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)當(dāng)△ABO的面積最小時，求直線l的方程；(2)當(dāng)|MA||MB|最小時，求直線l的方程．【答案】（1）x＋2y－4＝0（2）x＋y－3＝0【解析】(1)如圖，設(shè)|OA|＝a，|OB|＝b，△ABO的面積為S，則S＝12ab，并且直線l的截距式方程是xa+因?yàn)锳點(diǎn)和B點(diǎn)在x軸、y軸的正半軸上，所以上式右端的分母b－1>0.由此得S＝a2×b＝bb－1×b＝b2當(dāng)且僅當(dāng)b－1＝1b－1即直線l的方程為x＋2y－4＝0.(2)如上圖，設(shè)∠BAO＝θ，則|MA|＝1sinθ，|MB|＝2cosθ，所以|MA當(dāng)θ＝45°時，|MA|【變式訓(xùn)練7-4】在平面直角坐標(biāo)系中，(1)已知△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－4,0)，B(0,－3)，C(－2,1)，求：BC邊上高線所在的直線的方程．(2)若直線l的方程為ax+2y-a-2=0（a∈R），且直線l在(3)過點(diǎn)P3,1作直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A，B．求當(dāng)AP?PB【答案】(1)x-2y+4=0；(2)x-y【解析】（1）求出BC邊上高線所在直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可得解；（2）分別求出坐標(biāo)軸上的截距，再結(jié)合已知即可得解；（3）設(shè)l:xa+yb=1不妨取A(a,0)，（1）解：∵kBC=-2，∴BC邊上高線所在直線的斜率為12∴高線所在直線方程為y=12（2）解：由題意直線l在兩軸上截距都存在，則a≠0，令x=0得y=a+2因?yàn)橹本€在x軸上截距是y軸上截距的12，若x,y軸上截距都為0，即直線過原點(diǎn)時，a=-2，此時直線為x-y=0；若x綜上，直線l方程為x-y=0（3）解：設(shè)l:xa+yb=1不妨取A(a∴AP?PB=(3-a,1)?(-3,b-1)=3直線l的方程為x4+y題型08：面積最值【典型例題1】在平面直角坐標(biāo)系中，直線過定點(diǎn)，且與軸的正半軸交于點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn).（1）當(dāng)取得最小值時，求直線的方程；（2）求面積的最小值.【答案】（1）（2）12【解析】（1）設(shè)直線的傾斜角為（為銳角），由P點(diǎn)做x軸，y軸垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則PE=2，PF=3,，則，所以當(dāng)時，取得最小值，此時直線的方程為；（2）矩形OFPE面積為3×2=6，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以面積的最小值為12.【典型例題2】.已知直線.(1)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值和此時直線的方程.【答案】(1)；(2)，直線的方程為.【解析】(1)將直線方程化為斜截式，再利用數(shù)形結(jié)合求出k的取值范圍.(2)先求直線在軸和軸上的截距，表示的面積，利用基本不等式求其最小值.（1）方程可化為，要使直線不經(jīng)過第四象限，則，解得，所以k的取值范圍為.（2）由題意可得，由取得，取得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，此時，直線的方程為.【變式訓(xùn)練8-1】.在直角坐標(biāo)系中，已知射線，過點(diǎn)作直線分別交射線OA、x軸正半軸于點(diǎn)A、B．(1)當(dāng)AB的中點(diǎn)為P時，求直線AB的兩點(diǎn)式方程；(2)求△OAB面積的最小值．【答案】(1)(2)【解析】（1）先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別求得，，再代入直線的兩點(diǎn)式方程即可解決；（2）先求得過點(diǎn)的直線斜率不存在時△OAB的面積，再求得過點(diǎn)的直線斜率存在時△OAB的面積的最小值，二者進(jìn)行比較即可求得△OAB面積的最小值．（1）由題意，設(shè)，，且．當(dāng)AB的中點(diǎn)為P時，有解得，，所以，．所以直線AB的方程為．（2）當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時，，，此時．當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為．直線AB與相交，可得，直線AB與x軸正半軸相交于B，可得．由，可得或那么．令，則，或則，由，或，可得或，當(dāng)，即，時，即，則，此時，符合題意．綜上，．【變式訓(xùn)練8-2】已知直線過點(diǎn)．(1)若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若與軸正半軸交于點(diǎn)與軸正半軸交于點(diǎn)，求面積的最小值．