2024級(jí)高二年級(jí)元月素質(zhì)檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題考生注意：1.試卷分值：150分，考試時(shí)間：120分鐘。2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答案區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。3.所有答案均要答在答題卡上，否則無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后只交答題卡。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求。1.直線3x+3A.30° B.60°C.120° D.150°2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(?3,2)，B(4,4)的直線的兩點(diǎn)式方程為（A.y?22=C.y+22=3.在空間直角坐標(biāo)系中，直線l的方向向量m=(1,0,2)，點(diǎn)A(0，1，0)在直線l上，點(diǎn)B(?1，2，3)A.5 B.6C.7 D.24.將直線3x?y+a=0向上平移1個(gè)單位，所得直線與圓A.5或?15B.?5C.3或?17D.?35.已知橢圓x26+y2A.2 B.5或7 C.5 D.2或106.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和為Sn，已知am?1+A.7 B.8 C.9 D.107.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(A.102 B.C.10 D.58.過(guò)拋物線x2=4y焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，lA.4 B.8 C.16 D.32二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列計(jì)算正確的是（

）A.若f(x)=(B.若f(x)=C.若f(x)=D.若f(x)=10.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的體積為8，線段CC1，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)G

A.三棱錐H?DEFB.動(dòng)點(diǎn)G的軌跡長(zhǎng)度為5C.不存在點(diǎn)G，使得EG⊥平面D.四面體DEFG體積的最大值為1511.已知拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(8,8)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)F作直線交拋物線于A.|MNB.以線段MN為直徑的圓與直線x=?2C.當(dāng)MF→=2D.OM三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且13.已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，且滿足2a14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線l1:y=x(x≥0)，l2:y=0(x≥0)，半圓四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.（本題滿分13分）已知圓E過(guò)三點(diǎn)A(3,?1)，B(1,1)，（1）求圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線ax+by+c=0與圓E相交于M，N16.（本題滿分15分）如圖，在四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，A（1）若AD⊥BB1，證明：（2）若AD⊥AC，CD=7，17.（本題滿分15分）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為6（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若弦MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為12，求?（3）若PM→·PN18.（本題滿分17分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1（1）求證：{a（2）求數(shù)列{an}的前n（3）令bn=n19.（本題滿分17分）已知雙曲線C:x2a2?y2b（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若過(guò)F1的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線AF2（i）證明：直線BP過(guò)定點(diǎn)；（ii）當(dāng)A，B兩點(diǎn)均在C的左支上時(shí)，直線BF2與l交于點(diǎn)Q，直線BP與直線AQ交于點(diǎn)D，求2024級(jí)高二年級(jí)元月素質(zhì)檢測(cè)

