本單元圍繞“鴿巢問題”(抽屜原理)展開，通過鉛筆放入筆筒、鴿子飛進(jìn)鴿籠等生動情境，引導(dǎo)學(xué)生探究“總有至少一個容器中放入多個物體”的數(shù)學(xué)規(guī)律。教材從具體操作(如枚舉所有放置方法)逐步過渡到抽象推理(用除法算式表示分配過程),注重滲透“最不利原則”的數(shù)學(xué)思想，并通過撲克牌花色、摸球游戲等生活實(shí)例深化理解。內(nèi)容設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和模型意識，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與應(yīng)用價六年級學(xué)生已具備一定的分類思考能力和簡單推理經(jīng)驗(yàn)，但初次接觸“鴿巢問題”時易陷入具體情境而忽略本質(zhì)規(guī)律。學(xué)生可能難以理解“至少”這一關(guān)鍵詞的數(shù)學(xué)含化為除法模型(如商加1的結(jié)論)。部分學(xué)生在逆向思考(如保證顏色相同的最少摸球數(shù))時存在困難，需通過動手操作與對比分析化解思維定勢。此外，該原理的抽象性要求教師引導(dǎo)學(xué)生在枚舉與演繹間建立聯(lián)系。學(xué)生能理解鴿巢問題的基本模型，掌握用除法算式表達(dá)物體分配關(guān)系的方法，學(xué)會用“商+1”原理解決“至少存在”類問題，并能靈活應(yīng)用該原理解釋生活中的現(xiàn)象(如屬相問題、撲克牌花色),①情境與問題：在生活情境(如文具分配、撲克牌游戲)中發(fā)現(xiàn)物體分配存在的必然規(guī)律，并提出與“至少”相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。②知識與技能：掌握鴿巢問題的基本模型，能用除法計(jì)算與推理解決④交流與反思：在解決鴿巢問題后能對比不同“至少數(shù)”的方法；難點(diǎn)：讓學(xué)生理解“最不利原則”的思維過程，并能靈活運(yùn)用原理解決逆向1.鴿巢問題(一)授課者：課時：第1課時作為數(shù)學(xué)廣角的開篇內(nèi)容，通過“4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒”這一直觀情境引入經(jīng)典的抽屜原教材編排體現(xiàn)了從具體到抽象的認(rèn)知路徑，先通過小紅的枚舉法展示所有可能情況，再引導(dǎo)小明用假設(shè)法進(jìn)行邏輯推理(每個筆筒先平均分1支，余下的1支必然導(dǎo)致某個筆筒至少有2支),最后抽象出“物體數(shù)÷抽屜數(shù)=商……余數(shù)”時，至少有一個抽屜放入“商+1”種設(shè)計(jì)旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和模型思想，為后續(xù)解決更復(fù)雜的鴿巢問題奠定基學(xué)生正處于具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的關(guān)鍵期，雖然能通過實(shí)物操作理解“4支鉛筆放3個筆筒”的具體現(xiàn)象，但將具體案例抽象為一般性數(shù)學(xué)原理存在明顯法的直觀結(jié)果，卻難以自發(fā)運(yùn)用“假設(shè)法”這一更高效的推理策略；對“至少”含義的理解往往停留在字面層面，需要借助生活實(shí)例(如13人的屬相問題)來深化對原理本質(zhì)的把握。教學(xué)中需通過多層次的活動設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從具象感知到抽象建模的思維跨越。①情境與問題：通過撲克牌魔術(shù)創(chuàng)設(shè)問題情境，提出"如何保證至少有兩張牌同花色"的探究問②知識與技能：理解鴿巢原理(抽屜原理)的基本概念，掌握用除法計(jì)簡單的鴿巢問題。思政元素：通過揭示魔術(shù)背后的數(shù)學(xué)原理，培養(yǎng)教學(xué)重點(diǎn)：理解鴿巢原理的實(shí)質(zhì)，掌握用除法計(jì)算至少數(shù)的方法。教學(xué)難點(diǎn)：理解"至少數(shù)=商+1"的算理，建立鴿巢問題的數(shù)學(xué)模型。