【答案】(1)或(2)4【解析】（1）因?yàn)樵趦勺鴺?biāo)軸上的截距相等，所以按截距是否為，分類求解；（2）設(shè)直線斜率為，求解與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，將面積表示為函數(shù)，利用基本不等式求最值即可.（1）①當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過點(diǎn)．所以方程為，即；②當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，，設(shè)方程為，由直線過點(diǎn)，將代入方程得，解得，所以直線的方程為，即；綜上：的方程為或.（2）由題意知斜率存在且小于0，設(shè)方程為，令，解得；令，解得；因?yàn)椋?，，所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以面積的最小值為4.【變式訓(xùn)練8-3】過點(diǎn)的直線（1）求在兩個坐標(biāo)軸上截距相等的方程；（2）求與x,y正半軸相交，交點(diǎn)分別是A、B,當(dāng)△AOB面積最小時的直線方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）分類討論，直線過原點(diǎn)，直接求出斜率后得直線方程，直線不過原點(diǎn)時設(shè)方程為求解；（2）設(shè)出截距式方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，用基本不等式求得的最小值，從而得直線方程．（1）當(dāng)直線過原點(diǎn)時，斜率為，直線方程為；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時設(shè)方程為，則，解得，直線方程為，即．綜上所求直線方程為和．（2）設(shè)直線方程為，∵直線過點(diǎn)，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴，，∴△AOB面積最小值為24，此時直線方程為，即【變式訓(xùn)練8-4】.已知直線l的方程為.(1)若直線l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形為等腰直角三角形，求直線l的方程；(2)若，直線l與x，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積取得最小值時直線l的方程.【答案】(1)x＋y－2＝0(2)x＋y－2＝0【解析】（1）先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再由題意可得，解方程求出的值，再檢驗(yàn)即可求得直線方程，（2）求出直線在上的截距，然后表示出△OMN的面積，化簡變形后利用基本不等式可求出其最小值，從而可求出直線方程.（1）令x＝0，則y＝2＋a；令y＝0，則.由題意得，解得a＝0或a＝－2.當(dāng)a＝－2時，直線l的方程為x－y＝0，此時直線與兩坐標(biāo)軸不能圍成三角形，不滿足題意；當(dāng)a＝0時，直線l的方程為x＋y－2＝0，此時直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形為等腰直角三角形，滿足題意.綜上，直線l的方程為x＋y－2＝0.（2）由直線方程可得，，因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即a＝0時，取得最小值.此時直線l的方程為x＋y－2＝0.題型09：折疊問題【典型例題】.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)中，已知矩形的長為2，寬為1，邊?分別在軸?軸的正半軸上，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，將矩形折疊，使點(diǎn)落在線段上，若折痕所在直線的斜率為，則折痕所在的直線方程為__________.【答案】【解析】因?yàn)檎郫B的過程中，點(diǎn)落在線段上，特別的如果折疊后重合，這時折痕所在的直線斜率為0，然后根據(jù)點(diǎn)和對折后的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于直線折痕對稱，即可求出折痕所在的直線的方程.當(dāng)時，此時點(diǎn)和點(diǎn)重合，折痕所在的直線的方程，當(dāng)時，將矩形折疊后點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)為，，所以與關(guān)于折痕所在的直線對稱，由，即，解得：，故折痕所在的直線的方程.，從而折痕所在的直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，折痕所在的直線方程為，即，綜上所述：折痕所在的直線的方程為：.故答案為：.【變式訓(xùn)練9-1】.如圖，OAB是一張三角形紙片，∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，設(shè)直線l與邊OA，AB分別交于點(diǎn)M，N，將△AOB沿直線l折疊后，點(diǎn)A落在邊OB上的點(diǎn)處．