參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則題號(hào)1234567891011答案CABDBDACACACDBCD一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求。1.【答案】C【解答】解：直線的斜率為k=tanα=?3，由直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可知，2.【答案】A【解答】解：因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(?3,2)，B(4,4)，所以由方程的兩點(diǎn)式可得直線方程為y?23.【答案】B【解答】解：由直線l的方向向量為m=(1,0,2)，可得直線l的單位方向向量u=m|m|=554.【答案】D【解答】解：直線3x?y+a=0沿化圓x2+y2?2x+6則|3+3+a+1|10=10，即|5.【答案】B【解答】解：因?yàn)闄E圓x26+y2k=1的焦距為2，若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則26?k=2，解得k=56.【答案】D【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)，知am?1+am+1?3am2=27.【答案】A【解答】解：因MF1⊥MF2，且sin∠MF1F2=1010即3105c?105c=2a8.【答案】C【解答】解：易知點(diǎn)A處的切線方程為x1x=2(y+y1聯(lián)立{y=x12(x?x由韋達(dá)定理得x2+x3=2x1，設(shè)E因?yàn)閗AB=y2?整理得4y?(x1+粗疏直線l的方程可化為y=即x1x?2S=|x當(dāng)且僅當(dāng)y1=1時(shí)，等號(hào)成立，所以?ABD二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.【答案】AC【解答】解：f(x)=(x2?3f(x)=cosπ3f(x)==?1(sinxf(x)=2x+10.【答案】ACD【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，依題意，EF∥BC∥AD1，而AD故AD∥平面DEF，則點(diǎn)H到平面DEF故三棱錐H?DEF的體積為定值，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)锳A12=8，故AA故C1故動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為以C1為圓心，3為半徑的圓在底面A故所求軌跡長(zhǎng)度為14×2π對(duì)于選項(xiàng)C，以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)C1D1，C1B1，C則D(2,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,2)，故DE設(shè)n→=(x,y得{y+z=0?2x?設(shè)G(x0,y0,0)(x0≥0,y解得x0=12，y0對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?DEF為等腰三角形，故S面點(diǎn)G到平面DEF的距離d=令x0=3則d=3cosθ則四面體DEFG體積的最大值為13×311.【答案】BCD【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)A(8,8)在拋物線上，所以82=2則拋物線C的方程為y2=8x，焦點(diǎn)F(2,0)，設(shè)直線聯(lián)立{x=ty+2y2=8由韋達(dá)定理得y1+y2=8當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由拋物線的定義知|因?yàn)镸N的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1+x22，所以MN的中點(diǎn)與直線x即為|MN|的一半，所以以線段MN為直徑的圓與直線x=?2若MF→=2FN→且y1>0>y2，此時(shí)所以y1+y2=8則|MN|=x因?yàn)镺M→·ON三、填空題：本大題共\（3\）小題，每小題\（5\）分，共\（15\）分。12．【答案】?6．【解答】解：由已知可得limΔx13．【答案】3n【解答】解：等差數(shù)列{an}的公差為d(d則a1=1，a2·aan14．【答案】?【解答】解：將半圓依次沿著y=x，x=0光線在鏡面發(fā)生反射可以等效處理為：光線進(jìn)入了鏡子后的空間，因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為光線如何與鏡子內(nèi)外的圓沒(méi)有交點(diǎn)，光線變化的范圍如圖所示，當(dāng)光線與(x?4)由對(duì)稱性可知當(dāng)光線遇射線l1時(shí)反射光線若與(則入射光線所在直線為x=1與圓x當(dāng)光線與圓x2+(y?4)此時(shí)tanθ=14，所以光線斜率為當(dāng)光線與(x+4)所以由圖可知k的取值范圍是?15四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.【解答】解：（1）設(shè)圓的方程為x2由點(diǎn)A(3,?1)，B(1,1)，C(?1,?5)在圓上，可得{9+1+3C則圓的方程為x2+y（2）由（1）可得：圓心E(0,?2)，半徑r由a+c=b，即a?由圓心E到定點(diǎn)A(1,?1)的距離(0?1則定點(diǎn)A(1,?1)在圓E內(nèi)，易知當(dāng)AE⊥MN時(shí)，MN16.【解答】解：（1）證明：在?ABC中，AC=2，BC=1由正弦定理得2sin∠ABC=1sinπ因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，AD?平面又AD⊥BB1，AA1與BB所以AD⊥平面ABB1A1，又AB?平面又AD?平面ADD1A1，BC?平面（2）結(jié)合（1）可得AB=3，根據(jù)AC=2，CD可得AD=CD2?所以AA1=32，A1C1=故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AD，AA1所在直線分別為x，y，則C(2,0,0)，C1(1,0,32)，D(0,3,0)，B(32,-32,0) 10分所以C1C→=(1,0,?3設(shè)平面BCC1B1的法向量為m=(即{x?32z=012x+32y=0，取x=3，則m=(3,-1,2) 11分設(shè)平面CC1D1D的法向量為n=(a取a=3，則n=(3,2,2) 12分設(shè)二面角B-CC1-D的大小為θ，則cosθ=|m·n||m|·|n|=|3-2+4|8×11=52244 14分因此二面角B-CC1-D的正弦值為1-cos2θ=1-(52244)2=315444 15分17.【解答】解：（1）由題意可得{ca=633a2+1b2=1a2=b2+c2，解得{a=6b=2c=2，∴橢圓方程為x26+y22=1 3分（2）∵弦MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為12，∴直線l設(shè)直線l:y=kx+設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，由韋達(dá)定理可得{x1+x2=?6km1+3k2x1x2=3m2?61+3k2 5分Δ=36∵弦MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為12，∴y1∵|MN|=1+k2·Δ1+3k2=231+k2·6k2+2-m21+3k2 7分由點(diǎn)到直線的距離公式可得O到直線MN的距離dO∴S?MON=12|MN|·dO-MN=34m-m22=3-(m-2)2+42 8分由?=12(6k2?m2∴當(dāng)m=2即k=±1時(shí)，S?MON取得最大值3 9分（3）證明：∵PM→·即x1x2-3(x1+x2)+3+y1y2-(y1+y2)+1=0(*) 10分∵y1+代入(*)式，得(1+k2)x1x2+(km-k-3)(x1+x2)+m2-2m+4=0 11分即(1+k2)即(3k+m-1)(3k+2m+1)=0，∴m=1-3k或m=-1-3k2 12分當(dāng)m=1?3k時(shí)，則直線l當(dāng)m=-1-3k2時(shí)，則直線l:y=k(x-32)-12，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)(32,-12) 13分當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線x=32交橢圓于M(32,72)，N(32,-72) 14分此時(shí)PM→∴直線l過(guò)定點(diǎn)(32,-12) 15分18．【解答】解：（1）證明：數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，an+an+1=4×3n 2分可得an+1-3n+1=4×3n-an-3n+1=-(an-3n)，且a1-3=-2 3分可得{an-3n}是首項(xiàng)為-2，公比為-1的等比數(shù)列 4分（2）由（1）可得an?3n=2(?1（3）bn=n3an-2×(-1)n=n33n，則bn+1-bn=(n+1)33n+1-n33n=-2n3+3n2+3n+13n+1 10分當(dāng)1≤n≤2時(shí)，可得b1<b2<b3 12分當(dāng)n≥3時(shí)，bn+1?bn<0，即有b3>b4>b5>?>bn 14分則數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)為b3=1 17分19.【解答】解：（1）由于x=?aa2+b2<0因此2+aa2+b根據(jù)題意可知4a將3a2=b2代入上式，可得雙曲線方程4因此C:（2）（?。┳C明：根據(jù)第一問(wèn)可知，F(xiàn)1(?2,0)，F(xiàn)2當(dāng)直線AB與x軸不重合時(shí)，設(shè)AB:x=my?2聯(lián)立雙曲線方程可得{x=my那么結(jié)合根的判別式可得，{3