五、教學(xué)準(zhǔn)備：撲克牌教具、筆筒和鉛筆實(shí)設(shè)計(jì)意圖撲克牌魔術(shù)同學(xué)們，這是一副撲克牌，去掉大小王，你知道撲克牌有哪些花色?預(yù)設(shè)1:學(xué)生能夠說出撲克牌的預(yù)設(shè)2:5名學(xué)生每人任意抽1數(shù)學(xué)游戲，激發(fā)魔術(shù)。首先請5名同學(xué)上來，同學(xué)們看，老師背對5名同學(xué)，并預(yù)言：至少有2名同學(xué)，抽到了同一花色。對嗎?再來一次試一試?你們想知道老師是怎么猜出來的嗎?其實(shí)這里面蘊(yùn)含著一個很重要的數(shù)學(xué)原理。今天我們就來一起進(jìn)行探究學(xué)習(xí)。【板書課題：鴿巢問題(一)】紅桃。教學(xué)環(huán)節(jié)二：引導(dǎo)合作，探究問題設(shè)計(jì)意圖1.理解題意。出示例1,齊讀題目：把4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒中，不管怎么放，總有1個筆筒里至少有2支鉛筆。你知道這是為什么嗎?誰能說一說，在這里“總有”1.理解題意預(yù)設(shè)1:“總有”是一定、肯定也可能比2支多?！爸辽佟钡囊饬x。2.小組活動。師：你覺得這句話說的對嗎?大家可以用擺一擺、畫一畫、寫一寫等方法把自己的想法表2.小組活動初步感知抽屜原理。3.對比推理。比較方法1和方法2,這兩種方法有什么區(qū)別和聯(lián)系?是的，這兩種方法都列舉出了把4支鉛筆放入3個筆筒的不同方法，這樣的方法叫作枚舉法。而且第二種用數(shù)表示更簡潔，更有數(shù)學(xué)味。筆”這句話是對的?預(yù)設(shè)1:擺一擺或者畫一畫。預(yù)設(shè)2:用數(shù)表示(4,0,0)預(yù)設(shè)3:列算式4÷3=1(支)……1(支)預(yù)設(shè)4:假設(shè)如果每個筆筒最多有1支鉛筆的話，那么3個鉛筆筒最多有3根據(jù)學(xué)生回答圈出符合要求的師：這種枚舉法大家覺得怎么4÷3=1(支)……1(支)1+1=2(支)們明明有4種方法，這個算式只研究這一種呢?你們真是太棒了!想到了一個非常簡單而且又很實(shí)用的方法，為我們解決了難題!要是將6支鉛筆放進(jìn)5個筆筒中呢?將7支鉛筆放進(jìn)6個筆筒中呢?將100支鉛筆放進(jìn)99個筆筒中呢?將n+1支鉛筆放進(jìn)n個筆筒中呢?總有一個筆筒中至少有幾支鉛筆?如果5支鉛筆，3個筆筒；7支筆，4個筆筒；18支鉛筆，5個筆筒，那么結(jié)果會怎么樣呢?請小組里討論，選擇一種方法，驗(yàn)證你的結(jié)論。根據(jù)學(xué)生回答，課件出示：所以總有一個筆筒至少有2支3.對比推理第二種是用數(shù)字表示的。預(yù)設(shè)3:第一種方法里都能找到預(yù)設(shè)4:這種方法很直觀，但是數(shù)小了還可以，數(shù)大了就不方便列舉了。1(支)這個方法就是在算上面的(2,1,1)。預(yù)設(shè)6:把4支鉛筆平均分到3個筆筒里，每個筆筒里1支，還剩下1支，不管往哪個筆筒里放，都是總有1個筆筒里至少有2支鉛筆。預(yù)設(shè)7:這種平均分的方法，每個筆筒里的筆數(shù)量最少，如果最少的都符合要求，那么其他的肯定也符合要求。所以只需要研究這一種就可以了。預(yù)設(shè)8:我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)鉛筆數(shù)比筆筒數(shù)多1時，那么總有一個筆筒中至少有2支鉛筆。4.預(yù)設(shè)1:5÷3=1(支)……2(支),所以總有一個筆筒至觀察、對比中，引導(dǎo)學(xué)生有根行思考、推理。作交流的學(xué)習(xí)過))預(yù)設(shè)2:7÷4=1(支)……3(支),余下的3支還能繼續(xù)分，所以總有一個筆筒至少有1+1=2預(yù)設(shè)3:18÷5=3(支)……3(支),余下的3支還能繼續(xù)分，所以總有一個筆筒至少有3+1=4(支)筆。預(yù)設(shè)4:擺一擺。預(yù)設(shè)5:我們發(fā)現(xiàn)不管余數(shù)是情感體驗(yàn)。