(1)設(shè)，試用m表示點(diǎn)N到OB的距離；(2)求點(diǎn)N到OB距離的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，利用直線的方程和直線的方程求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此求得到的距離的表達(dá)式.（2）利用換元法，結(jié)合基本不等式求得點(diǎn)N到OB距離的最大值.（1）以點(diǎn)O為原點(diǎn)，邊OA，OB所在的直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，所以，因?yàn)榉酆簏c(diǎn)A與點(diǎn)重合，所以，所以當(dāng)m＝0時，直線MN的斜率不存在；當(dāng)時，．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，且中點(diǎn)在直線l上，所以直線l的方程為或，即或．①因?yàn)锳（1，0），B（0，2），所以直線AB的方程為，即y＝－2x＋2，②由①②解得或，即點(diǎn)N到OB的距離為．（2）令t＝2m＋1，則，令，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，所以當(dāng)時，點(diǎn)N到OB的距離最大，最大值為．【變式訓(xùn)練9-2】.在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB，AD邊分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，如圖所示．將矩形折疊，使點(diǎn)A落在線段DC上．（1）若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程；（2）在（1）的條件下，若時，求折痕長的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時，此時A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，求出折痕所在的直線方程．當(dāng)時，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段DC上的點(diǎn)記為，可知：A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有，解得故G點(diǎn)坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)即線段OG的中點(diǎn)M的坐標(biāo)表示，即可得出結(jié)果；（2）當(dāng)時，折痕長為當(dāng)時，折痕所在的直線交BC于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果．（1）當(dāng)時，此時點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕所在的直線方程為；當(dāng)時，將矩形折疊后點(diǎn)A落在線段DC上的點(diǎn)記為，所以點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有，即，交點(diǎn)，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)線段OG的中點(diǎn)為，所以折痕所在的直線方程為，即，綜上所述，折痕所在的直線方程為；（2）當(dāng)時，折痕的長為2；當(dāng)時，折痕所在的直線交BC于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，，又因?yàn)?，所以，所以綜上所述，折痕長的取值范圍為．題型10：三條直線問題【典型例題】.已知三條直線和，且與的距離是．(1)求的值；(2)能否找到一點(diǎn)，使同時滿足下列三個條件：①點(diǎn)是第一象限的點(diǎn)；②點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的；③點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到的距離之比是，若能，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)能，【解析】（1）根據(jù)平行間的距離公式建立方程，求解可得答案；（2）設(shè)存在點(diǎn)滿足，由平行間的距離公式可求得或．得出滿足條件②的點(diǎn)滿足或．再由點(diǎn)到直線的距離公式可得或，聯(lián)立方程，求解可得結(jié)論.（1）解：因?yàn)榭苫癁?，所以與的距離為．因?yàn)椋裕?）解：設(shè)存在點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在與，平行直線上．且，即或．所以滿足條件②的點(diǎn)滿足或．若點(diǎn)滿足條件，由點(diǎn)到直線的距離公式，有，即，所以或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以不成立．聯(lián)立方程和，解得（舍去），聯(lián)立方程和，解得，所以即為同時滿足條件的點(diǎn).【變式訓(xùn)練10-1】.平面上三條直線，，，如果這三條直線將平面劃分為六個部分，求實(shí)數(shù)的所有可能的取值．