歸納、總結(jié)，初步建立理解用除法計(jì)算抽屜原理，建立模型，至少數(shù)=商了解數(shù)學(xué)中的抽535÷3=1(支)……2(支)1+1=2(支747÷4=1(支)……3(支)1+1=2(支)8518÷5=3(支)……3(支)3+1=4(支)小結(jié)：看來，當(dāng)余數(shù)大于1時為了能夠讓筆筒里的鉛筆盡量少，余下的鉛筆也要盡量平均們研究的這個問題，在數(shù)學(xué)中一般稱為抽屜原理，或者叫鴿巢原理。為什么會有這樣的名抽屜原理是數(shù)學(xué)的一個重要原理。抽屜原理有兩個經(jīng)典案例一個是把10個蘋果放進(jìn)9個抽屜里，總有1個抽屜里至少放了2個蘋果，所以這個原理稱為“抽屜原理”;另一個是6只鴿子飛進(jìn)5個鴿巢，總有1個鴿巢至少飛進(jìn)2只鴿子，所以這個原理也稱為“鴿巢原理”教學(xué)環(huán)節(jié)三：輔導(dǎo)練習(xí)，解決問題設(shè)計(jì)意圖1.基礎(chǔ)練習(xí)嗎?分析得非常好，原來魔術(shù)的背后是數(shù)學(xué)!2.變式練習(xí)1.基礎(chǔ)練習(xí)預(yù)設(shè)1:5張撲克牌就相當(dāng)于5筆筒，總有1個筆筒里至少有2支鉛筆。預(yù)設(shè)2:5÷4=1(張)……1(張),1+1=2(張)。2.變式練習(xí)預(yù)設(shè)1:13名同學(xué)，總有2人是同一個月出生的。預(yù)設(shè)2:13名同學(xué)，至少有7人是同一個性別。應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題，獲得美好體驗(yàn)。學(xué)生說完后，請其他同學(xué)用抽教學(xué)環(huán)節(jié)四：引導(dǎo)反思，提升問題設(shè)計(jì)意圖預(yù)設(shè)1:我知道了當(dāng)物品數(shù)比抽屜數(shù)多1時，總有一個抽屜至預(yù)設(shè)2:可以用除法解決鴿巢問題，至少數(shù)=商+1。預(yù)設(shè)3:我知道了抽屜原理可以解釋生活中的一些現(xiàn)象。回顧抽屜原理以基礎(chǔ)作業(yè)：解決簡單的鴿巢問題，如"7只鴿子飛進(jìn)5個鴿巢"類的基礎(chǔ)計(jì)算。鞏固作業(yè)：解決需要轉(zhuǎn)化為鴿巢模型的實(shí)際問題，如解釋生日月份重復(fù)現(xiàn)提升作業(yè)：解決復(fù)雜情境下的鴿巢問題，需要先識別"物體"和"抽屜"再計(jì)計(jì)算假設(shè)鴿巢問題(一)至少數(shù)=商+12.鴿巢問題(二)授課者：課時：第1課時“最不利原則”出發(fā)進(jìn)行推理，即先考慮所有可能的不同顏色組合，再分析確保達(dá)成目標(biāo)所需的最小數(shù)量。這種設(shè)計(jì)深化了學(xué)生對“至少”和“保證”等關(guān)鍵概念的理解，并將原理從簡單的“物體數(shù)多于抽屜數(shù)”拓展到處理多種顏色(或類別)的復(fù)雜情況，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的變式問題時，需要更強(qiáng)的抽象思維和邏輯推理能力來構(gòu)建數(shù)學(xué)模②知識與技能：理解最不利原則的數(shù)學(xué)思想，掌握逆向應(yīng)用抽屜原理解③思維與表達(dá)：能夠用假設(shè)法進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)推理，用數(shù)學(xué)語言解釋最不利④交流與反思：在小組合作摸球?qū)嶒?yàn)中，分享不同的解題思路，反思最不利原則在解決實(shí)際問題中思政元素：在分析最不利情況的過程中，培養(yǎng)全面思考、嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的思維品質(zhì)，樹立做事要考慮教學(xué)重點(diǎn)：理解最不利原則的實(shí)質(zhì)，掌握保證類問題的解題方法。教學(xué)難點(diǎn)：逆向應(yīng)用抽屜原理，準(zhǔn)確分析最不利情況并計(jì)算最少數(shù)設(shè)計(jì)意圖猜一猜。(出示一個裝了4個紅通過摸球游戲，在猜測中激發(fā)學(xué)晃動幾下)同學(xué)們，猜一猜老師在盒子里放了什么?