【答案】、或【解析】三條直線將平面劃分為六個部分，則這三條直線有兩條平行，另一條與這兩條平行線相交或三條直線交于一點(diǎn)，然后對直線與其他直線平行或三線交于一點(diǎn)進(jìn)行分類討論，即可求得實(shí)數(shù)的可能取值.解：三條直線將平面劃分為六個部分，則這三條直線有兩條平行，另一條與這兩條平行線相交或三條直線交于一點(diǎn)．當(dāng)直線與直線平行時，，得．當(dāng)直線與直線平行時，，得；當(dāng)三條直線相交于同一點(diǎn)時，由，解得，即直線與交于點(diǎn)，直線過點(diǎn)時，．綜上，、或.題型11：直線與曲線方程【典型例題】.已知動點(diǎn)P與兩個頂點(diǎn)，的距離的比值為2，點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的軌跡方程;(2)過點(diǎn)且斜率為k的直線l，交曲線C于、N兩點(diǎn)，若，求斜率k【答案】(1)；(2).【解析】（1）設(shè)出動點(diǎn)P的坐標(biāo)，借助兩點(diǎn)間距離公式列式，化簡計(jì)算作答.（2）根據(jù)給定條件寫出l的方程，聯(lián)立l與C的方程，借助韋達(dá)定理計(jì)算判斷作答.(1)設(shè)點(diǎn)，依題意，，則，化簡整理得：，所以曲線C的軌跡方程是：.(2)依題意，設(shè)直線l的方程為：，由消去y并整理得：，由得，設(shè)，，則有，，即，整理得，解得或（舍去），所以斜率.【變式訓(xùn)練11-1】.已知曲線．(1)說明曲線C是什么圖形，并畫出該圖形；(2)直線經(jīng)過點(diǎn)，與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)A是線段MN的中點(diǎn)，求直線的方程；(3)直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】(1)曲線C表示的是兩條直線或，圖形見解析；(2)直線的方程為；(3)直線的方程為或或或.【解析】（1）化簡即得解，再作圖；（2）設(shè)直線交直線于點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)即得解；（3）聯(lián)立直線的方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，解方程即得解.(1)解：由得或，所以曲線C表示的是兩條直線或，如圖所示，(2)解：設(shè)直線交直線于點(diǎn)，則直線交直線于點(diǎn)，所以.所以，所以直線的斜率為.所以直線的方程為.所以直線的方程為.(3)解：聯(lián)立直線方程得；聯(lián)立直線方程得.因?yàn)?，所以，化簡得?所以或或或.所以直線的方程為或或或.題型12：直線方程的應(yīng)用題【典型例題】.如圖，為保護(hù)河上古橋，規(guī)劃建一座新橋，同時設(shè)立一個圓形保護(hù)區(qū)．規(guī)劃要求：新橋與河岸垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心在線段上，并與相切的圓，且古橋兩端和到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m．經(jīng)測量，點(diǎn)位于點(diǎn)正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)正東方向170m處（為河岸），．(1)求新橋的長；(2)長的范圍是多少？【答案】(1)m(2)【解析】（1）根據(jù)題意，以為原點(diǎn)，以向東，向北為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，進(jìn)而點(diǎn)坐標(biāo)為，，再結(jié)合題意得直線，方程，并聯(lián)立得交點(diǎn)的坐標(biāo)，最后結(jié)合距離公式求解即可；（2）根據(jù)題意設(shè)，進(jìn)而根據(jù)題意列出不等式組，再結(jié)合代換求得的范圍，即長的范圍.(1)解：如圖，以為軸建立直角坐標(biāo)系，則，，由題意，直線方程為：．又，故直線方程為，由，解得，即，所以；(2)解：設(shè)，即，由（1）直線的一般方程為，圓的半徑為，由題意要求，由于，因此，∴∴，即長的范圍是.【變式訓(xùn)練12-1】.如圖，在一段直的河岸同側(cè)有A、B兩個村莊，相距5km，它們距河岸的距離分別為3km、6km．現(xiàn)在要在河邊修一抽水站并鋪設(shè)輸水管道，同時向兩個村莊供水．如果預(yù)計(jì)修建抽水站需8.25萬元（含設(shè)備購置費(fèi)和人工費(fèi)），鋪設(shè)輸水管每米需用24.5元（含人工費(fèi)和材料費(fèi)）．現(xiàn)由鎮(zhèn)政府撥款30萬元，問A、B兩村還需共同自籌資金多少才能完成此項(xiàng)工程？（精確到100元）（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】需要兩村共同自籌資金23900元【解析】建立直角坐標(biāo)系,利用關(guān)于軸的對稱點(diǎn)求出鋪設(shè)的輸水管道最短距離，再結(jié)合已知條件可求出結(jié)果.建立直角坐標(biāo)系如圖所示，則．由，可知，那么點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)．連接交x軸于點(diǎn)C．由平面幾何知識可知，當(dāng)抽水站建在C處時，鋪設(shè)的輸水管道最短．∵，∴（km），∴鋪設(shè)管道所需資金為（元），總費(fèi)用（元）．∴（元）．答：需要兩村共同自籌資金23900元．鞏固提升1.已知直線l經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且________，若直線m與直線l關(guān)于點(diǎn)對稱，求直線m的方程．試從①與直線垂直，②在y軸上的截距為，這兩個條件中任選一個補(bǔ)充在上面的問題中，并解答．【答案】答案見解析【解析】先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，若選①，可設(shè)直線l的方程為，然后將交點(diǎn)坐標(biāo)代入可求出，可得直線的方程，在直線上任取兩個點(diǎn)，求出這兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，從而可求出直線m的方程，若選②，則直線過點(diǎn)，從而可求出直線的方程，在直線上任取兩個點(diǎn)，求出這兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，從而可求出直線m的方程，由，得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為．若選①，可設(shè)直線l的方程為，將點(diǎn)代入可得，即．在直線l上取兩點(diǎn)和，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線m的方程為．若選②，可得直線l的斜率，所以直線l的方程為．在直線l上取兩點(diǎn)和，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線m的方程為，即．2.已知直線與平行，且直線與直線之間的距離為，求m、n的值．【答案】；或.【解析】根據(jù)兩直線平行的條件及兩直線平行件的距離公式即可求解.因?yàn)橹本€與平行，所以，解得，，又因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以，解得或.綜上，m的值為；n的值為或.3.在等腰直角三角形中，已知一條直角邊所在直線的方程為，斜邊的中點(diǎn)為，求其它兩邊所在直線的方程.【答案】答案見解析【解析】先設(shè)另一條直角邊所在直線方程為，利用點(diǎn)到兩直角邊的距離相等求出，再聯(lián)立兩直線的方程解出直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用與直角頂點(diǎn)的連線與斜邊垂直求斜邊所在直線的斜率，代點(diǎn)斜式即可求得斜邊所在直線的方程如圖所示，設(shè)另一條直角邊所在直線方程為，即：因?yàn)榈降胶偷木嚯x相等所以解之得或即直線的方程為或由所以因?yàn)?，所以所以直線的方程為即：由所以因?yàn)?，所以所以直線的方程為即：4.已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），(1)求AB邊所在的直線方程；(2)求AB邊的高所在直線方程.【答案】(1)(2)【解析】（1）由兩點(diǎn)式可得直線AB的方程,化為一般式即可；（2）可得直線AB的斜率,由垂直關(guān)系可得AB邊高線的斜率,可得高線的點(diǎn)斜式方程,化為一般式即可.（1）因?yàn)锳（-1，5）、B（-2，-1），所以由兩點(diǎn)式方程可得，化為一般式可得：；（2）直線AB的斜率為.所以由垂直關(guān)系可得AB邊高線的斜率為，故AB邊的高所在直線方程為,化為一般式可得：.5.三角形的三個頂點(diǎn)是，，.（1）求邊上的高所在直線的方程.（2）求邊的垂直平分線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用兩點(diǎn)求出的斜率，進(jìn)而求出邊上的高所在直線的斜率為，再由直線經(jīng)過點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式即可求解.（2）由（1）可得垂直平分線的斜率，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可求解.（1）邊所在的直線的斜率因?yàn)檫吷系母吲c垂直，所以邊上的高所在直線的斜率為又邊上的高經(jīng)過點(diǎn)所以邊上的高所在的直線方程為即.（2）由（1）得，邊所在直線斜率所以邊垂直平分線斜率為的中點(diǎn)坐標(biāo)所以邊垂直平分線方程即6.在中，點(diǎn)，邊上中線所在的直線方程為，的內(nèi)角平分線所在的直線方程為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的邊所在直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意點(diǎn)B在直線上，再求出AB的中點(diǎn)，進(jìn)而將中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線上，最后解出答案；（2）先求出點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則點(diǎn)在直線BC上，進(jìn)而求出直線方程.