(請一個同學(xué)到盒子里摸一摸，并摸出一個給大家看)師：老師的盒子里有同樣大小的紅球和藍(lán)球各4個。如果想讓這位同學(xué)摸出的球，一定有2球?同學(xué)們的答案不同，到底誰猜的才是對的?請大家想一想，然后小組內(nèi)動手試一試。生的學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)環(huán)節(jié)二：引導(dǎo)合作，探究問題設(shè)計(jì)意圖1.想一想，摸一摸。學(xué)生思考后動手操作，完成學(xué)習(xí)單。第一次摸()個球，(有，沒第二次摸()個球，(有，沒第三次摸()個球，(有，沒第四次摸()個球，(有，沒結(jié)論：通過以上實(shí)驗(yàn)，說明我們的猜想是(正確錯誤)的。2.反思推理。同學(xué)們，哪個組愿意分享你們組的猜想和實(shí)驗(yàn)結(jié)果?根據(jù)學(xué)生回答，展示學(xué)生學(xué)習(xí)1.想一想，摸一摸。預(yù)設(shè)1:猜想摸了2個球，恰好預(yù)設(shè)2:猜想摸3個球時，里面2.小組分享。如果摸2個球，有時能恰好是2個同色的，有時不行。所以我們的猜想是錯誤的。預(yù)設(shè)2:我們組猜想至少摸3個球，一定有2個同色的。在實(shí)際摸球中，有時很幸運(yùn)，3同色的。都符合一定有2個同預(yù)設(shè)3:摸2個正好同色，是一種幸運(yùn)的情況，要保證一定能摸到2個同色的，就必須考慮的學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生的推理意小組交流，體驗(yàn)最不利原則，培養(yǎng)學(xué)生的推理意沒有)2個同色的球。第二次摸(2)個球，(有，沒沒有)2個同色的球。第四次摸(2)個球，(有，沒結(jié)論：通過以上實(shí)驗(yàn)，說明我沒有)2個同色的球。沒有)2個同色的球。沒有)2個同色的球。沒有)2個同色的球。結(jié)論：通過以上實(shí)驗(yàn)，說明我如果摸2個球，也能摸到2個同色的。為什么大家選至少摸3個球呢?【板書：最不利原則】大家的推理很嚴(yán)謹(jǐn)，要保證一定有2個同色的球，就要考慮最不利的情況，不能總想著幸有其他不同的想法嗎?根據(jù)學(xué)生回答板書：假設(shè)法。同學(xué)們在說明道理時，運(yùn)用了假設(shè)的方法，假設(shè)每次摸到的球顏色都不相同，也就是考慮最不利的情況，才能保證一定最不利的情況，所以說至少要摸3個球。預(yù)設(shè)4:我是這樣想的，假如第一個摸出的是紅球，第二個摸出的是藍(lán)球，那么第三個不管摸出什么顏色，一定會和前面其中的一個顏色相同，就滿足一定有2個同色的球。所以是至少摸3個球。預(yù)設(shè)5:可以把2種顏色看作2數(shù)必須比“抽屜”數(shù)多1,所以當(dāng)顏色數(shù)為2時，分的物體就應(yīng)該為2+1=3(個),所以至少球同色。滲透模型思想，運(yùn)用抽屜原理逆向思考，解決實(shí)【板書：球→物品顏色→抽同學(xué)們把摸球問題，巧妙地轉(zhuǎn)做逆向思考，這個思路很棒!為了一定有2個同色的球，多次用到了最不利原則，思考問題很嚴(yán)謹(jǐn)，值得表揚(yáng)!教學(xué)環(huán)節(jié)三：輔導(dǎo)練習(xí)，解決問題設(shè)計(jì)意圖1.基礎(chǔ)練習(xí)從上面分別寫有1~10的10張數(shù)字卡片中，至少取出()2.變式練習(xí)9個零件中有3個次品，要保證取出的零件中至少有1個合格3.提升練習(xí)某小學(xué)學(xué)生年齡最大的是13歲，最小的是9歲，至少從中挑選()人，才能保證一定1.預(yù)設(shè)：在10張卡片中有5個奇數(shù)，5個偶數(shù)。按照最不利原則，一開始取出的5張卡片都是奇數(shù)，這樣剩下的就都是偶數(shù)了。所以至少取出6張，才能保證一定有偶數(shù)。2.預(yù)設(shè)：在9個零件中，有3品，按照最不利原則，一開始取出的是3個次品，下一個一定是合格品。所以至少取4個零件。3.預(yù)設(shè)：把9歲到13歲，不同抽屜，保證一定有2個年齡相同，物品數(shù)