（1）設(shè)點(diǎn)，則，解得，∴點(diǎn).（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，于是，則，由（1），所以，所以直線BC的方程為：，即.7.設(shè)直線的方程為.(1)若直線不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若直線與軸?軸分別交于點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值及此時直線的方程.【答案】(1)(2)面積的最小值為，此時直線的方程為【解析】（1）將直線化為斜截式方程，由直線不經(jīng)過第二象限，列方程組解出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）由已知得出，代入面積公式，利用基本不等式可求出最值以及取得最值時的直線方程．（1）直線的方程可化為，因?yàn)椴贿^第二象限，所以，解得，從而的取值范圍為（2）直線的方程可化為，所以，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，因此面積的最小值為，此時直線的方程為8.將一張紙沿直線對折一次后，點(diǎn)與點(diǎn)重疊，點(diǎn)與點(diǎn)重疊.(1)求直線的方程；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）由對折可知中點(diǎn)在上且，利用點(diǎn)斜式即可得到直線方程；（2）由（1）設(shè)所在直線方程為，利用點(diǎn)坐標(biāo)解出的值，再計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)即可.（1）因?yàn)椋?，所以線段中點(diǎn)坐標(biāo)為；又因?yàn)?，所以由對折可得，所以直線的方程為即.（2）由（1）得設(shè)直線的方程為，因?yàn)樵谥本€上，代入解得，即直線的方程為，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由解得,所以，解得，所以.10.已知，，．(1)若點(diǎn)滿足，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)在軸上，且，求直線的傾斜角．【答案】(1)(2)90°【解析】第（1）問中，若存在，兩直線垂直，則有，兩直線平行，則有,設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，列方程即可求解.第（2）問中，根據(jù)，可知，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)列方程即可.（1）設(shè)，由題意得，．因?yàn)?，所以，即．①又，所以，即．②由①②，得，，即．?）如圖所示：設(shè)，因?yàn)?，所以．又，，所以，即，所以，又，所以軸，故直線的傾斜角為90°．11.已知平行四邊形的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為、、．(1)求邊的中垂線所在的直線方程和平行四邊形的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求的面積．【答案】(1)，(2)8【解析】（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及，結(jié)合點(diǎn)斜式求直線方程；（2）利用兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線距離公式求解代入計(jì)算．（1）如圖，設(shè)邊中點(diǎn)為E，∵、，∴邊的中垂線所在的直線的斜率為，由直線的點(diǎn)斜式方程得邊的中垂線所在的直線為，即．設(shè)邊中點(diǎn)為M，則M點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由已知得M為線段的中點(diǎn)，有，解得，∴．（2）由、得，直線的方程為：，∴D到直線的距離，∴．12.如圖，在平行四邊形中，邊所在直線方程為，點(diǎn).(1)求直線的方程；(2)求邊上的高所在直線的方程.【答案】(1)；(2).【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.(1)∵四邊形為平行四邊形，∴.∴.∴直線的方程為，即.(2)∵，∴.∴直線的方程為，即.13.已知點(diǎn)A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，點(diǎn)C在直線l：x-2y+2=0上.(1)求AB邊上的高CE所在直線的方程；(2)求△ABC的面積.【答案】(1)(2)2【解析】（1）由題意可知，為的中點(diǎn)，，利用斜率計(jì)算公式、點(diǎn)斜式即可得出．（2）由得，利用兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形面積計(jì)算公式即可得出．(1)解：由題意可知，為的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，，所以，所在直線方程為，即．(2)解：由解得，所以，所以平行于軸，平行于軸，即，，．15.已知△ABC，，，，軸為邊中線．（1）求邊所在直線方程；（2）求內(nèi)角角平分線所在直線方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)交軸于點(diǎn)，則根據(jù)條件可知為等邊三角形，則，進(jìn)而，由點(diǎn)斜式即可求解；（2）先內(nèi)角角平分線斜率的，再由點(diǎn)斜式即可求解（1）因?yàn)椋?，設(shè)交軸于點(diǎn)，則根據(jù)條件可知為等邊三角形，則，為中點(diǎn)，則．,故直線方程為，即，故直線方程為．（2）因?yàn)?，所以?所以內(nèi)角角平分線斜率為，故內(nèi)角角平分線所在直線方程為．16.已知直線.(1)若直線不能過第三象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時直線的方程．【答案】(1)(2)的最小值為，此時直線的方程為【解析】（1）分、兩種情況討論，在時直接驗(yàn)證即可；在時，求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，求得，利用基本不等式結(jié)合三角形的面積公式可求得的最最小值，利用等號成立的條件可求得的值，即可得出直線的方程.（1）解：由，當(dāng)時，直線的方程為，此時直線不過第三象限，合乎題意；當(dāng)時，在直線的方程中，令，可得y=2k+1，令，可得，若直線不過第三象限，則，解得.綜上所述，.（2）解：由（1）可知，，又在軸負(fù)半軸，在軸正半軸，所以，，可得.，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，的最小值為，此時直線的方程.17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB，AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合如圖所示將矩形折疊，使點(diǎn)A落在線段DC上．（1）若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程（2）當(dāng)時，求折痕長的最大值．【答案】（1）；（2）【分析】當(dāng)時，此時A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程當(dāng)時，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段DC上的點(diǎn)記為，可知：A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有，解得故G點(diǎn)坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)即線段OG的中點(diǎn)為，即可得出．當(dāng)時，折痕長為當(dāng)時，折痕所在直線交BC于，交y軸于利用兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】解：（1）①當(dāng)時，此時點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕所在直線的方程為．②當(dāng)時，將矩形折疊后點(diǎn)A落在線段DC上的點(diǎn)記為，，所以點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)線段OG的中點(diǎn)為，故折痕所在直線的方程為，即．綜上所述，折痕所在直線的方程為．當(dāng)時，折痕的長為當(dāng)時，折痕所在的直線交直線BC于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．,,則在上，，，的取值范圍為，故點(diǎn)M在線段上．，折痕長度的最大值為而，故折痕長度的最大值為18.已知直線：過定點(diǎn)，若直線被直線和軸截得的線段恰好被定點(diǎn)平分，求的值.【答案】【解析】設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，依題意為中點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo)，反解出點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線中即可求得的值則直線過定點(diǎn)設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，依題意為中點(diǎn)在中令，則，即所以，即，將其代入直線中可得解之得19.若點(diǎn)和到直線l的距離都是.(1)根據(jù)m的不同取值，討論滿足條件的直線l有多少條？(2)從以下三個條件中：①；②；③；選擇一個條件，求出直線l的方程.【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】（1）總有兩條的平行線滿足到的距離為，求出，再分，，討論與相交的直線中滿足條件的即可；（2）分別設(shè)出與平行和相交的直線，利用不同的值及點(diǎn)到直線的距離解方程求出直線方程即可.（1）如圖：，為的垂直平分線.由知不論為多少，總有兩條的平行線滿足到的距離為；易知，當(dāng)時，由圖知還存